預應力錨桿框格梁加固巖質邊坡計算方法研究

侯俊偉,吳曙光

(1. 中煤科工集團重慶設計研究院有限公司，重慶 400042; 2. 重慶大學 土木工程學院， 重慶 400045)

0 引 言

依據現行規范，預應力錨桿框格體系一般按靜力學原理進行設計和計算。當錨固點變形較小時，鋼筋混凝土格構式錨桿擋墻可簡化為支撐在錨固點上的井字梁進行內力計算；當錨固點變形較大時，應考慮變形對格構式擋墻內力的影響。預應力錨桿格構體系雖己廣泛應用在邊坡支護工程中，但國家標準或行業標準設計規范中尚未對其設計原則、計算模型和方法等做出具體規定。因此，對于預應力錨桿框格體系中鋼筋混凝土框格梁，一般按梁底受均布荷載的狀況進行計算和設計，這與框格梁的實際受力情況并不一致，特別是在錨桿框格體系應用于巖質邊坡加固的情況下。與土質邊坡不同，在巖質邊坡上的框格梁反力分布很不均勻，其反力呈錨桿結點下集中的趨勢，巖體質量越好，框格梁相對柔性越大，這種集中趨勢就越顯著(圖1)。按照實際反力計算結果框格梁內力較小，可大幅節約材料。

圖1 預應力錨桿框格梁梁底反力分布

目前對巖質邊坡錨桿框格體系中框格梁的計算研究還不完全成熟或實用。郭繼武[1]采用普通連續梁法和調整倒置梁法計算地基梁的內力和位移。倒置梁法是將框格梁坡面反力視為作用在梁上的線性荷載，把預應力錨桿作用點看作支座，將框架作為倒置的交叉框格體系進行計算；梁瑤等[2]將框格梁錨索體系劃分為張拉階段和工作階段，提出利用滑坡推力確定作用在框架梁上的反力，用倒置梁法反推錨索拉力從而計算出梁的內力；白雪峰[3]提出預應力錨桿與砼框格梁作為相互關聯的整體結構的設計計算方法，進而優化應用于邊坡加固設計中的預應力錨桿框格梁；韓冬冬等[4]通過 1∶2 比例尺的大型物理模型試驗，分析研究了預應力錨桿框格梁的基底反力分布規律；周志剛[5]通過雙參數彈性地基梁初參數法的推導，確定了框格梁上錨桿間距的合理范圍，并運用彈性理論分析了預應力錨桿框格梁加固邊坡的受力機理，得到了坡體內附加應力及位移的分布規律。目前針對巖質邊坡的預應力錨桿格構梁計算方法研究相對較少，部分計算理論過于繁瑣。因此，應加強預應力錨桿框格支擋結構的設計計算理論及傳力機理的研究。

1 基于錨桿框格支擋結構與邊坡巖體相互作用的優化設計思路

在巖質邊坡情況下，由于錨桿的拉力作用，框格梁對邊坡坡面巖體產生壓力作用；同樣，當邊坡坡面巖體發生下滑或有下滑趨勢時，坡面巖體下滑將對緊貼其上的框格梁產生反力作用。因此，在這一過程中，應該將框格梁、錨桿和邊坡巖體這三者視為一個系統，進行整體分析。如果直接對這三者進行建模分析，可運用數值模擬技術來實現，但建模過程極其復雜，最后的分析工作量也相當大。

在實際計算及設計過程中，從實用性的角度出發，可將錨桿框格體系和邊坡巖體這一系統進行一定程度的簡化，具體計算過程如下：

1)分析邊坡穩定性，根據邊坡穩定性安全系數計算錨桿支護力。

2)進行錨桿設計。

3)將框格梁視為支撐在錨固點上的井字梁進行內力計算及配筋設計。在進行框格梁梁底反力和內力計算時，考慮框格梁與邊坡巖體的相互作用。

2 文克爾地基模型的應用

對于巖質邊坡采用錨桿框格梁進行支護。由于邊坡巖體強度較高，框格梁的剛度相對于地基較小，跨越作用很弱。這樣錨桿結點荷載通過框格梁傳到坡面時，不可能向兩邊大量擴散，就像直接作用在地基上一樣。當框格梁細長而邊坡巖體強度很高時，框格梁的撓度和梁底反力只在錨桿結點附近的局部范圍內比較顯著，在較遠處就迅速衰減而趨于零。這種只在作用點局部范圍內產生應力和變形的特點正符合文克爾地基模型所描述的特征。因此，運用文克爾地基模型對巖質邊坡上框格梁的內力計算進行分析是合適的。

文克爾地基模型是假設地基表面任一點單位面積內所受的壓應力p(x,y)與相應的地基豎向位移ω成正比關系，亦即

p(x,y)=k·ω

(1)

式中：p(x,y)為基底反力，kPa；ω為地基豎向位移，m；k為基床系數，kN/m3。

根據文克爾假定，可推知框格梁的撓曲微分方程為

(2)

式中：E為框格梁的彈性模量，kPa；I為框格梁的慣性矩，m4；b為框格梁的寬度，m；q為框格梁上荷載，kN/m。

引入梁的柔度指數λ(單位：1/m)：

(3)

則：框格梁的通解為

ω=eλx(c1cosλx+c2sinλx)+e-λx(c3cosλx+c4sinλx)

(4)

式中：c1～c4為待定積分常數，可由荷載位置及邊界條件確定。

框格梁的柔度指數λ反映了框格梁相對于地基的柔性程度，λ值越大，則梁柔性越大?？紤]到荷載作用位置、相對剛度對計算位移和內力的影響，可以根據梁的柔度指數λ和長度l以及荷載距梁端的距離x，將梁劃分為：剛性梁(λl≤1)、有限長梁(1<λl<2.75)、無限長梁 (λl≥2.75)。在大多情況下，巖質邊坡上框格梁屬于有限長梁，筆者主要針對有限長梁的簡化計算方法進行研究。

由于文克爾假定沒有考慮地基中剪應力的影響，存在不能擴散應力和變形的缺陷，不過，鑒于其模型簡單，較容易計算，故在工程設計中仍被廣泛采用。

3 巖石地基基床系數取值分析

用文克爾地基模型進行計算時，框格梁的內力計算跟基床系數k有很大關系，若k值取得過小，則內力計算結果偏大，將導致成本增加；若k值取得偏大，則會降低設計的安全性。這就需要確定一個最優的k值，使得設計本身既能保證足夠的安全程度，又能達到設計優化的要求。

影響k值的因素很多，除了邊坡巖體本身的性質以外，還有梁的大小和形狀、剛度等。目前，確定地基基床系數的方法主要有現場載荷板試驗法、利用分層總和法按土的壓縮性指標計算法、彈性半空間地基沉降模型反算法等。由于在土質地基上進行現場載荷試驗比較容易，因此積累的經驗數值也很多。各種規范和規程中對水平方向基床系數的取值都按照土的不同類別建議了一些經驗的取值范圍，但這些范圍普遍偏大，有的甚至相差幾倍。由于在巖石地基上進行現場載荷試驗很困難，因此資料相對較少，大多資料提供的k值僅分軟質巖(200～1 000 MPa/m)和硬質巖(1 000～15 000 MPa/m)兩種，由于數據分類過粗，不利設計人員選取使用。

對于筆者主要討論的重慶地區，常見巖層是泥巖和砂巖。通過研究發現，基床系數k與巖石單軸抗壓強度frk之間存在一定的關系，這為獲取基床系數找到了新的途徑。

巖石單軸受壓的破壞機制，雖然與地基的破壞機制有所不同，但巖石的單軸抗壓強度基本上能反映巖石的力學性質，已被國內外公認為衡量巖石的質量指標。根據重慶巖基站在巖石地基上進行的現場載荷試驗結果和相應的室內試驗結果[6]，通過回歸分析，得到的基床系數k和巖石單軸抗壓強度frk的關系式

(5)

將式(5)繪制成曲線，與現場載荷試驗得到的結果以及從國內文獻資料中收集的k值進行對比可知，用巖石單軸抗壓強度來換算k值是簡單可行的。對于巖質邊坡，應采用水平方向基床系數kh，它可通過基床系數進行適當折減得到，折減系數約0.8，從而近似得到巖質邊坡水平基床系數和巖石單軸抗壓強度的關系式：

(6)

4 框格梁內力簡化計算方法

4.1 基本思路

彈性地基梁的計算較為繁雜，如果沒有計算機的幫助，按理論方法進行手算工作量很大?？赏ㄟ^一定的簡化處理，進行簡化計算?？蚋窠Y點的錨桿荷載分配到縱、橫兩框格梁后，其內力便可按單向連續梁的方法進行計算。錨桿荷載按豎向變形協調分配時采用的地基模型，在按單向連續梁計算內力時也宜采用同樣的模型[2]。

對于有限長梁，框格梁的縱梁(x方向)和橫梁 (y方向)共同承擔錨桿錨固力，按地基上十字交叉梁與巖體的共同作用來計算。為簡化計算，將框格梁簡化為地基上正交交叉梁系，分別為兩個方向的地基上梁，一般不考慮結點上的扭轉變形協調，而只要求滿足結點的靜力平衡和變形協調條件，即假定框格梁在十字交叉結點處縱橫兩個方向為鉸接(上、下用鏈桿連接)，這就可認為一個方向的梁在該方向的力矩作用下發生轉角，不可能引起另一方向梁的扭轉和扭矩。通過對交叉點處荷載進行分配，然后分別按縱、橫兩個方向的地基梁來計算。

1966年，美國混凝土學會(ACI)436委員會對聯合基礎(承受2個柱荷載以上的基礎)和片筏基礎推薦了一種簡化計算法。筆者參照該法提出框格梁內力的簡化算法。

在文克爾地基模型的基礎上，假設框格梁底反力在錨桿結點下最大、跨中最小，在錨桿結點與跨中之間按直線分布，因此框格梁底反力成折線圖形(圖2)。根據集中荷載作用于無限長梁的彈性地基梁解和取單跨的靜力平衡條件，可推導出框格梁底反力和框格梁內彎距的簡化計算公式。

圖2 框格梁的梁底反力分布

4.2 總的原則和基本假設

1)跨度不少于3跨。

2)相鄰兩結點錨桿荷載的變化不大于20%。

3)相鄰兩結點間距的變化不大于20%，通常情況下錨桿按等間距設置。

5)在跨中到相鄰跨跨中之間，梁底反力的合力與梁上錨桿和與梁垂直方向分力大小相等、方向相反，并在同一條水平線上。

6)忽略梁自重對其內力的影響。

4.3 框格梁底反力和框格梁內力計算

4.3.1 中間錨桿結點處框格梁的彎矩

根據文克爾理論，對于一無限長梁上受集中力作用的情況，梁內彎矩可按式(7)計算[3]：

(7)

式中：M(x)為梁內x位置處的彎矩，kN·m；N為梁上所受集中力，kN；F3為λx的函數計算式；其它符號同前。

如果有若干集中荷載作用在無限長梁上，則梁上某截面的彎矩為各集中荷載對該截面的總和。圖3表示各中結點的彎矩和梁底反力分布。

研究證明，如果符合前面所述假設，在計算中間錨桿結點i截面處框格梁的彎矩時，式(7)中的三角函數F3(λx)可以近似地用一條直線代替，Mi(x)可近似地按式(8)計算：

(8)

式中：Ni為錨桿i提供的水平分力，kN；a為錨桿豎向間距，m。

圖3 中結點的彎矩和框格梁的梁底反力分布

4.3.2 中間錨桿結點處梁底反力

設錨桿i左、右兩跨的跨中梁底反力為pml和pmr，則平均跨中梁底反力為

(9)

從跨中到相鄰跨跨中取出一跨，根據基本假設5)，得：

(10)

則：

(11)

取出一跨作為脫離體，將錨桿結點處看成固定端，并將梁底反力作為荷載，如圖4。

圖4 計算簡圖

(12)

式中：Mi為i截面的彎矩，kN·m，按式(8)計算。

將式(11)代入式(12)，得錨桿結點下基底反力pi的表達式：

(13)

在計算跨中基底反力時，取跨中到臨近跨中為一單元，由上述假設以及靜力平衡條件得

{Ni=12(pml+pi)·12ll+12(pmr+pi)·12lr

12(pml+pi)·2pml+pipml+pi·l2l12=12(pmr+pi)·

2pmr+pipmr+pi·l2r12

(16)

聯立求解式(16)得

根據美國混凝土學會(ACI)1966年對聯合基礎和片筏基礎推薦計算法結論[7]，跨中梁底反力為：

(14)

式中：pml、pmr分別為i結點左、右兩跨跨中的梁底反力，kN/m。

對于錨桿等間距布置的情況，由于ll=lr=l，則：

(15)

將式(13)代入式(15)，得

(16)

4.3.3 框格梁跨中彎矩

計算出結點處梁的彎矩以及梁底反力后，可將相鄰兩結點間的一段梁作為脫離體，按平衡條件計算跨中彎矩(圖5)：

(17)

(18)

式中：M0為對應簡支梁時跨中彎矩。

圖5 框格梁跨中彎矩

4.3.4 邊結點處梁底彎矩及反力

框格梁外伸長度較短時，可以假定外伸部分梁底反力呈均勻分布(圖6)，則框格梁邊節點集中力N1(單位：kN)按式(19)計算，反力線荷載p1(單位：kN/m)按式(20)計算：

(19)

(20)

邊結點處梁彎矩M1為

(21)

圖6 邊結點處彎矩、反力分布

5 算 例

某受外傾節理面控制的巖質邊坡[8]，坡高12 m，設計放坡坡率為1∶1，采用預應力錨索框格梁支護，框格梁縱、橫向間距均為4.0 m，懸臂段2.0 m，梁長12.0 m。設計錨索為6束Φ15.2 mm鋼絞線，按照每孔錨索可承受T=900 kN的設計拉力，超張拉15%鎖定，水平夾角15°，橫梁和縱梁橫截面尺寸均為60 cm × 60 cm。邊坡巖石天然單軸抗壓強度值為10.0 MPa。

根據傳統倒梁法計算理論，基本假定：將坡面反力視為作用在框架上的荷載，把預應力錨索作為鉸支座，將框格梁作為倒置的交叉梁格體系來進行計算；假定坡面反力呈均勻直線分部，將橫梁和縱梁看成相互獨立的連續梁；忽略梁自重及側阻力影響。圖7為框格梁計算簡圖。

按照簡化文克爾地基梁法，在進行框格梁梁底反力和內力計算時，考慮框格梁與邊坡巖體的相互作用，框格梁底反力成折線分部，巖質邊坡水平基床系數kh按照式(6)計算，kh=100 MPa/m。傳統倒梁法及簡化彈性地基梁法計算結果見表1。

表1 框格梁內力計算結果

注：PC、PD分別為C、D點的梁底反力，kN/m。

由表1可以看出，與常規設計法相比，采用簡化文克爾地基梁模型計算框格梁內力，框格梁的中間錨桿結點處彎矩減小約35%，因此截面配筋設計等可得到明顯優化[9]。

根據現行GB 50330—2013《建筑邊坡工程技術規范》對框格梁計算的要求，將預應力錨桿框格梁簡化為單元梁，按支撐在錨固點上的井字梁進行內力計算，一般未考慮邊坡與巖體相互作用影響。筆者提出的簡化計算方法，考慮了框格梁與邊坡巖體的相互作用，計算模型更加符合實際預應力錨桿框格梁受力機理。從算例對比看出，框格梁截面尺寸及配筋計算等得到優化，該計算方法更加可靠經濟。不過，簡化計算方法有一定的適用條件，計算時應滿足4.2的原則和基本假設。

6 結 論

1)地基基床系數可用巖石天然狀態下的單軸抗壓強度折算近似得到；對于巖質邊坡，采用的水平方向基床系數，可通過豎向基床系數進行適當折減得到。

2)根據框格梁剛度的不同，將框格梁分為剛性梁、有限長梁、無限長梁等，分別提出了不同類型框格梁內力的簡化計算公式。

3)提出了巖質邊坡預應力錨桿框格梁內力簡化計算方法，與常規設計法相比，框格梁的截面和配筋設計得到了優化，計算方法合理實用。