基于規模法則的城市規模與交通擁堵關系研究

伍速鋒，吳克寒，王 芮，徐天東

(1.中國城市規劃設計研究院，北京 100037；2.上海海事大學，上海 201306；3.佛羅里達大學，美國佛羅里達州蓋恩斯維爾 32611-5706)

隨著城鎮化的不斷推進，交通擁堵成為主要的城市病之一，限制大城市規模成為緩解城市交通病的手段之一。然而，這一手段引起了廣泛爭議。文獻[1]提出，通過限制城市規模來緩解擁堵用處不大。但也有一些研究表明，交通擁堵和城市規模之間存在正相關關系。文獻[2-3]通過中國的實證分析表明，人口越多的大城市，交通系統的壓力也越大，人口對交通擁堵越具有正向作用。湯姆遜(J M Thomson)在《城市布局與交通規劃》一書中指出，城市規模對于交通擁堵有重要影響[4]。但該研究側重于實證，缺乏理論研究。本文利用規模法則并結合實證，從理論的角度研究城市規模與交通擁堵的關系。

1 規模法則

1638年伽利略就在《關于兩門新科學的對話》中提出了如下觀點：世間萬事萬物，通常都不能按照簡單的線性比例放大。美國物理學家杰弗里·韋斯特(Geoffrey West)從理論和實證上證明了該觀點，并在其著作《規模：復雜世界的簡單法則》中提出“規模法則”(scaling laws，也被譯為“標度律”)的概念[5]。物理學家們進行了進一步的研究，并引入標度律公式研究規模法則，即Y=cXk，考慮到c 為常數，還可以簡化為Y∝Xk。研究表明作為冪率的k非常重要，甚至可以決定整個系統的性質[5-6]。如果k=1，即為線性關系，即X增大一倍，Y也增大一倍；如果k＞1，即為超線性關系(superlinear)；如果k＜1，即為次線性關系(sublinear)。

圖1 舉重運動員體重與力量值Fig.1 Value of the weightlifter's weight and strength

圖2 中國城市城區人口和道路長度的關系Fig.2 Relationship between urban area population and road length in Chinese cities

生物體的力量和重量之間是次線性關系。因為力量跟面積成正比，而重量跟體積成正比。由幾何學知識可知，面積跟長度的平方成正比，如圓的面積S=πr2。體積跟長度的立方成正比， 如球的體積V=4/3πr3。以圓球形為例，按照物理學上密度均勻的物質，重量跟體積成正比，進而可以推導出：面積(即力量)與體積(即重量)的2/3次方成正比，即S=π(3/4π)2/3V2/3。

化學家利茲克(M H Lietzke)用1956年奧運會舉重比賽成績驗證了伽利略提出的觀點[4-5]。對Y=cXk兩邊取對數，得到LogY=Logc+kLogX。若X為體重、Y為成績，將體重和成績在坐標系中表示出來(見圖1)，其基本為一條直線，斜率為0.675，接近理論值2/3≈0.667。上述原理同樣也適用于城市的相關研究。

2 城市規模越大越經濟

運輸領域存在船越大越經濟的規律，其背后主要是規模法則在發揮作用。英國工程師布魯內爾(I K Brunel)意識到，船的載貨能力由體積決定，跟船的尺寸的立方成正比；船在水面上受到水的拖拽力則與船底的面積成正比。因此，船要克服的航行阻力與船的載重量的2/3 次方成正比，是一個次線性關系。如果需要把載重量擴大到10 倍，需要的動力達到原來的4.6倍即可[5-6]。

與船越大越經濟相似，城市規模也是越大越經濟。韋斯特分析了法國、德國、荷蘭和西班牙多個城市的人口數量和加油站個數之間的關系。人口越多，加油站越多，但是加油站的增長比人口慢，加油站數量和人口的0.85次方成正比。因此這是一個次線性關系，意味著城市規模越大(人口越多)，人均所需要的加油站數量就越少[5-6]。

文獻[5]揭示了更多的研究成果，城市的道路總長度、水電和煤氣管道總長度也與人口的0.85 次方成正比，即城市基礎設施∝人口0.85。這個規律意味著大城市比小城市更節省基礎設施。本文分析了中國600 余個城市城區人口和道路長度的關系，冪率為0.87，與國外的統計結果比較接近(見圖2)。

3 城市規模越大越擁堵

前文提到城市基礎設施長度與人口的0.85次方成正比，兩側除以人口數，則城市基礎設施/人口∝人口-0.15，即城市人口數越大，人均的城市基礎設施數量越少，換言之城市規模越大，設施利用率越高。就交通而言，當這種增長超過交通承載力后，就會導致交通擁堵，國內外城市交通擁堵也基本符合這一機理。

3.1 實證分析

本文選取百度公司2018年第二季度的交通擁堵排名數據作為參考(見表1)，擁堵靠前的多為規模較大的城市[7]。英國主要城市人均高峰擁堵耗時總體上呈現與人口規模正相關的關系(見圖3a)。美國主要都市區人均高峰擁堵耗時總體上也呈現與人口規模正相關的關系(見圖3b)。其中紐約、芝加哥因為發達的公共交通系統，擁堵有所緩解，紐約的公共交通客運量占全美公共交通客運量的比例超過1/3。

3.2 機理分析

為什么會存在城市基礎設施和人口的次線性關系呢？路易斯·貝當谷(Luís M.A.Bettencourt)[8]和卡洛斯·達甘索(Carlos Daganzo)[9]分別做出了數學推理和理論解析。本文利用規模法則的基本理論做出了簡化的分析模型。

1）貝當谷的數學推理。

關于0.85 的來歷，美國圣塔菲研究所(Santa Fe Institute)的貝當谷做出了數學推理，認為應該接近5/6[8]。推理過程如下。

城市里每個人的基礎收益與城市人口密度成正比。設定N代表城市總人口，A代表城市面積，那么人口密度n=N/A。

人均成本與A的1/2 次方成正比，人均基礎收益與N/A成正比，而要想讓城市維持下去，就要求成本等于基礎收益，因此A的1/2次方與N/A成正比，即A∝N2/3。理想城市的面積與人口總數的2/3 次方成正比。這說明越大的城市越擁擠，當然從另一方面也可以說越大的城市越節省土地。

最后，再看基礎設施。城市里兩個人之間的平均距離d應該等于人均面積的平方根，即。如果這個城市的基礎設施好，人均擁有的道路長度應該就是兩個人之間的平均距離。即城市道路的總長度Nd應該與成正比?？紤]到A與N的 2/3 次方成正比，即。其中，5/6=0.833，這就是前述基礎設施冪率0.85的由來。

表1 百度公司2018年第二季度的交通擁堵排名Tab.1 Congestion rank of the 2nd quarter released by the Baidu Inc.

圖3 英國和美國擁堵排行與人口規模對比Fig.3 Congestion rank and the population in U.K.and the U.S.

圖4 城市供需矛盾的本質：規模困境Fig.4 Nature of the contradiction between supply and demand:the scale dilemma

圖5 考慮時間因素的規模困境Fig.5 Scale dilemma considering time indicator

圖6 不同規模城市中心對外出行量對比Fig.6 Travel demand between city centers and outside groups in cities with different scales

2）達甘索的理論解析。

2018年10月，美國工程院院士達甘索在一次演講中[9]做過一個比較通俗的解釋。假設一個城市有一個中央商務區(Central Business District,CBD)，CBD 交通的需求量與其面積成正比，CBD邊界上能駛入的車輛數與周長成正比，前者是邊長的2 次方，后者是邊長的1 次方。當邊長越大，也就是CBD的規模越大時，交通需求與交通供給之間的矛盾也就越突出(見圖4)。

如果考慮時間累積的影響，這個矛盾還會進一步加劇。由于城市街道可容納的出行量與城市面積成正比，而需要共存的出行量與城市面積和直徑的乘積成正比，因此，城市規模越大交通高峰相對呈現越集中的態勢(見圖5)。大城市的交通高峰持續時間一般長于小城市就是這一規律的體現。

3）簡化分析模型。

以標準柵格小區構成的城市為例，假設城市由m×m個柵格小區構成(m為奇數，見圖6)，每個柵格小區均向其他小區產生等量出行量T，則中央小區的對外出行量為可見該出行量與城市尺度呈二次方關系，是一種超線性關系。以5×5柵格城市和7×7 柵格城市為例，城市尺度增大1.4 倍，但中央小區對外出行量擴大了2倍。

由城市中央小區對外出行量與城市尺度的函數曲線可見，城市尺度越大，單位尺度增長引起的對外出行量增長量越大，遠高于城市面積增長的速度(見圖7)。故大城市擴張引起的額外出行量強度高于小城市。

4 城市規模越大產出越高

上述分析表明，城市越大交通傾向于越堵，那么就應該控制大城市的發展嗎？對規模法則的研究表明這也是不對的，因為城市的產出和規模是超線性關系，即城市規模越大產出越高[4-5]。

4.1 實證研究

韋斯特利用美國各個城市的經濟總量、專業人才數量、專利數量與人口的關系進行分析，發現各項指標與城市規模也符合規模法則(見圖8)，冪率約為1.15，即城市產出=人口1.15，反映出超線性關系，意味著城市產出的增長比城市規模的擴張快。對比1 000 萬人口的大都市和10 萬人口的小城市，人口規模擴大了100 倍。由于100 的0.85 次 方 等 于 50， 100 的 1.15 次 方 等 于200，這兩個冪率就表示：城市人口規模擴大100倍，基礎設施只需要擴大50倍，而城市的產出卻擴大了200 倍。從投入產出比的角度可以說城市越大越好。

文獻[10-11]也表明，中國城市人口集聚帶來的經濟增長率符合規模法則，而且與美國城市相比，冪率系數更高。市轄區人口每增加一倍，經濟規?？稍黾?22%(見圖9)，這一數字在美國是111%。

4.2 機理分析

為何城市產出和人口是一個超線性關系？因為城市產出源自人與人之間的連接。產出不是由人數決定的，而是由連接數決定的。n個人間兩兩相連的連接數D和n呈二次方關系。如5個人之間總共有10個連接；而6個人之間總共有15個連接。連接數的增長大大快于人數的增長(當然，城市內人與人之間的實際連接總量因為受各種約束，還達不到二次方關系，但是屬于超線性關系)。與此同時，人口密度越大，每個人所能輕易達到的連接就越多，城市總連接就會更多。

5 城市規模與交通擁堵關系的啟示

1）城市規模應與交通承載力相協調。

樹的高度不可能無限高，因為其受規模法則的約束。樹的體積和重量與樹的尺寸的立方成正比，而樹的支撐力量由樹的橫截面積決定，也就是與樹的尺寸的平方成正比。如果把樹的高度擴大10 倍，那么其體積和重量將擴大到原來的1 000 倍，而它的支撐力只會變成原來的100 倍。樹需要用100 倍的力量去承擔1 000 倍的重量。如果樹一直長下去，早晚有一天樹將無法承擔它自身的重量。

圖7 中央小區對外出行量與城市尺度關系曲線Fig.7 Relationship between city scale and travel demand between city centers and outside groups

圖8 美國城市各項指標與城市規模的關系Fig.8 Relationship between urban indicators and city scale in U.S.cities

城市規模也存在同樣的問題。如果不考慮基礎設施的承載能力，城市是越大越好。然而城市的交通承載力卻是有限的，不可避免地導致城市規模越大，交通越堵。盡管有些城市通過用地與交通的協調、強化交通管理等緩解了交通擁堵的部分問題，但總體而言，還是呈現出城市規模越大交通越堵的趨勢。在交通擁堵影響到城市的正常運行之后，就應該控制城市規模。例如北京提出的疏解首都非核心職能，從緩解交通擁堵的角度非常有必要。

當然，城市規模還與交通技術水平相關。城市的半徑大致等于居民在1 h 內所能達到的距離：在步行時代，城市半徑大約在4 km以內；公共汽車時代，城市半徑可達到8～10 km；軌道交通、小汽車時代，城市的半徑能超過25 km。

2）不同規模城市之間不能簡單比較交通擁堵水平。

城市規模越大，交通總是傾向于越擁堵，不同規模城市的擁堵指數不宜簡單地進行橫向對比，可以采用分組或者利用標度律折算后再進行比較?；诖说慕煌〒矶卤容^和交通緩堵計劃，才能更符合城市自身的發展規律。

3）享受大城市經濟便利性的同時，也需要承擔更多的交通成本。

城市規模越大，可以為城市帶來更加經濟便利的條件和更加有效率的產出，但同時也必須承受交通更加擁堵的事實。城市可以通過各種措施緩解擁堵，但大城市勢必需要付出更多的成本。文獻[12]指出國外部分學者認為擁堵是經濟發展的伴生現象，可以根治擁堵的方法唯有經濟衰退。在經濟不斷增長的前提下，新的交通設施供給會吸引新的通過性需求，同時吸引新的城市功能集聚，最終不但不會減少擁堵，反而會使擁堵加劇。

圖9 中國城市人口規模和地區生產總值的標度律Fig.9 Scaling laws of urban population and gross domestic product in China

5 結語

在規模法則的作用下，總體上城市越大越好，城市也總是傾向于越長越大。一方面，城市越大基礎設施越集約，另一方面，城市規模越大產出越高。但當交通需求超出交通承載力時，交通擁堵就會產生，而且呈現城市規模越大交通越堵的規律。樹不可能無限長高的客觀規律告訴我們，城市也不能承受無限變大，城市規模應與交通承載力相協調。本文借用復雜系統理論中的規模法則理論研究交通擁堵的本質，相關的基礎理論還有待進一步完善，同時也需要收集更多的數據來驗證本文所揭示的交通擁堵機理。造成城市交通擁堵的因素眾多，如城市空間結構、交通方式構成等也會對道路交通擁堵產生重要影響，亦需要對此進行繼續研究。