時間模上p-Laplacian方程兩點邊值問題正解的存在性

喬世東

(山西大同大學數學與統計學院，山西 大同 037009)

研究時間模T上的一維p-Laplacian兩-點邊值問題

設p＞1，q＞1，且滿足另外，設

解方程得

故

亦即

而

由邊值條件得到

因此

定義全連續積分算子A：P→P，

AP?P,則A全連續積分算子，令δx∈(0,1),則則（5）為

由邊值條件得到

所以將A全連續積分算子表示為

則邊值問題(1)有解u=u(t)，當且僅當u是對應A在P中的不動點。

引理1設全連續算子由（6）給出，設u∈P，則

‖Au‖=(Au)(δx)。

證明?t∈(0,δx),

故‖Au‖=(Au)(δx)。[1]

定理1（Krasnoselskii）設E是一個巴拿赫空間，P?E是錐，Ω1,Ω2∈E為非空相對開集，且為全連續算子，滿足：

(1)‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω1；‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2,或

(2)‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2；‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω2,則A在上有一個不動點。[2]

定理2設條件(H)成立,又設存在常數

證明定義一個錐P滿足條件（4），引理知AP?P，全連續積分算子A：P→P，如果u∈P，‖u‖=a，有

及

故‖Au‖≤‖u‖。

如果u∈P，‖u‖=b，t∈[δ,1-δ],不妨設有

因此，‖Au‖≥‖u‖，

由定理1知，結論成立。