強天然水驅油藏開發后期產液結構自動優化技術

雷占祥，穆龍新，趙輝，劉劍，陳和平，賈芬淑，周占宗

（1.中國石油勘探開發研究院，北京 100083；2.長江大學石油工程學院，武漢 430100）

0 引言

通常，油井產量的調整主要基于油井生產規律，利用數值模擬方法，制定一系列配產方案，再通過經濟評價確定最終優化方案。但這種方法工作量大、周期長，且不能確保優化結果就是最優方案。近年來，國內外學者相繼研究了基于最優化方法的油藏生產優化技術，如：非線性規劃法[1-2]、伴隨梯度法以及同時擾動隨機逼近算法（SPSA）[3-4]等，取得了一定的應用效果。但這些方法大多傾向于僅從數學的角度求取經濟效益最大值，而對油藏實際生產規律考慮較少，導致部分優化結果與油藏實際生產不相符[5-6]。為此，本文將油藏生產規律作為基礎約束條件，建立最優控制數學模型，采用改進的SPSA算法對模型進行求解，并編制產液結構自動優化軟件。將模型應用于強天然水驅油藏開發后期的產液結構優化調整中，以評估模型的實際應用效果。

1 產液結構優化模型

1.1 數學模型的建立

隨著油田綜合含水的不斷上升，生產成本逐漸升高，經濟效益日益降低，需要及時開展生產優化調整，即在最低的生產成本下得到最大的原油產量，實現油田控水穩油目標[7-9]。產液結構優化控制方法是通過優化油田單井產液量來實現開發效益最大化，一般采用凈現值（NPV）來評估油田開發的經濟效益。凈現值法的優點是考慮了項目在整個計算期內的經濟狀況，以金額表示項目的收益情況，非常直觀。

對于強天然水驅油藏來說，開發后期的生產成本主要受操作成本、污水處理成本等因素影響。因此，考慮操作成本和污水處理成本，建立經濟凈現值的優化目標函數：

對于實際油藏，受儲集層物性的限制，油井產液量的變化不能超過實際供給上限。同時，受地面集輸能力和污水處理能力的限制，油藏產水量最大值不能超過集輸能力和處理能力。因此，在進行優化設計時，需要增加模型的約束條件。邊界約束是常見的約束形式，上邊界需要考慮儲集層供給能力和地面設施處理能力，下邊界通常設為零，即關井。因此，產液結構優化數學模型的約束條件可表達為：

1.2 數學模型的改進

國內外學者基于上述數學模型，通過求解最優值，得到控制參數的優化結果。但由于上述數學模型沒有考慮產量遞減、水驅等油田生產規律，導致優化得到的產油量、含水率等變化規律與生產實際不符。為此，本文將油田生產規律作為基礎約束條件，改進產液結構優化數學模型，建立以油田生產規律為約束的最優控制數學模型。

處于開發后期的強天然水驅油藏產油量變化和水驅特征都比較穩定，在開發方式不變的情況下，可以用目前的生產規律來預測后期的生產動態。本文采用Arps指數遞減曲線和甲型水驅特征曲線來約束產油量和產水量的變化。其中，甲型水驅曲線表達式為：

將（3）式變形為：

對（4）式兩邊同時取自然對數，得到：

其中a=a0ln10b=b0ln10

按調整間隔進行分段后，利用（5）式求取i時刻的產水量為：

考慮到油田產液量變化，將當前產油量分為兩個組成部分，即前一時刻自然遞減對應的產油量和液量變化對應的產油量。由于開發后期的強天然水驅油藏產油量遞減比較穩定，假定液量變化部分的遞減規律與自然遞減部分相同。產量遞減公式可以寫為：

將（6）式和（7）式代入（1）式得到改進的目標函數：

由（8）式可知，產液結構的優化問題變為在約束條件下求取凈現值的最大值，以及相應產液量最優的問題。對于該類最優化問題，常采用同時擾動隨機逼近算法（SPSA）進行求解。

1.3 數學模型的求解

SPSA算法通過對控制變量進行同步擾動獲得搜索方向，計算簡便，每個迭代步只需對目標函數進行計算，不需要求解真實梯度，因此有效控制了計算復雜度。

假設控制變量維數為Nu，考慮進行N次擾動，則SPSA平均近似梯度[10-12]為：

其中

借鑒標準SPSA梯度對（9）式進行改進得到：

（10）式中，L為N維上三角方陣，當L為單位陣時，為標準SPSA算法。根據SPSA收斂性分析得到：

由（11）式可見，依然具有上山性。但是，L上三角方陣對近似梯度的精度有影響，需要進行調整，使近似梯度更接近真實梯度。由于梯度為向量，近似梯度與真實梯度越接近，則兩者的夾角越小，對應的余弦值越大，余弦值計算公式為：

（12）式中的真實梯度是未知的。但是，每一個迭代步的真實梯度是確定的。因此，可以選擇下式作為L的優化函數，使每個迭代步的計算梯度與真實梯度的夾角最?。?/p>

首先計算優化控制目標函數的近似梯度，然后根據約束條件，利用投影梯度法對近似梯度進行處理，進而更新迭代注采控制變量，得到最優控制變量：

2 產液結構自動優化軟件

由于產液結構優化模型較為復雜，用數學方法求解析解非常困難，并且采用同時擾動隨機逼近算法進行求解時，需要進行大量的隨機擾動，計算量很大。所以，根據優化模型和求解算法的特征，設計了產液結構自動優化軟件，大大提高了計算效率。

在軟件設計時，嚴格遵循產液結構優化模型的求解過程，先根據油田的實際資料，確定模型所需的基礎數據，如油田產油量、產水量、原油價格、污水處理成本等；然后，利用甲型水驅特征曲線和遞減方程，擬合出模型的參數a、b、d等；再利用SPSA算法對產液結構優化模型進行求解，最終確定出產液結構的優化調整參數。

用SPSA算法求解產液結構優化模型的主要計算過程為（見圖1）：①根據實際情況設定原油價格、產油量、遞減率等模型基本參數；②初始設定每個時間點的液量變化為零，計算經濟凈現值J（Li）；③給定每個時間點的液量變化最大值（擾動步長），并用隨機函數生成擾動方向，計算擾動生成的經濟凈現值J（Li±ΔLi）；④判斷J（Li±ΔLi）與J（Li）的關系，若J（Li±ΔLi）大于J（Li），則將液量變化設定為Li=Li±ΔLi并重復②、③、④步，若J（Li±ΔLi）小于等于J（Li），則進一步判斷循環次數是否超過設定次數；⑤若超過設定循環次數，則結束優化，若未超過設定循環次數，則重復③、④、⑤步。

圖1 產液結構自動優化流程圖

3 應用實例

D油田位于南美洲厄瓜多爾熱帶雨林，其主力油藏M1為潮控河口灣沉積，孔隙度為20%～32%（平均值為25%），滲透率為（1 000～8 000）×10-3μm2（平均值為4 000×10-3μm2），具有很強的邊底水，地飽壓差為18.2～19.4 MPa，屬于中高孔、中高滲、強邊底水、低幅度、構造-巖性砂巖油藏。于1978年3月投產，邊底水驅動為主，點狀注水為輔，井網不規則，經過40年的開發，綜合含水達到96.5%，目前處于開發后期。受儲集層地質條件和資源國相關法規的限制，措施挖潛的難度大、作業成本高、經濟效益有限。為實現油田開發后期效益最大化的目標，應用最優控制理論，建立并求解產液結構自動優化數學模型，實現了油田各單井的產液結構自動優化。

利用該區的產油量和產水量數據進行產量遞減曲線和水驅特征曲線擬合。由于產量遞減規律和水驅特征都較為穩定，擬合后相關系數都在0.99以上（見圖2、圖3）。

根據擬合結果，求得模型相關的基本參數a，b，d分別為-1.129 1，4.294 9，0.115 0。同時，根據油藏實際情況，設定原油價格為305.5美元/m3，原油操作成本為91.7美元/ m3，污水處理成本為1.8美元/m3。對D油田的管線集輸能力和污水處理能力進行邊界約束后，用改進的產液結構優化模型進行開發指標的優化和預測。

圖2 D油藏產量遞減曲線

圖3 D油藏水驅特征曲線

圖4 自動優化過程中經濟凈現值變化曲線

圖5 優化前后年產油量變化曲線

圖6 優化前后年產液量變化曲線

圖7 優化前后年含水率變化曲線

通過不斷自動尋優，方案的經濟凈現值從4.15×108美元逐漸逼近至最佳經濟凈現值5.98×108美元，自動優化過程中經濟凈現值變化曲線見圖4。根據優化結果（見圖5—圖7），提液期間年產油量增加，而保持液量生產期間年產油量遞減明顯，且遞減率與D油藏實際遞減率相同。預測期內的含水率平穩上升。對比優化前后的數據可知，優化后產液量明顯提高，產油量也明顯增加，含水率變化基本一致。產生這種結果的原因主要是兩個方面：①油藏處于開發后期，可能以水驅沖刷的驅油模式為主，使含水率受液量變化影響較??；②油田污水以回注為主，成本較低，經濟效益對產水量的增加不敏感。

4 優化方法對比

由于數值模擬方法廣泛應用在國內外油田開發調整方案的制定過程中，具有權威性和普遍適用性。所以，將本文方法與數值模擬方法進行了對比分析（見表1）。

表1 數值模擬與產液結構自動優化對比

數值模擬方法的計算過程較為復雜，需要建立地質模型，準備數值模擬模型，進行歷史擬合；根據產液量可能的變化范圍，設計大量產液量調整方案，再進行預測對比。往往需要經過多輪優選，才能確定最終的優化調整參數。計算效率低、周期長、受數值模擬人員經驗影響大，只能在設定的方案之間進行對比，還不能自動尋優。

本文方法的計算過程比較簡潔，不需要建立復雜的地質模型，也無需進行反復的歷史擬合；設定初值后，能夠自動尋優，計算過程中不受人為因素影響。計算效率高、周期短。

5 結論

傳統的優化控制模型僅考慮模型的數學極大值，而未充分考慮油田生產規律。針對此問題，將強天然水驅油藏開發后期的生產規律作為基礎約束條件，建立了生產規律約束下的最優控制數學模型，避免了模型預測結果與生產規律不一致的問題。

利用SPSA算法對模型進行求解，編制產液結構自動優化軟件，并應用在南美洲厄瓜多爾D油藏的開發生產實踐中，實現了油田開發后期產液結構自動優化。

對比產液結構優化模型與數值模擬方法的優化過程，認為產液結構優化模型計算效率高、周期短、能夠自動尋優，可滿足油田開發后期產液結構的自動優化，也為同類油藏的開發調整提供參考。

符號注釋：

a0，b0——甲型水驅特征曲線擬合常數；ck——擾動步長；Cmi——在i時刻的操作成本，美元/m3；Cwi——在i時刻的污水處理成本，美元/m3；d——產量遞減率，f；fw,i-1——油田在i-1時刻的含水率，f；F（L）——近似梯度的優化函數；g——真實梯度；——近似梯度；Ic——基準收益率，f；J——經濟凈現值，美元；l——迭代序號；Li——油田在i時刻的產液量，m3/a；N——擾動次數；Np——累計產油量，m3；Np,i-1——油田在i-1時刻的累計產油量，m3；Nu——控制變量維數；Poi——在i時刻的原油價格，美元/m3；Qoi——油田在i時刻的產油量，m3/a；Qwi——油田在i時刻的產水量，m3/a；t——總時間，a；u——控制變量；ui——油田在i時刻控制變量；udi——控制變量的下約束邊界；uui——控制變量的上約束邊界；Wp——累計產水量，m3；θ——近似梯度與真實梯度夾角，（°）；ΔLi——油田在i時刻的產液量增量，m3/a；Δti——i時刻對應的時間間隔，a；Δupg——控制變量u的擾動間隔，p=1，2，…，Nu，q=1，2，…，N3；α——控制變量第l次迭代擾動系數。