基于一類含極少運動副四支鏈兩轉一移三自由度并聯機構的五軸混聯機器人

許允斗，趙云，張東勝，徐鄭和，姚建濤，趙永生，＊

1.燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島 0660042.燕山大學 先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島 066004

少自由度并聯機構具有結構簡單、制造成本低及控制容易等優點，近年來，它已成為機器人和機構領域的研究熱點。在各類少自由度并聯機構中，兩轉一移三自由度（2R1T）并聯機構是非常重要的一類機構［1－2］，特別是在五軸混聯機器人方面得到了成功應用，其在航空航天、船舶等高端制造領域復雜結構件作業方面具有工作空間大且操作靈活的明顯優勢，目前已得到成功應用為數不多的幾款五軸混聯機器人產品均是在2R1T并聯機構基礎上設計的，包括 Tricept［3］、Ecospeed［4］和機器人 Exechon［5］等。

但是現有2R1T并聯機構存在支鏈中被動運動副（非驅動副）數目較多，支鏈連桿與連接關節也相應增多，而機構整體性能受支鏈最薄弱的關節或連桿制約，因而運動副數越少機構整體性能越容易得到保證。文獻［1，6］分析的3RPS機構，文獻［7］分析的3RSR機構，Sprint Z3主軸頭所采用的3PRS機構［8］，文獻［9］綜合出的無伴隨運動3PRRU機構，文獻［10］提出的無伴隨運動3UPU對稱機構，文獻［11］綜合得到的3RRRRR機構，它們每條驅動支鏈中均含有4個被動單自由度運動副，如圖1所示。其中U副等效于軸線交于一點的兩個R副，由于混聯機器人工作空間要求比較大，這里S副一般設計成軸線交于一點的3個R副，注意，這里R、P、S和U分別表示轉動副、移動副、球副和虎克鉸。組成TriVariant五軸混聯機器人的三支鏈機構2UPS-UP［12］含有的被動單自由度運動副數為12。組成Exechon五軸混聯加工中心的2UPR-SPR機構［13］，文獻［14］綜合得到的 UPS-PRC-PU機構（C表示圓柱副），文獻［15］分析的UPS-RPU-PU機構，它們含有的被動單自由度運動副數均為10。文獻［16-17］提出的主軸頭結構（PUS＋R）-PRR-PR 及文獻 ［18］提出的2UPR-RPU機構，含有的被動單自由度運動副數目為9，是目前含有3條支鏈2R1T并聯機構中運動副數最少的兩種機構。構成Tricept五軸混聯機器人的3UPS-UP機構［19］每條驅動支鏈中被動單自由度運動副數為5，再加上約束支鏈的被動運動副，共有被動單自由度運動副18個，如圖2所示。但該機構含有4條支鏈，3條驅動支鏈關于約束支鏈對稱布置，大幅提高了承載能力。組成TriMule五軸混聯機器人的2UPR-UP-UPS并聯機構［20］也由4條支鏈組成，其含有的被動單自由度運動副數減少至14?，F有這些2R1T并聯機構中，除文獻［16-18］提出的兩種機構含有的被動單自由度運動副數為9外，其余機構含有的被動單自由度運動副數均在10以上。

此外，從機構受力性能角度分析，四支鏈2R1T并聯機構相對于同類的三支鏈機構，外部載荷由4條支鏈共同承受，承載能力得到了提升。因此，本論文擬提出一類具有含極少運動副的四支鏈2R1T并聯機構，為設計出結構緊湊、性能優異的五軸混聯機器人奠定理論基礎。

圖1 3RPS兩轉一移三自由度并聯機構Fig.1 3RPS 2R1Tparallel mechanism （PM）

圖2 3UPS-UP兩轉一移三自由度并聯機構Fig.2 3UPS-UP 2R1TPM

1 一類四支鏈兩轉一移并聯機構

1.1 特征描述

本文提出的四支鏈兩轉一移并聯機構2RPU-UPR-RPR，及 其 倒 置 機 構 2UPR-RPURPR，分別如圖3（a）和圖3（b）所示。這里以2RPU-UPR-RPR機構為例對2R1T機構特征進行說明，該并聯機構由動平臺、固定平臺、兩條RPU支鏈、一條UPR支鏈和一條RPR支鏈組成。RPR支鏈A2B2的兩R副軸線垂直交錯，與定平臺連接的R副軸線通過UPR支鏈A4B4的U副中心A4，與動平臺連接的R副軸線分別通過兩RPU支鏈A1B1和A3B3的U副中心B1和B3。A1B1和A3B3兩支鏈中U副靠近動平臺的轉軸與A2B2支鏈中與動平臺連接的R副軸線共線，A1B1和A3B3兩支鏈中與定平臺連接的轉軸與A2B2支鏈中與定平臺連接的R副軸線相互平行。A4B4支鏈中U副靠近定平臺的轉軸與A2B2支鏈中與定平臺連接的R副軸線共線，A4B4支鏈中與動平臺連接的轉軸與A2B2支鏈中與動平臺連接的R副軸線平行。定平臺A1A3A4和動平臺B1B3B4均為等腰三角形，B2、A2分別位于上、下兩個等腰三角形的斜邊上的中點，且A2A3、A2A4邊長分別為a和b，B2B3邊長為c，A1P1B1、A3P3B3、A4P4B4支鏈的初始桿長分別為r10、r30和r40。

為了方便，在定平臺A2點建立參考坐標系N：A2－XYZ，在動平臺B2點建立運動坐標系n：B2－xyz。經分析，固定坐標系的X軸（標記為r1）和運動坐標系的y軸（標記為r2）總是該機構動平臺兩個轉動自由度的軸線，即該2R1T并聯機構存在兩條連續轉軸［16］。

圖3 一類四支鏈兩轉一移并聯機構Fig.3 One type of 2R1TPMs with four branches

1.2 討 論

目前現有2R1T并聯機構中，Tricept五軸混聯機器人所采用的3UPS-UP機構［3］和文獻［20］提出的2UPR-UP-UPS機構是兩類主要的含有4條支鏈的2R1T機構，其被動單自由度運動副數目分別為18和14。而本文提出的具有四條支鏈的2R1T機構2RPU-UPR-RPR和2UPR-RPU-RPR，其含有的被動單自由度運動副數僅為12。

2 四支鏈2R1T并聯機構末端極限約束力螺旋系分析

為實現極少運動副機構的設計，這里提出極限約束力螺旋系的定義，它是指使機構真實存在的最多約束力螺旋組合?；跇O限約束力螺旋能夠實現含極少運動副數目機器人機構的設計。下面分析四支鏈2R1T并聯機構末端極限約束力螺旋系。

根據互易螺旋理論［21－22］，并聯機構的動平臺的轉動軸線必須與約束力軸線在同一平面（相交或平行），并且垂直于約束力偶軸線。對于2R1T并聯機構，則其末端受到各支鏈施加的約束力螺旋系最大線性無關組應為一個約束力偶和兩個約束線矢力（這里只分析當約束力螺旋系為純力偶與線矢力的組合的情況），且由于并聯機構輸出平臺受到的約束螺旋系是各支鏈提供給其約束螺旋系的并集，即

式中：nj表示第j支鏈單自由度運動副數目；k＝3或4。

因而每條支鏈提供的約束力螺旋系至多包含兩個約束線矢力和一個約束力偶，即nj≤3。為保證支鏈提供的所有約束力螺旋最大線性無關組為一個力偶和兩個線矢力，所有支鏈提供的力偶方向均應一致，由兩個平行線矢力產生的力偶方向也必須相互平行且與約束力偶同向。此外，所有支鏈提供的約束線矢力均應處于同一投影平面內。

對于四支鏈2R1T并聯機構，滿足以上要求的約束力螺旋系配置情況很多，比如文獻［20］列出的含3個線矢力和多個力偶的情況，本文將研究存在相應2R1T機構真實構型的極限約束力螺旋系（即約束力螺旋系數目達到上限），此時所得機構的運動副數目將達到極限。比如，對于四支鏈2R1T機構，由式（1）可推斷其末端約束力螺旋系至多為線性相關的8個線矢力和4個力偶，但是否真實存在對應的2R1T機構構型還需深入研究。

并聯機構輸出平臺的運動螺旋系是各支鏈運動螺旋系的交集，對于2R1T并聯機構，則有

由式（2）可判斷每個支鏈至少含有3個單自由度運動副。事實上，研究2R1T并聯機構的極限約束力螺旋系可轉化為各支鏈最少運動副數的求解。這里首先討論當其中有兩條支鏈含有3個單自由度運動副時，這兩條支鏈運動螺旋系的并集能否得到期望的兩轉一移自由度。只有當這兩條支鏈形成一個平面六桿閉環機構，它們才可能具有平面的3個自由度，但是為了達到2R1T機構預期的運動形式，這兩條支鏈均不能是平面支鏈，這說明了該類2R1T機構不可能同時存在兩條以上僅含有3個單自由度運動副的支鏈。因此這里不妨假設各支鏈最少運動副數情況為：其中一條支鏈僅含有3個單自由度運動副，其他支鏈含有4個單自由度運動副。

含3個單自由度運動副支鏈的基本形式為R1PR3和PU（或UP），如圖4所示。R1PR3支鏈兩R副軸線異面，P副軸線垂直于R1和R3軸線，PU支鏈P副軸線垂直于U副靠近P副的軸線r1。

圖4 含3個單自由度運動副支鏈的基本形式Fig.4 Basic forms of kinematic chains with three single degrees of freedom

那么對于任一條含有4個單自由度運動副的支鏈，其與上述含3個單自由度運動副支鏈形成單閉環后必須具有預期的兩轉一移自由度。只有當7個單自由度運動副形成平面機構才最多具有4個自由度，但是顯然三自由度支鏈和四自由度支鏈均不是平面支鏈，對于三自由度支鏈有兩個運動副軸線（P和R1軸線或P和U副的r1軸線）位于一平面（記為平面Ⅰ）內，另一轉動副（R3副）軸線不位于該平面內，對于四自由度支鏈至多有3個運動副軸線位于一平面內（記為平面Ⅱ），且至少有一轉動副軸線不位于該平面內。那么，只有當兩支鏈運動副軸線形成的平面Ⅰ和平面Ⅱ重合，從而兩支鏈處于該重合平面內的5個運動副形成一個平面機構，具有兩個自由度，且兩支鏈剩余的兩轉動副軸線重合，得到另外一個轉動自由度，此時兩支鏈形成的閉環機構具有最多預期的3個輸出自由度。這樣的典型四自由度支鏈包括R4R5R6R7、R4PR6R7支鏈等，如圖5所示，其中R4、R5、R6三運動副軸線或R4、P、R6三運動副軸線處于一平面內。

圖5 含4個單自由度運動副支鏈的典型形式Fig.5 Typical forms of kinematic chains with four single Degrees of Freedom （DoF）

其中四自由度支鏈R4PR6R7與三自由度支鏈R1PR3形成的單閉環機構如圖6所示，則另一條四自由度支鏈也須有一個轉動副與R1軸線重合，剩余3個運動副處于同一平面內，且與R1PR3支鏈中P和R3副形成一平面機構。

因此，以上過程表明了當四支鏈2R1T各支鏈最少運動副數為以下情況時：其中一條支鏈僅含有3個單自由度運動副，其余支鏈含有4個單自由度運動副，可能存在真實的構型。此時，三自由度支鏈提供的約束力螺旋系為2個約束力和1個約束力偶，四自由度支鏈提供的約束力螺旋系為1個約束力和1個約束力偶，所以可假設四支鏈2R1T的極限約束螺旋系為5個約束力和4個力偶，其中4個力偶同向，5個線矢力需分布在同一投影面內，根據以上分析過程，這樣的5個線矢力布置情況如表1所示，即3個線矢力平行，另外2個線矢力也平行且與前3個異面，另外，前3個線矢力形成的平面和后2個線矢力形成平面相互平行且垂直于力偶方向。

圖6 R4PR6R7－R1PR3單閉環三自由度機構Fig.6 Single closed-loop 3-DoF mechanism of R4PR6R7－R1PR3

表1 四支鏈2R1T并聯機構末端受到的極限約束力螺旋系Table 1 Ultimate constraint wrenches exerted on moving platform of 2R1TPMs with four branches

而本文提出的四支鏈2R1T并聯機構，其中一條支鏈為三自由度支鏈，另外3條支鏈為四自由度支鏈，而且經過分析該機構能夠實現預期的兩轉一移運動，所以證明了表1所列即為四支鏈2R1T并聯機構末端受到的一種極限約束力螺旋系，而本文提出的四支鏈2R1T并聯機構即為含極少運動副的四支鏈2R1T并聯機構。

基于上述極限約束力螺旋，采用基于螺旋理論的約束綜合法可以綜合出一系列其他新型含極少運動副四支鏈2R1T并聯機構，具體流程詳見圖7。限于篇幅，具體的型綜合過程不再詳述。

圖7 極少運動副四支鏈2R1T并聯機構型綜合流程Fig.7 Type synthesis process of four-branched 2R1T PMs containing extremely few kinematic joints

3 在五軸混聯機器人方面的應用

3.1 混聯機器人的構造

如圖3（a）所示的2RPU-UPR-RPR四支鏈2R1T機構，結構對稱性較好，它相對于Tricept機器人的3UPS-UP四支鏈2R1T機構，關節數目減少了6個，結構剛度和精度更加容易得到保證。機構2RPU-UPR-RPR一條轉軸分布在靠近定平臺位置（r1），而另一條分布在靠近動平臺位置（r2），動平臺繞r1的轉動可以實現一個水平方向的位置調整，如圖8所示，繞r2的轉動可實現動平臺一個水平方向上的方位調整，如圖9所示。因此，基于文獻［15］提出的五軸混聯機器人機構構造原則，在動平臺上方添加一個單自由度搖擺頭實現另一水平方向的方位調整，并將并聯機構模塊安裝在一單自由度移動工作臺實現另一水平方向位置的調整，由此構造得到的五軸混聯機構加工機器人構型方案如圖10所示。

圖8 五軸混聯機器人r1轉軸具體位置Fig.8 Specific position of r1on the five-axis hybrid robot

圖9 五軸混聯機器人r2轉軸具體位置Fig.9 Specific position of r2on the five-axis hybrid robot

圖10 基于2RPU-UPR-RPR機構設計的五軸混聯機器人Fig.10 A five-axis hybrid robot based on 2RPU-UPR-RPR mechanism

3.2 混聯機器人位置正反解模型求解

下面以上述設計的五軸混聯機器人為例進行位置正反解分析，其機構簡圖如圖11所示。

混聯機器人的位置模型求解要比單純并聯機器人或串聯機器人均要復雜，因為其同時存在并聯機器人位置正解與串聯機器人位置反解的難題。由于組成本文所提出混聯機器人的2R1T并聯機構2RPU-UPR-RPR存在兩條連續轉動軸線，使得其位置正解得到了大為簡化，下面首先分析該并聯機構的位置反解。

根據機構幾何特點［15］，Ai點位置矢量在｛N｝系中可表示為

式中：e4＝b1＝b2＝b3＝0。

Bi點位置矢量在｛n｝系中可表示為

式中：q4＝p1＝p2＝p3＝0。

則Bi點位置矢量在｛N｝中可表示為

式中：NnR為｛n｝系相對于｛N｝系的旋轉變換矩陣；NPn0＝ ［x y z］T為｛n｝系原點B2在｛N｝坐標系下的位置矢量。

圖11 基于2RPU-UPR-RPR設計的五軸混聯機器人機構Fig.11 Mechanism of the five-axis hybrid robot based on 2RPU-UPR-RPR mechanism

由前面分析可知，2RPU-UPR-RPR并聯機構具有一個移動自由度和兩個轉動自由度，而且兩個轉動自由度具有連續軸線，故而動平臺可以通過以下三次變換得到最終的任意位姿：首先繞X軸旋轉θ2；然后沿z軸移動d30；最后繞y軸旋轉θ4，則描述運動坐標系｛n｝相對參考坐標系｛N｝位姿的齊次變換矩陣NnT為

如果已知動平臺位姿矩陣nNT，則動平臺上各鉸鏈點位置矢量可由式（5）求出，則3個分支桿的長度可以求解得到：

此式即為并聯機構的位置反解。

由于2RPU-UPR-RPR機構動平臺位姿可通過上述3次連續變換得到，所以該機構可等效為R、P和R副3個運動副組成的串聯機構，則整個混聯機器人機構可等效為P1R1P2R2R3串聯機構，其運動副中心分別記為P1、R1、P2、R2和R3，如圖12所示，這將大大簡化混聯機器人位置建模過程。

圖12 混聯機器人的等效串聯機構簡圖Fig.12 Schematic diagram of equivalent serial mechanism of hybrid robot

首先建立混聯機器人運動學正解方程，即給定機器人各關節變量，求解機器人末端桿件的位置和姿態。根據圖12中建立的連桿坐標系可得五自由度等效串聯機構P1R1P2R2R3的D-H連桿參數和關節變量，如表2所示。

表2 等效串聯機構PRPRR的D-H連桿參數及關節變量Table 2 D-H parameters and joint variables of equivalent serial mechanism PRPRR

由D-H法［23］可知，相鄰關節坐標系之間的齊次變換矩陣為

n自由度串聯機器人末端連桿坐標系相對于基座坐標系的齊次變換矩陣表達式為

將表2中的關節參數代入式（8）可求得各相鄰坐標系的齊次變換矩陣，然后將求得結果代入式（9），即可得PRPRR串聯機構的末端位姿矩陣表達式為

式中：d0為初始狀態機器人動平臺與定平臺之間的距離；d1為P1副的輸入位移；H為中心點P1和R2之間的距離；d3為P2副的輸入位移；d30＝d0＋d3，表示動平臺和定平臺之間沿動系｛n｝z軸方向的實際距離；l1為中心點R2和R3之間的距離；l2為中心點R3和機器人末端O6之間的距離；ci＝cosθi；si＝sinθi。

下面建立混聯機器人的位置反解模型。

首先根據加工工件所需刀具姿態與位移，可以設定等效串聯機構PRPRR末端連桿在｛0｝系下表示的位置和姿態矩陣為

根據上述給定的串聯機構末端位姿矩陣，求解串聯機構各個關節變量輸入值。根據式（10）和式（11）中對應元素相等可得

式中：C＝（px－axl2）／（－pz＋azl2＋H）；k11＝k（c2－s2）；k12＝k21＝k（c2＋s2）；k22＝－k（c2－s2）。

因此，當給定加工工件所需的刀具姿態與位移后，通過式（13）即可求解得到混聯機器人等效串聯機構各關節變量輸入值，然后將θ2、θ4和d3的值代入并聯機構的位置反解模型，即式（7），就可得到并聯機構各驅動支鏈的輸入值ri（i＝1，3，4），至此，已建立混聯機器人完整的位置反解模型。

3.3 算 例

3.3.1 球面加工軌跡的實現

如圖13所示，假設擬加工工件的軌跡為一球面，設球面半徑為R，令刀頭當前所加工圓軌跡的半徑為r，則工件球心到加工圓心的距離為m＝，且該球心到機床坐標系｛0｝的x0O0y0平面的距離為h，球心在該坐標系x軸坐標為x0，在y軸的坐標為0，當前加工點與圓心連成的直線與y軸的夾角為α。

圖13 工件擬加工軌跡Fig.13 Processing trajectory on workpiece

則當前加工點的位置坐標為

這里要求加工時刀具法線要與工件加工點切平面垂直，所以刀具的指向應為

因為加工件固定不動，故在任意時刻刀具和加工件在的｛0｝系的x、y、z坐標相同，則｛6｝系坐標原點在｛0｝系下x、y、z坐標分別為

將式（15）和式（16）代入式（13）可得

將求得的θ2、θ4和d3代入式（6），可得

代入式（5）和式（7）可求得并聯機構3個驅動桿的輸入位移為

3.3.2 仿真驗證

給定一組具體的混聯機器人的結構物理尺寸參數和工件加工軌跡參數，如下：a＝521.68mm，b＝664.59mm，c＝302.20mm，上下平臺的兩個頂點三角形相似，三支分支桿的初始長度r10＝r30＝1 186.94mm，r40＝1 210.79mm，l1＝299.95mm，l2＝433.17mm，R＝200mm，r＝120mm，m＝160mm，h＝600mm，H＝2 090mm。兩平臺初始距離d0可根據機器人結構參數求得為1163.25mm，將具體參數代入式（17）可得

則將反解計算結果代入正解方程，可求解得基于2RPU-UPR-RPR機構混聯機器人末端刀具的指向與位置軌跡。圖14所示為刀具方位軌跡，從圖中可以發現該指向與前面直接根據加工工件軌跡得到的刀具指向是完全一致的。加工工件位置軌跡是由機器人機構末端位置決定的，由此得到的工件位置軌跡如圖15所示，從圖中可以看出工件軌跡為一個圓，且其半徑為120mm，該工件軌跡與前面給定的預加工工件軌跡是完全一致的。

圖14 刀具方位軌跡Fig.14 Path of tool’s direction

圖15 工件加工軌跡Fig.15 Processing path of workpiec

前面分析過程充分說明了該混聯機器人可實現工件復雜曲面的聯動加工，同時也驗證了建立的該混聯機器人位置模型是正確的。

4 結 論

1）首次提出了一種極少運動副四支鏈2R1T并聯機構，其含有的被動單自由度運動副數僅為12，與現有同類機構相比均要少。

2）提出了極限約束力螺旋系的概念，基于螺旋理論約束螺旋與運動螺旋之間的對偶關系，論證得到了四支鏈2R1T并聯機構的一種極限約束力螺旋系，證明了所提出的機構是目前同類機構中單自由度運動副最少的，有益得補充了并聯機構學理論。

3）基于含極少運動副四支鏈2R1T并聯機構構造了一類五軸混聯機器人，求解得到了該混聯機器人位置反解的顯示解析表達式，并以球面軌跡為例驗證了五軸混聯機器人機構構型的可行性以及反解算法的正確性。該混聯機器人單自由度運動副數目少，具有較大的應用前景。