基于Sobol法的車身抬高量的全局敏感性分析

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(1.山東理工大學交通與車輛工程學院， 山東淄博255049；2.山東管理學院機電學院， 山東濟南250357)

0 引言

在汽車轉向系統設計時，不僅需要考慮轉向輕便性，還要考慮轉向回正性能。隨著助力轉向系統的普及，汽車的轉向輕便性得以輕松地實現，但是汽車的轉向回正性能仍然需要通過前輪定位參數和主銷位置參數的合理設計來保證。文獻[1]中提到現實中的部分車輛存在車輪回轉中心線與主銷軸線沒有交點的情況，該類型車輛主銷位置最終產生的后傾拖距仍然保持與同類汽車相近的數值，因而也保持與一般汽車大致相同的力反饋和角反饋，但其中并未就這一情況是否對車身抬高量有影響進行分析。絕大部分文獻在計算重力引起的回正力矩時都是以車輪回轉中心線與主銷軸線存在交點為前提[2-3]，并未考慮車輪回轉中心線與主銷軸線不存在交點對回正力矩的影響，而在相關領域內對車身抬高量的全局敏感性分析更是鮮有研究。本文引用ISO 8855:2011標準中定義的車輪中心主銷拖距(castor offset at wheel centre)來描述車輪回轉中心線與主銷軸線的空間位置關系，然后建立車輪運動模型并進行求解，最后應用改進的Sobol法對車身抬高量進行全局敏感性分析，旨在分析車輪定位參數和車輪中心主銷拖距對車身抬高量的影響，為汽車的主銷位置設計提供參考。

圖1 車輪中心主銷拖距示意圖Fig.1 Schematic diagram of castor offset at wheel centre

1 車輪中心主銷拖距的定義

根據ISO 8855: 2011標準的定義，車輪中心主銷拖距是指車輪中心和主銷軸線在輪胎坐標系xoz平面的投影于x軸方向的距離，用qτ表示，如圖1所示。如果主銷軸線的投影相對于車身在車輪中心之前，則車輪中心主銷拖距為正。

2 模型建立

2.1 假設條件

本文分析采用以下一般假設[1-4]：①輪胎半徑不變；②輪胎在接地面的位置以輪胎中心平面與地面的交線與車輪旋轉中心線在地面投影的交點(即輪胎接地中心)來表示，不考慮輪胎和地面的面接觸，也不考慮側偏引起的輪胎接地中心的偏移；③前輪主銷位置固定不動。

2.2 右前輪與主銷相對位置物理模型的建立

為表示右前輪與主銷的相對位置關系，建立如圖2的笛卡爾坐標系，O為坐標原點，x、y、z軸方向與車輛坐標系一致。O′表示主銷延長線與地面的交點，主銷在xoz平面的投影為O′F′，OP表示qτ=0時的主銷位置，O點表示qτ=0且其他主銷位置參數不變時主銷延長線與地面的交點，OP在xoz平面的投影為OF。A1、A2、A3分別表示右前輪前束角和外傾角為零時車輪中心點、右前輪只存在外傾角時的車輪中心點以及右前輪同時存在前束角和外傾角時的車輪中心點，A4表示右前輪圍繞主銷旋轉一定角度后A3點移動到的位置。B1表示車輪與地面的輪胎接地中心點，B2表示右前輪圍繞主銷旋轉一定角度后B1點移動到的位置。γ、β、σ、τ分別表示右前輪的外傾角、前束角、主銷內傾角和主銷后傾角。A1C1表示前束角與外傾角為零時的車輪回轉中心線，A3R表示前束角與外傾角不為零時的車輪回轉中心線。OP與A3R相交于點R，OP與A1C1相交于點Q，D點表示OF與A1C1的交點，OF與O′F′在x軸方向的距離用DD1表示。由于前輪前束角一般很小，可令DD1近似等于qτ以簡化模型。

接下來根據雙橫臂懸架的轉向節參數求車輪中心和輪胎接地中心的坐標。假設已知車輪半徑r、前輪軸擺臂lb(lb表示主銷軸線與車輪回轉中心線在汽車坐標系yoz平面上投影的交點至車輪中心平面的距離)。雙橫臂懸架轉向節如圖3所示。

圖2 右前輪與主銷相對位置關系圖
Fig.2 Diagram of the relative position of theright front wheel and the kingpin

圖3 雙橫臂懸架轉向節示意圖
Fig.3 Sketch of knuckle for doublewishbone suspension

圖4 車輪中心與主銷相對位置關系圖Fig.4 Diagram of the relative position of the wheel center and the kingpin

設A3在圖2坐標系中的坐標為(xA3,yA3,zA3)，以Q點為坐標原點，建立如圖4的笛卡爾坐標系。在考慮右前輪的外傾角和前束角后，假設車輪回轉中心線與主銷軸線存在交點R，R應位于主銷軸線上Q點上方的某個位置。R′為R點在過A3點水平面的投影，R″為R′在通過A3點且與y軸平行的直線上的投影。A3′點為過A3點且與RR′平行的直線上一點，位于A3點上方，滿足RR′=A3A3′，點A3″為點A3在過Q點水平面的投影。A3R表示前輪軸擺臂。

在A3A3′RR′平面，有：

RR′=lbsinγ，

(1)

R″R′=lbcosγsinβ。

(2)

設在圖2坐標系中的R點坐標為(xR,yR,zR)，有：

zA3=rcosγ，

(3)

A3A3″=r(1-cosγ)，

(4)

zR=RR′-A3A3″+r=lbsinγ-r(1-cosγ)+r，

(5)

R″A3=lbcosγcosβ，

(6)

yR=zRtanσ，

(7)

xR=-zRtanτ，

(8)

yA3=-R″A3+zRtanσ，

(9)

xA3=-rtanτ+rsinγsinβ，

(10)

即A3點坐標為(-rtanτ+rsinγsinβ，-lbcosγcosβ+(lbsinγ+rcosγ)tanσ，rcosγ)。

設B1點坐標為(xB1,yB1,0)，由圖2的幾何關系可知：

yB1=rsinγcosβ+yA3=rsinγcosβ-lbcosγcosβ+[lbsinγ-r(1-cosγ)+r]tanσ，

(11)

xB1=-rtanτ，

(12)

即B1坐標為(-rtanτ,rsinγcosβ-lbcosγcosβ+(lbsinγ+rcosγ)tanσ,0)。

2.3 車身抬高量數學模型的建立

A3點坐標由前文已知，A4點坐標可通過對A3點進行圖形變換[5]得到。圖形變換的基本思路：將A3點連同主銷一同向x軸負方向平移距離qτ，使得主銷軸線與車輪回轉中心線相交，再將其繞x軸旋轉σ度角，使得主銷軸線位于xoz平面，接著將其繞y軸旋轉τ度角，使得主銷軸線與z軸重合，然后將A3繞z軸旋轉θ度角，最后應用逆旋轉變換和逆平移變換將主銷軸線變換到原來位置，旋轉的角度正負參考右手法則。

變換矩陣為:

T=T1·T2·T3·T4·T5·T6·T7

(13)

設A4點坐標為(xA4,yA4,zA4)，用四維齊次坐標PA4=[xA4yA4zA41]表示三維空間的A4點，用四維齊次坐標PA3=[xA3yA3zA31]表示三維空間的A3點，由圖形變換法可知：

PA4=PA3·T，

(14)

即可得A4點坐標為(xA4,yA4,zA4)。由于采用矩陣變換的方法，模型得到的解析解較為冗長，本文暫不列出。

A3點與A4點的z軸坐標之差即為車輪中心抬高量h1，即：

h1=zA4-rcosγ。

(15)

由相對運動關系可知右前輪總的抬高量h為：

h=-h1。

(16)

假設車輪半徑r=0.3 m，外傾角γ=1 °，前束角β=0.3 °，前輪軸擺臂lb=0.1 m，主銷內傾角σ=9.5 °，主銷后傾角τ=4 °，代入以上各式可得出車輪中心主銷拖距對車身抬高量的影響，結果如圖5所示。

圖5 車輪中心主銷拖距對車身抬高量的影響Fig.5 Influence of castor offset at wheel centre on the body lift

由圖5可知車輪中心主銷拖距qτ對車身抬高量大小影響明顯，如在qτ=0 m時，車身抬高量最大為33.75 mm，但是在qτ=-0.1 m時，車身抬高量最大可以達到47.97 mm。不僅如此，qτ的變化甚至影響車身抬高量的變化趨勢，如在qτ=0 m，車輪轉角在0 °～50 °范圍內時，車身抬高量隨著右輪轉角的增加先減小后增大，但是在qτ=-0.1 m時，同樣的轉角范圍，車身抬高量隨著車輛轉角的增加而一直增大。因為車身抬高量與回正力矩緊密相關，所以qτ也是一個影響車輛轉向回正性能和轉向輕便性的重要參數。

3 車身抬高量的全局敏感性分析

為分析多個輸入參數對輸出參數的影響程度，對車身抬高量進行全局敏感性分析?？紤]模型的非線性特點，采用基于方差的敏感性分析方法，通常稱為Sobol方法。Sobol法的核心思想是將模型輸出的總方差分解為每個輸入參數的方差和各輸入參數相互作用的方差之和，然后通過輸入參數對輸出總方差的貢獻比例進行敏感性分級。任意d個輸入變量的數學模型可以寫作為：

Y=f(X)，

(17)

其中，X是關于輸入參數{X1,X2,X3,…,Xd}的向量。

Sobol法假設輸入參數在單元超立方體內是獨立均勻分布的，即Xi∈[0,1]，i=1,2,3,…,d。但是任何輸入參數的定義區間都可以轉換到[0,1]上，這一般不會造成誤差損失。如果輸入參數Xi的定義區間為[XL，XU]，則有：

Xi′=Xi·(XU-XL)+XL，

(18)

Xi′表示Xi映射到定義區間[XL,XU]上的一點。

設置采樣樣本數為n(500或更多)[6]，樣本數量越多，結果越準確。輸入變量數目為d(本文d=6)。Sobol法的一般處理流程[7]如下：

①生成一個n×2d的矩陣J。這里n個樣本的采樣應該根據輸入參數的概率分布來完成。樣本采樣方法一般都是基于蒙特卡洛采樣以及一系列基于蒙特卡洛采樣的變種，這里采用Sobol’ quasi-random sequence來生成均勻分布的(準)隨機數[6]，借助Matlab中Sobolset函數實現，即：

(19)

②將矩陣J的前d列作為矩陣A，剩余的后d列作為矩陣B，這樣給出d維單元超立方體的n個點的兩個獨立樣本矩陣，即：

(20)

(21)

再構建n×d的矩陣ABi，使得ABi的第i列等同于矩陣B的第i列，其余列與矩陣A保持一致，即：

(22)

其中，i=1，2，3，…，d。

至此構建了A、B、ABi共(d+2)個矩陣，得到(d+2)×n組[0,1]區間上的輸入參數樣本。

(23)

(24)

總效應指數STi[9-10]為：

(25)

其中，對于Vxi(Ex～i(Y|Xi))，有[6]：

(26)

對于Ex～i(Vxi(Y|X～i))，有[11]：

(27)

V(Y)=V(f(A′B′))，

(28)

(29)

式(26)～(28)中，j=1,2,3,…,n；f(*)j表示取f(*)的第j行；X～i表示除了輸入參數Xi外的所有輸入參數；V(*)表示*的方差；Ex～i(*)表示包含所有輸入參數但不包括Xi的*的期望值(本文采用均勻分布，也即*的平均值)，同理，Exi(*)表示只包含輸入參數Xi的*的期望期；Y|Xi表示輸入參數Xi固定不變但接受X～i樣本變化的輸出參數Y，同理，Y|X～i表示除了輸入參數Xi外的所有輸入參數固定不變但接受Xi樣本變化的輸出參數Y。

在MATLAB中建立并運行上述數學模型，取樣本數n=104，得到各輸入參數對車輪抬高量的敏感性指標，結果如表1所示。

由表1可知，對車身抬高量影響較為明顯的結構因素依次是車輪中心主銷拖距、主銷內傾角、主銷后傾角，而其他因素對車身抬高量的貢獻度則相對較低。雖然車輪中心主銷拖距這一常被忽略掉的因素單獨對車身抬高量的影響較小，一階影響指數Si只有-0.001 7，但它與其他因素相互作用后對車身抬高量影響明顯，總效應指數STi達到0.737 3，超過了主銷內傾角和主銷后傾角的總效應指數之和。因此，有時發現車輪定位參數匹配沒有太大問題，但還是出現低速不回正或者低速回正過多現象，可能就因為沒有考慮車輪中心主銷拖距的影響。

表1 各變量對車身抬高量的敏感性指標Tab.1 Sensitive index of each variable on the body lift

4 結語

本文基于圖形變換法建立右前輪與主銷相對位置的物理模型和車身抬高量的數學模型，通過理論分析得出車輪中心主銷拖距與車身抬高量的關系，結果顯示，車輪中心主銷拖距不僅影響車身抬高量的大小，還影響著車身抬高量的變化趨勢。應用改進的Sobol法對車身抬高量進行了全局敏感性分析，根據敏感性指標得出車輪中心主銷拖距和主銷內傾角、主銷后傾角是對車身抬高量影響較大的3個因素。就所研究對象而言，車輪中心主銷拖距對車身抬高量的貢獻度甚至超過主銷內傾角和主銷后傾角對車身抬高量的貢獻度，說明車輪中心主銷拖距是一個對車輛轉向回正性能和轉向輕便性影響較為明顯的參數。

本文在計算車身抬高量時采用一般性假設，將車輪視為剛性體，并未考慮其彈性變形，接下來的工作可結合輪胎模型進一步完善本文的車身抬高量模型。另外，本文在建立模型時假設車輪中心主銷偏移距不變，未來可將其與車輪中心主銷拖距結合進行共同分析，以進一步研究兩者對回正力矩和操縱穩定性的影響。