納米梁非線性振動隧道電流反饋控制

(山東理工大學交通與車輛工程學院, 山東淄博255049)

0 引言

隨著微納米傳感技術近幾年的快速發展，納機電系統(nano-electromechanical systems，簡稱NEMS)的振動控制研究已成為科研工作者關注的熱點問題之一。作為重要的NEMS構件，納米梁具有靈敏度高、輕質等特點，常被研究者用來制作高精度的傳感器。但是隨著尺寸的進一步減小，納米梁在振動控制中容易出現多值、不穩定等的非線性特征，這嚴重影響了NEMS器件的穩定性。因此，消除振動控制中的非線性影響是納微器件設計過程中首要考慮的問題，納微器件的非線性振動控制成為微機電系統研究的一個重要方向。

近年來，傳感技術得到了較快的發展，信號提取傳感器的研究備受關注。電子隧道效應器件作為一種敏感性傳感器，可以用于納米梁的信號提取工作。Rockstad等[1]利用電子隧道效應原理制作了檢測小位移的高性能加速度傳感器。徐毓龍[2]介紹了基于量子隧道效應的器件和電路的優越性。羅源源等[3]設計了一種新型的基于隧道效應的微機械陀螺儀，把電子隧道原理應用到微機械振動陀螺的振動位移檢測，其結構簡單、功耗低、抗干擾能力強、可靠性好、線性度高，具有很高的靈敏度。Opacak等[4-5]研究了電子在復勢壘中的隧穿現象，并得出共振頻率表達式。李夢超等[6-7]研究了在隧道狀態下低頻納米級振動對隧道間隙的影響，認為系統在隧道狀態下對納米級振動有很好的幅頻響應。夏一等[8]基于量子隧道效應設計了用以測量納米級微小測量量的隧道傳感系統裝置。

納機電系統的非線性振動控制研究在近幾年取得較大的進展。Dumitru等[9]研究了靜電驅動懸臂梁微諧振器的非線性響應，并利用多尺度方法進行了分析。Shahrokh 等[10]研究了納米梁非線性振動的控制方程，采用多尺度方法求得非線性控制方程的解析解，得到了納米梁的非線性固有頻率。Zhao等[11]建立了考慮表面效應的懸臂梁橫向振動的力學模型，得到了納米梁非線性振動方程的近似解析解。楊曉東等[12]考慮納米梁的有限變形導致的幾何非線性，得到系統的運動微分方程，應用多重尺度方法研究系統的非線性固有頻率。劉燦昌等[13]以彈性理論為基礎計算得到非局部效應和軸向非線性納米梁的固有頻率，研究了考慮非局部效應的納米梁主諧波共振響應。Gong 等[14-16]針對納米梁非線性振動控制問題提出了納米梁非線性振動電容式傳感器控制方法。Beni等[17]考慮卡西米爾力和彈性邊界條件的影響，對梁式納機電系統的靜態不穩定性進行了理論研究。Wang等[18]研究了納米梁在外載荷作用下的非線性共振問題，利用多尺度方法求出非線性控制方程，并討論了頻率和振幅之間的關系。Alves等[19]研究了矩形截面靜電激勵納米梁的非線性動力學行為。

本研究基于隧道電流反饋控制的納米梁非線性振動，將隧道效應理論應用于納米梁非線性振動的信號提取中以增加信號提取的靈敏性與精確性。選用懸臂梁作為振動的物理模型，對基于隧道電流反饋控制的納米梁非線性振動進行分析研究，利用隧道電流反饋提取振動信號，并推導出納米梁主共振非線性振動方程，利用多尺度法推導出幅頻響應方程并作出幅頻響應圖像，旨在研究直流和交流激勵電壓、振動控制參數、控制電壓、阻尼等對系統主共振幅頻響應的影響，以及分析有效控制非線性振動的影響因素。

1 隧道效應傳感原理

根據量子力學理論，當兩個電極之間的距離接近納米量級尺度時，電子就可能穿越勢壘，這種現象被稱為隧道效應[20]。電子隧道器件作為一種具有極高靈敏度的位移換能器，已經被廣泛用于信號檢測與提取中。

在探測針與其對應表面之間的隧道電流值滿足以下關系：

(1)

式中，κ為比例系數，V為偏置電壓，β為轉換因子，φ是勢壘高度，z為兩個導體面之間的距離。

由隧道效應產生的振動控制信號電壓為：

(2)

式中，d為納米梁與極板間的初始距離，w為納米梁振動時的撓度，R為控制電路中的采樣電阻。

2 納米梁隧道電流反饋控制振動模型

圖1 納米梁隧道效應振動控制模型Fig.1 Vibration control model with tunnel effect of nanobeam

本研究選用一端固定、一端自由的懸臂納米梁作為振動控制研究的動力學模型，如圖1所示。AB和CD為兩個控制極板，各連接一個控制器，分別對位移和速度電壓進行反饋控制，EF為靜電驅動極板，控制極板和驅動極板邊界點A、B、C、D、E、F分別對應參數坐標值xA、xB、xC、xD、xE、xF，納米梁與極板間的初始距離為d。在納米梁左側底部有一探測針，用于采集納米梁振動信號。納米梁長度方向的尺寸遠大于其寬度和高度方向的尺寸。

基于隧道電流反饋控制，作用于納米梁與靜電驅動極板間的控制電壓為：

Ucd=Uc+Uckw(xi,t)，

(3)

(4)

基于隧道電流反饋控制，作用于納米梁與靜電驅動極板間的激勵電壓為：

Uda=Ud+Uacos(Ω*t)，

(5)

式中，Ud是直流激勵電壓幅值，Ua是交流激勵電壓幅值，Ω*是激勵信號頻率。

作用于納米梁與靜電控制極板間的控制電壓的平方為：

(6)

(7)

式中，g1為控制參數。

靜電驅動力為：

(8)

靜電控制力為：

(9)

式中，ε0是真空介電常數，W是納米梁的寬度，d為納米梁與極板間的初始距離，w為納米梁振動的撓度，HAB、HCD和HEF滿足Hij=[H(x-xi)-H(x-xj)]，H(x-xi)為階躍函數。

在控制力作用下，基于隧道電流反饋控制的納米梁非線性振動微分方程可表示為：

(10)

引入以下無量綱量：

(11)

式中，l表示納米梁的長度。將式(5)～(9)和(11)代入式(10)中，對非線性項1/(1-u)2、1/(1+u)2進行泰勒級數展開。假設納米梁振動系統是弱非線性系統，則系統參數可以用小參數變量ε表示，得到在控制力作用下基于隧道電流反饋控制的納米梁無量綱非線性振動微分方程為：

(12)

3 納米梁隧道電流反饋控制梁的非線性振動

本研究只考慮激勵電壓一階諧波和靜態部分對納米梁非線性振動的影響，應用多尺度法求解方程(12)的近似解，并表示成以下形式[21]：

u(z,t,ε)=u0(z,T0,T1)+εu1(z,T0,T1)+…，

(13)

式中，ε是無量綱參數。

將式(13)及其對時間的導數帶入式(12)，令方程等號左右兩邊ε同次冪的系數相等，得到以下偏微分方程：

(14)

(15)

本文中研究納米梁主共振響應，取激勵頻率為：

Ω*=ωk+εσ，

(16)

式中，σ為頻率調諧參數。

將式(14)的近似解用以下形式進行表示[22]，即：

(17)

(18)

將式(17)、(18)代入式(15)，進行模態正交化處理。為避免出現久期項，函數A應滿足以下關系式：

(19)

(20)

(21)

(22)

為確定納米梁穩態振動時對應的振幅ak和相位γk，令D1ak=D1γk=0，即：

(23)

(24)

從而求得系統主共振的幅頻響應方程和相頻響應方程為：

(25)

(26)

對式(25)進行分析可得，幅頻響應方程與激勵電壓、振動控制參數、調諧參數和納米梁各參數值有關。

(27)

將式(27)對σ求導，令?Ek/?σ=0，且在共振頻率點處滿足：

vkEk+σk=0，

(28)

(29)

那么，可求得主共振的最大振幅akmax的兩個解為：

(30)

分析式(30)可得知，主共振的峰值大小與非線性因素無關。

4 數值模擬與分析

本研究選用Euler-Bernoulli梁為振動模型，納米梁的各參數值如表1所示。以一階振動模態為例進行分析，得到基于隧道電流反饋控制的納米梁非線性振動的幅頻響應曲線圖和相位圖。

圖2所示為直流激勵電壓不同時的振幅—頻率關系曲線。由圖2可得，當直流激勵電壓為2.5 V時，系統振動的最大振幅為0.56，振幅峰值點后出現多值區間，振幅隨頻率的變化呈非線性變化趨勢，振動不穩定。當直流電壓繼續降至1.5 V時，最大振幅減小為0.28，且系統振動趨于穩定。隨著直流激勵電壓幅值由2.5 V降為1.5 V，系統的振動幅度逐漸減小，衰減幅度為50 %，振幅峰值點處頻率逐漸趨于共振頻率。由此可得，減小電路中的直流激勵電壓值可以使系統振動的非線性減弱甚至消失。

圖3所示為交流激勵電壓不同時的振幅—頻率關系曲線。當交流激勵電壓為2.0 V時，系統振動不穩定，最大振幅為0.55，最大振幅處的頻率點向右偏離共振頻率點，振幅峰值點之后開始出現多值區間，系統振動表現為非線性振動。當交流電壓降為1.0 V時，最大振幅削減為0.23，系統的非線性減弱。隨著交流電壓由2.0 V減小至1.0 V，系統的振動幅度隨之減小，衰減幅度為58 %，振幅峰值點向右偏離共振頻率點的距離減小，系統振動趨于穩定狀態。由此可得，降低交流激勵電壓幅值可以減弱甚至消除系統的非線性。

表1 納米梁振動模型各參數值Tab.1 Parameters of the nanobeam vibration model

圖2 不同直流激勵電壓下的振幅—頻率關系曲線
Fig.2 Relationship curves of amplitude-frequency withdifferent direct current excitation voltages

圖3 不同交流激勵電壓下的振幅—頻率關系曲線
Fig.3 Relationship curves of amplitude-frequency withdifferent alternating current excitation voltages

圖4所示為阻尼不同時的振幅—頻率關系曲線。當阻尼值為0.021時，系統最大振幅為0.56，最大振幅點向右偏離共振頻率點，存在多值區間，振動不穩定。當阻尼值繼續增大至0.028時，系統的最大振幅減小至0.36，系統的非線性減弱，振動趨于穩定。當直流、交流激勵電壓幅值和其他參數值一定時，系統的振幅峰值隨阻尼系數的增大而減小，衰減幅度為36 %，振幅峰值點向右偏離共振頻率點的距離也隨之減小，系統的振動由不穩定非線性振動趨于穩定振動狀態。由此可得，增大阻尼值可以減弱系統振動的非線性。

圖5所示為納米梁與極板間的初始距離不同時的振幅—頻率關系曲線。當納米梁與極板間的初始距離為480 nm時，在共振點的右側，振動出現多值區間，振幅峰值點向右偏離共振頻率點，出現明顯的非線性振動現象。當納米梁與極板間的初始距離增加為520 nm時，系統的振幅峰值減小，系統振動的非線性明顯減小但仍然存在。當納米梁與極板間的距離為560 nm時，系統的最大振幅減小至0.34，振動逐漸趨于穩定狀態。當激勵電壓幅值與其他參數值一定的情況下，隨著納米梁與極板間初始距離的增加，系統的最大振幅逐漸減小，衰減幅度為54 %，振幅峰值點向右偏離共振頻率點的距離減小，系統的振動逐漸由不穩定狀態趨于穩定狀態。由此可得，增大納米梁與極板間的初始距離可以減弱系統非線性。

圖4 不同阻尼下的振幅—頻率關系曲線
Fig.4 Relationship curves of amplitude-frequencywith different damping

圖5 不同的納米梁與極板間初始距離下的振幅—頻率關系曲線
Fig.5 Relationship curves of amplitude-frequencywith different initial distance betweenthe nanobeam and the plate

圖6所示為控制電壓不同時的幅頻響應曲線。分析圖6可得，改變系統的控制電壓對振幅的大小無明顯影響，系統的振幅峰值基本保持在0.56左右。當控制電壓為6.0 V時，振幅峰值點明顯向右偏離共振頻率點，出現多值區間，系統振動不穩定。隨著控制電壓由6.0 V降為2.0 V時，振幅峰值大小基本沒發生改變，振幅峰值點向右偏離共振頻率點的距離減小，系統的振動逐漸趨于穩定狀態。由此可得，減小系統控制電壓可以減弱系統振動的非線性。

圖7所示為阻尼不同時最大振幅隨納米梁長度變化曲線。當保持阻尼值一定時，最大振幅akmax隨納米梁長度的增加而增大。當納米梁的長度一定時，阻尼值越大，最大振幅akmax的值越小。這與圖4所示的阻尼不同時的幅頻響應曲線所得結論相對應，也與式(30)所得出的結論相一致。

圖6 不同控制電壓下的振幅—頻率關系曲線
Fig.6 Relationship curves of amplitude-frequencywith different control voltages

圖7 阻尼不同時最大振幅隨納米梁長度變化曲線
Fig.7 Curves of the maximum amplitude varyingwith nanobeam length under different damping

圖8和圖9分別為控制增益和控制電壓不同時非線性項隨納米梁長度變化曲線。非線性項vk能夠影響系統振動的穩定性，將vk控制在合理的范圍內可以減小系統振動時的非線性。當納米梁的控制增益參數一定時，非線性項vk隨納米梁長度的增加而逐漸減小。當納米梁的長度一定時，非線性項vk隨振動控制增益參數和系統控制電壓的增大而減小。由此可得，選擇合適的控制增益參數和控制電壓可以將非線性項vk控制在合理范圍內，對納米梁非線性振動進行控制與調節，從而增加系統的穩定性。

圖8 控制增益不同時非線性項隨納米梁長度變化曲線
Fig.8 Curves of the nonlinear term varyingwith nanobeam length under differentcontrol gain parameters

圖9 控制電壓不同時非線性項隨納米梁長度變化曲線
Fig.9 Curves of the nonlinear term varying withnanobeam length for different control voltages

分析圖2～圖6的振幅—頻率關系曲線可得，適當改變直流和交流激勵電壓、控制電壓、阻尼值、納米梁與極板間的初始距離可對納米梁主共振幅頻響應產生一定的影響，同時可以對系統振動非線性進行調節與控制。當直流激勵電壓由2.5 V減小為1.5 V，交流激勵電壓由2.0 V降低為1.0 V時，系統的振幅峰值減小，振幅衰減幅度分別為50 %和58 %，振動非線性減弱，振動由不穩定狀態趨于穩定狀態；當系統的阻尼值不斷增加至0.028時，系統的最大振幅減小，衰減幅度為36 %；當增加納米梁與極板間的初始距離至560 nm時，振幅峰值減小，衰減幅度為54 %，系統非線性減弱；系統控制電壓對振幅峰值沒有明顯的影響，但減小控制電壓，可以明顯減弱振動非線性。

圖7通過描述阻尼不同時最大振幅隨納米梁長度的變化驗證了圖4所得出的結論，驗證了在振幅—頻率關系曲線中得出的增大阻尼值可以明顯減小振幅峰值結論的正確性。圖8和圖9分別通過改變振動控制增益參數和控制電壓分析了兩者的改變對非線性項的影響，選擇合適的振動控制增益參數和控制電壓可以將非線性項控制在合理范圍內，從而使振動非線性得到有效的控制。

與傳統的信號提取裝置相比，將隧道電流反饋應用于振動信號提取過程中可提高了信號檢測的靈敏性與準確性。從對振動非線性的控制結果看，隧道電流反饋控制能明顯減小納米梁的振幅峰值，對系統振動非線性有明顯的控制與調節作用。

5 結論

①在隧道電流反饋控制作用下，適當減小直流或交流激勵電壓幅值、增大阻尼、增大納米梁與極板間的初始距離可以減小系統的振動幅值。

②直流和交流激勵電壓、控制電壓、阻尼值、振動控制增益參數、納米梁與極板間的初始距離是系統非線性振動的影響因素，通過適當減小直流和交流激勵電壓幅值、增大阻尼、增大納米梁與極板間的初始距離、減小控制電壓、選擇適當的控制增益可以降低納米梁振動的非線性，提高系統穩定性。

③基于隧道電流反饋控制，通過選取合適的控制電壓和控制增益可以將系統的振動非線性項控制在合理范圍內，從而實現對納米梁非線性振動的控制。