多環鏈的Hosoya多項式

馬麗 蘇苗苗 苗蕓

摘要：本文主要給出三種特殊的螺旋六角鏈和三種特殊的多聯苯鏈的Hosoya多項式的遞推公式，解析表達式以及與其相關的拓撲指標的結果.

關鍵詞：Hosoya 多項式；螺旋六角鏈；多聯苯鏈

1 緒論

1988年，Hosoya在其開創性論文[1]中首次提及到一個圖的Hosoya多項式，也被稱作“Wiener多項式”。之后，漸漸地得到了許多研究者的大量關注。當然某些研究者，如Sagan，Yeh和Zhang[2]繼續以原來的名字稱呼它，但后來提出的名字“Wiener多項式”被現在的絕大多數的研究者所使用。1998年，E.Estrada等人研究了Hosoya多項式在化學中的應用，體現出Hosoya多項式的主要優點是它包含了有關圖形不變距離的豐富的信息。例如，如果知道一個圖的Hosoya多項式，便可直接確定一個圖的Wiener指標，也就是Hosoya多項式在點x=1的一階導數的取值。相繼地，便可得到圖G的HyperWiener指標WW（G）等于x倍的Hosoya多項式對變量x求二階導數后在x=1點取值的二的階乘分之一，而圖G的TratchStankevitchZefirov 指標TSZ（G）恰等于x2倍的Hosoya多項式對變量x求三階導數后在x=1點取值的三的階乘分之一。與迄今為止所提出的有關距離的拓撲指標相比，Hosoya多項式包含著有關圖的距離的更豐富的信息。因此，Hosoya多項式和它的一些推導性質在QSPR和QSAR的研究領域中扮演著重要的角色，有著豐富的理論研究和計算方面的成果。

近年來，已有許多各類化學圖的Hosoya 多項式的重要結果，如2001年，Dragan 計算了復合圖的Hosoya 多項式；2008年，S.Xu 和H.Zhang 分別給出了六角鏈和苯環鏈的Hosoya 多項式；2014年，E.Deutsch等人給出了distanceregular圖的Hosoya 多項式；2016年，S.Xu 刻畫了隨機六角連的Hosoya 多項式。對于其他圖類的Hosoya多項式相關結果，讀者可以閱讀文獻。這里我們用了不同于文章的方法考慮了三種特殊螺旋六角鏈和三種特殊多聯苯鏈的Hosoya 多項式，隨后又給出了與其相關的其他指標的確切表達式。

2 主要結果

2.1 預備知識

本文中我們僅考慮簡單的、連通的、有限的圖。V（G）是圖G的點集，E（G）是圖G的邊集，dG（u，v）代表點集V（G）中兩個不同點u和v的最短距離，dG（u）代表點u在圖G中的度。

定義2.1.1 螺環化合物是有機化學中一類重要的環烷烴，它僅有六元環（六邊形）組成.若每兩個六元環（六邊形）僅有唯一的點使其連接在一起，則我們稱為螺旋六角鏈。一個包含n個六邊形的螺旋六角鏈可以看作一個螺旋六角鏈SPCn。

定義2.1.2 多聯苯的分子圖把其稱為多聯苯系統。如果多聯苯系統的任意一點都在六元環（六邊形）上且每個六元環（六邊形）縮成一個點所得到的圖是一條路，則我們稱為多聯苯鏈。一個包含n個六邊形的多聯苯鏈可以看作一個多聯苯鏈PPCn。

定義2.1.3 在多環鏈中的六邊形的個數稱為該鏈的長度。

定義2.1.4 圖G的Hosoya多項式為H（G）=∑u，vV（G）xdG（u，v）。

定義2.1.5 圖G的Wiener指標為

W（G）=12∑nr=1d（vrG）=ddxH（G，x）x=1，

其中d（vrG）是圖G中點vr的Wiener數，即d（vrG）=∑ns=1d（vr，vs）。

定義2.1.6 圖G的HyperWiener指標為

WW（G）=12W（G）+12∑u，vV（G）d2（u，v）=12！d2dx2xH（G，x）|x=1。

定義2.1.7 圖G的TratchStankevitchZefirov指標為

TSZ（G）=13！d3dx3x2H（G，x）x=1。

2.2 特殊螺旋六角鏈的Hosoya多項式

這部分我們將會給出三種特殊螺旋六角鏈On，Mn，Pn的Hosoya多項式以及一些簡單的結論。

我們用Rn表示所有長度為n的螺旋六角鏈。設G（n）=B1B2…Bn∈R（n），其中Bk是G（n）中第k個六邊形，并且設ck是Bk和Bk+1的螺旋連接點，k=1，2，…，n-1。然而長度為n-1的序列（c1，c2，…，cn-1）被稱為G（n）的螺旋點序列。若螺旋連接點ci和螺旋連接點ci+1的距離分別為1，2和3（i=1，2，…，n-1），則分別稱G（n）為螺旋ortho鏈，螺旋meta鏈，螺旋para鏈（如圖1所示）。所以依次用On，Mn，Pn分別表示長度為n的螺旋ortho鏈，螺旋meta鏈，螺旋para鏈。

若u是G（n）的一個點，那么我們設H（G（n），u）：=∑v∈V（G（n））xdG（n）（u，v）。

引理2.2.1 如果n1，那么有

H（On，cn）=（1+x+2x2+x3）-（2+2x+x2）xn+11-x；

H（Mn，cn）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2n+11-x2；

H（Pn，cn）=（1+2x+2x2）-（2+2x+x2）x3n+11-x3。

證明：如果n=1，結論顯然成立。

如果n2，以螺旋鄰六角鏈On為例，根據Hosoya 多項式的定義我們可以得到

H（On，cn）=∑v∈V（On-1）xd（v，cn-1）+∑v∈V（Bn＼cn-1）xd（v，cn-1）

=xH（On-1，cn-1）+（1+x+2x2+x3）；

類似地，我們得出

H（Mn，cn）=x2H（Mn-1，cn-1）+（1+2x+x2+x3）；

H（Pn，cn）=x3H（Pn-1，cn-1）+（1+2x+2x2）。

由上述公式迭代遞推，我們有

H（On，cn）=x（n-1）H（O1，c1）+（1+x+x2+…+xn-2）（1+x+2x2+x3）；

H（Mn，cn）=x2（n-1）H（M1，c1）+（1+x2+x4+…+x2（n-2））（1+2x+x2+x3）；

H（Pn，cn）=x3（n-1）H（P1，c1）+（1+x3+x6+…+x3（n-2））（1+2x+x2）。

注意到H（O1，c1）=H（M1，c1）=H（P1，c1）=1+2x+2x2+x3。

因此，把其代入上述公式可得最終結果，即

H（On，cn）=（1+x+2x2+x3）-（2+2x+x2）xn+11-x；

H（Mn，cn）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2n+11-x2；

H（Pn，cn）=（1+2x+2x2）-（2+2x+x2）x3n+11-x3。

注意到H（O1）=H（M1）=H（P1）=6+6x+6x2+3x3。下面我們將分別給出計算On，Mn，Pn（n2）的Hosoya多項式的公式。

定理2.2.2 如果n2，那么有

H（On）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+x+4x2+5x3+5x4+4x5+x6）1-x-（2+2x+x2）2（1-xn-1）x3（1-x）2；

H（Mn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+5x2+5x3+2x4+x5+x6）1-x2-（2+2x+x2）2（1-x2（n-1））x4（1-x2）2；

H（Pn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+10x2+6x3+2x4-2x5-2x6）1-x3-（2+2x+x2）2（1-x3（n-1））x5（1-x3）2。

證明：以螺旋間六角鏈M（n）為例，我們得到

H（Mn）=

H（Mn-1）+∑u∈V（Mn-1），v∈V（Bn）＼cn-1xd（u，v）+∑u，vV（Bn）＼cn-1xd（u，v）=

H（Mn-1）+∑u∈V（Mn-1）（2xd（u，cn-1）+1+2xd（u，cn-1）+2+xd（u，cn-1）+3）+∑u，vV（Bn）＼cn-1xd（u，v）=

H（Mn-1）+H（Mn-1，cn-1）（2x+2x2+x3）+（5+4x+4x2+2x3），

由上述公式迭代遞推，我們有

H（Mn）=H（M1）+∑nk=2H（Mk-1，cn-1）（2x+2x2+x3）+（n-1）（2x3+4x2+4x+5），

根據引理2.2.1，我們得到

H（Mk-1，ck-1）=（1+2x+x2+x3）-（2+2x+x2）x2k-11-x2。

把其代入上述公式可得

H（Mn）=（6+6x+6x2+3x3）+（2x+2x2+x3）（n-1）（1+2x+x2+x3）1-x2-（2x+2x2+x3）（2+2x+x2）（x3+x5+x7+…+x2n-1）1-x2+（n-1）（5+4x+4x2+2x3），

重新整理，得出H（Mn）的最終結論，即

H（Mn）=6+6x+6x2+3x3+（n-1）（5+6x+5x2+5x3+2x4+x5+x6）1-x2-（2+2x+x2）2（1-x2（n-1））x4（1-x2）2。

類似地，我們可以得到H（On）和H（Pn）的最終結果。

根據定義2.1.52.1.6及以上定理，通過Matlab軟件進行詳細計算可以得到以下推論。

推論2.2.3 螺旋ortho鏈On，螺旋meta鏈Mn和螺旋para鏈Pn的Wiener指標是

W（On）=256n3+652n2-293n；

W（Mn）=253n3+20n2-43n；

W（Pn）=252n3+152n2+7n。

推論2.2.4 螺旋ortho鏈On，螺旋meta鏈Mn和螺旋para鏈Pn的HyperWiener指標是

WW（On）=2524n4+15512n3+154724n2-43712n；

WW（Mn）=256n4+352n3+1736n2-172n；

WW（Pn）=758n4+554n3+298n2+614n。

推論2.2.5 螺旋ortho鏈On，螺旋meta鏈Mn和螺旋para鏈Pn的TSZ指標是

TSZ（On）=524n5+154n4+67924n3+4474n2-84n；

TSZ（Mn）=53n5+656n4+863n3+2356n2-613n；

TSZ（Pn）=458n5+15n4+27724n3+2n2+1556n。

2.3 特殊多聯苯鏈的Hosoya多項式

這部分我們將會給出三種特殊多聯苯鏈O′n，M′n，P′n的Hosoya多項式以及一些簡單的結論。

我們用R′n表示所有長度為n的多聯苯鏈。設G′（n）=B′1B′2…B′n∈R′（n），其中B′k是G′（n）中第k個六邊形，并且設c′k是B′k和B′k+1的多聯苯連接點，k=1，2，…，n-1。然而長度為n-1的序列（c′1，c′2，…，c′n-1）被稱為G′（n）的多聯苯點序列。若多聯苯連接點c′i和螺旋連接點c′i+1的距離分別為1，2和3（i=1，2，…，n-1），則分別稱G′（n）為多聯苯ortho鏈，多聯苯meta鏈，多聯苯para鏈（如圖2所示）。所以依次用O′n，M′n，P′n分別表示長度為n的多聯苯ortho鏈，多聯苯meta鏈，多聯苯para鏈。

若u是G′（n）的一個點，那么我們設H（G′（n），u）：=∑v∈V（G′（n））xdG′（n）（u，v）。

引理2.3.1 如果n1，那么有

H（O′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2n）1-x2；

H（M′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x3n）1-x3；

H（P′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x4n）1-x4。

證明：如果n=1，結論顯然成立。

如果n2，以多聯苯鏈鄰六角鏈O·′n為例，根據Hosoya多項式的定義我們可以得到

H（O′n，c′n）=∑v∈V（O′n-1）xd（v，c′n）+∑v∈V（Bn）xd（v，c′n）=x2H（O′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）；

類似地，我們得出

H（M′n，c′n）=x3H（M′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）；

H（P′n，c′n）=x4H（P′n-1，c′n-1）+（1+2x+2x2+x3）。

由上述公式迭代遞推，我們有

H（O′n，c′n）=x2（n-1）H（O′1，c′1）+（1+x2+x4+…+x2n-2）（1+2x+2x2+x3）；

H（M′n，c′n）=x3（n-1）H（M′1，c′1）+（1+x3+x6+…+x3（n-2））（1+2x+2x2+x3）；

H（P′n，c′n）=x4（n-1）H（P′1，c′1）+（1+x4+x8+…+x4（n-2））（1+2x+2x2+x3）。

注意到H（O′1，c′1）=H（M′1，c′1）=H（P′1，c′1）=1+2x+2x2+x3。

因此，把其代入上述公式可得最終結果，即

H（O′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2n）1-x2；

H（M′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x3n）1-x3；

H（P′n，c′n）=（1+2x+2x2+x3）（1-x4n）1-x4。

注意到H（O'1）=H（M'1）=H（P'1）=6+6x+6x2+3x3.下面我們將分別給出計算O'n，M'n，P'n（n2）的Hosoya多項式的公式。

定理2.3.2 如果n2，那么

H（O'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x2-（1+2x+2x2+x3）2（1-x2（n-1））x31-x22；

H（M'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x3-（1+2x+2x2+x3）2（1-x3（n-1））x41-x32；H（P'n）=6+6x+6x2+3x3n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x4-（1+2x+2x2+x3）2（1-x4（n-1））x51-x42。

證明：以多聯苯間六角鏈為例，我們得到

H（O'n）

=H（O'n-1）+∑u∈V（O'n-1），v∈V（Bn）xd（u，v）+∑{u，v}∈V（Bn）xd（u，v）

=H（O'n-1）+∑u∈V（O'n-1）（xd（u，c'n-1）+1）+2xd（u，c'n-1）+2）+2xd（u，c'n-1）+3）+xd（u，c'n-1）+4）+∑{u，v}V（Bn）xd（u，v）

=H（O'n-1）+H（O'n-1，c'n-1）（x+2x2+2x3+x4）+（6+6x+6x2+3x3），

由上述公式迭代遞推，我們有

H（O'n）=H（O'1）+∑nk=2H（O'k-1，ck-1）（x+2x2+2x3+x4）+（n-1）（3x3+6x2+6x+6），

根據引理2.3.1，我們得到

H（O'k-1，c'k-1）=（1+2x+2x2+x3）（1-x2（k-1））1-x2。

把其代入上述公式可得

H（O'n）=（6+6x+6x2+3x3）+（x+2x2+2x3+x4）（1+2x+2x2+x3）（n-1）1-x2

-（x+2x2+2x3+x4）（x2+x4+x6+...+x2（n-1））1-x2+（n-1）（6+6x+6x2+3x3）

=（6+6x+6x2+3x3）n+（x+2x2+2x3+x4）（1+2x+2x2+x3）（n-1）1-x2[（n-1）-x2（1-x2（n-1））1-x2]，

重新整理，得出H（O'n）的最終結論，即

H（O'n）=（6+6x+6x2+3x3）n+（n-1）x（1+2x+2x2+x3）21-x2-（1+2x+2x2+x3）2（1-x2（n-1））x3（1-x2）2。

類似的，我們可以得到H（M'n）和H（P'n）的最終結果。

根據定義2.1.52.1.6及以上定理，通過Matlab軟件進行詳細計算可以得到以下推論。

推論2.3.3 多聯苯ortho鏈O'n，多聯苯meta鏈M'n和多聯苯para鏈P'n的Wiener指標是

W（O'n）=12n3+36n2-21n；

W（M'n）=18n3+18n2-9n；

W（P'n）=24n3+3n。

推論2.3.4 多聯苯ortho鏈O'n，多聯苯meta鏈M'n和多聯苯para鏈P'n的Hyper-Wiener指標是

WW（O'n）=6n4+30n3+1292n2-1172n；

WW（M'n）=272n4+27n3+21n2-392n；

WW（P'n）=24n4+12n3-152n2+272n。

推論2.3.5 多聯苯ortho鏈O'n，多聯苯meta鏈M'n和多聯苯para鏈P'n的TSZ指標是

TSZ（O'n）=125n5+18n4+59n3+2072n2-122910n；

TSZ（M'n）=8110n5+27n4+36n3+24n2-35110n；

TSZ（P'n）=965n5+24n4-2n3-152n2+26310n。

參考文獻：

[1]H.Hosoya，On some counting polynomials in chemmistry.Discrete Appl.Math.19（13）（1988）239257.

[2]B.E.Sagan，Y.N.Yeh，P.Zhang，The Wiener polynomial of a graph.Int.J.Quant.Chem.60（5）（1996）959969.