多模態邏輯基礎理論研究的基本問題

趙賢　胡小偉

摘 要：多模態邏輯是關于“包含多種模態的邏輯”的研究，它的系統內包含兩種或兩種以上模態算子.并且算子間不可歸約。多模態邏輯旨在為研究多種類型的模態提供統一的形式框架，其基礎理論是模態邏輯理論體系的重要組成部分。多模態算子及其表述、多模態邏輯的研究視角、多模態邏輯系統的分離性以及多模態邏輯的語義選擇是多模態邏輯基礎理論研究的基本問題，上述問題的澄清與解決將有助于多模態邏輯理論的進一步發展。

關鍵詞：多模態;模態算子;公理模式;分離性;語義

中圖分類號：B8105

文獻標識碼：A

文章編號：1005-6378（2019）02-0038-05

DOI：10.3969，/j.issn.1005-6378.2019.02.006

真勢的、時態的、道義的、認識論的、動態的……模態的存在導致了不同模態邏輯理論的產生，這一直是20世紀50年代末至今模態邏輯學家研究的主題。但是，這些不同模態邏輯系統的研究和發展都是相對獨立的，即對于不同類型模態的研究都是相對獨立的，除了少數人的工作之外，很少有人在一個邏輯框架（系統）內同時對幾種不同模態進行研究。20世紀70年代，著名計算機科學家、數理邏輯學家、圖靈獎得主斯科特（Scott D）指出：“我所認為的模態邏輯研究中出現的最大的錯誤之一就是僅僅關注于包含一個模態的系統的研究。想要獲得關于道義邏輯或認知邏輯一些哲學意義上的成果的唯一途徑就是將它們的算子與時態算子相結合（否則如何制定變化原則），或與真值算子相結合（否則如何區分相對和絕對），或者與類似歷史或物理必然性的算子相結合（否則如何將理性人與具體的環境相結合），等等”[1]。斯科特強調對不同類型模態算子在同一邏輯系統中的交互作用進行研究，即多模態邏輯的研究。

多模態邏輯是關于“包含多種模態的邏輯”的研究，它的系統內包含兩種或兩種以上模態算子，并且算子間不可歸約。多模態邏輯旨在為研究多種類型的模態提供統一的形式框架，其基礎理論是模態邏輯理論體系的重要組成部分。本文將從語形和語義兩個方面對多模態邏輯基礎理論研究中的若干基本問題進行討論。

一、多模態算子及其表述問題

多模態邏輯研究的主要任務是從方法論層面構建多模態邏輯的一般系統，并研究一般系統的可靠性、完全性、可判定性等基本性質，從而為構建具體的多模態邏輯系統提供指導。構建多模態邏輯一般系統面臨的首要問題是給出一套多模態形式語言，這套語言可以對多種模態進行表述。一般認為，多模態語言是在一階邏輯語言的基礎上通過添加任意模態算子（集）得到的。因此，在對多模態邏輯研究的過程中，將采用單模態邏輯的做法，用算子表示模態，從嚴格語形的角度來分析多模態算子及其表述問題。

嚴格語形的角度即從多模態語言的層面進行分析，而不考察模態本身的哲學意味。模態算子是一種非真值函項算子，即包含任意模態算子O的模態命題Op的真值不能簡單地從p的真值來估算。多模態邏輯是包含多種算子的邏輯系統，這也就是說，多模態邏輯是單模態邏輯通過添加更多算子得到的一種擴展。多模態語言的初始符號、公式形成規則及一些基本定義是在單模態語言的基礎上添加能夠表述多種模態的算子集以及模態算子的若干形式運算得到的，如“合成”“并”運算等。

從形式化角度來看，對多模態算子進行表述的方法主要有兩種。一種表述方法是直接表述，在這種表述方法中，所有算子的形成直接由模態概念的性質決定。在多模態語言中，模態算子代表的就是其對應模態的性質，因此可以使用單模態邏輯中常用的符號。如用口和◇表示真勢邏輯中的“必然”和“可能”算子，用O、P、I表示道義邏輯（也稱規范邏輯、義務邏輯[2]）中的“義務”“允許”和“禁止”算子，用K、B表示認知邏輯中的“知道”和“相信”算子，用F、G、P、H表示時態邏輯中的算子等。這種表述方法可以根據模態概念的性質直接定義算子的性質，因此比較符合人們的直觀，使用這種表述方式也可使人們從直觀上理解模態算子間的交互作用。

另一種表述方法是間接表述，在這種表述方法中用模態參數表述模態算子。這種表述方法較為抽象，主要參考了動態邏輯中模態算子的表述方法。其中，任意模態算子被記作[a]、，其中a不再表示程序，而表示模態參數或模態維度。用模態參數對模態算子采取統一的表述，各種類型的（多）模態邏輯系統有統一的模態表述符號，使用這種表述方式得到的結論更為普遍和簡潔，其缺點就是較為抽象，不符合直觀。

在多模態邏輯基礎理論的研究中，多模態算子的上述兩種表述方法都會使用。在說明具體的多模態邏輯系統的性質特征時，會使用第一種表述方法。為了使多模態邏輯的一般結論更具普遍性，在構建一般的多模態邏輯系統及給出相關結論時會更多使用第二種表述方法。

二、多模態邏輯的研究視角問題

托馬斯（Thomason R H）指出，經驗表明，在一般情況下，性質不同的概念的一個匯集不僅僅是與這些概念相關的理論的一個簡單的疊加[3]206。多模態邏輯中包含多種模態，基于不同的模態可以構建不同的單模態邏輯，但是，多模態邏輯不是多個單模態邏輯的簡單疊加。不同的模態在同一邏輯系統中發生交互作用后，會使得這一系統具有新的性質。多模態邏輯研究的核心問題之一就是考察不同模態在同一系統內的相互作用關系。

例如，在認知邏輯系統中，知道算子和信念算子之間的交互作用滿足以下原則：

如果i知道p，那么i相信p。①

這一原則在認知邏輯中較為常見，它涉及知道算子和信念算子之間的交互作用關系。除了這一原則外，知道算子、信念算子以及道義算子之間的交互作用關系還可能滿足如下原則：

（1）如果i知道i知道p，那么，i知道p。

（2）如果i知道j不知道p，那么，i知道p。②

（3）如果i相信p，那么，i知道i相信p。③

（4）如果i相信p，那么，i相信i知道p。④

（o）i不會既相信p又相信非p。

（6）如果i不知道p是被禁止的，那么，i相信p是被允許的。

（7）如果i相信p但p是假的，那么，i將會繼續相信p只要他不知道p是假的。⑤

（8）如果i知道p是必然的，那么，i相信p不可能是被禁止的。

在多模態邏輯中存在很多這種類型的交互作用原則，其中模態算子間的交互作用原則依賴于具體模態的內涵，因而它們看起來是直觀有效的。而這些交互作用原則也將成為包含上述種類模態算子的多模態邏輯系統的初始公式（公理）。此外，還可以研究一些具體情境下的不同模態算子之間的交互作用關系。例如，下述交互作用原則可以用來描述一組具有認知能力的理性人之間良好的溝通關系：

如果John知道p，那么，Picrrc也知道。①

如果Mary相信p，那么，John也相信p。②

傳統單模態邏輯系統的構建方式是圍繞著一些具體的特征公理，如白返性公理、傳遞性公理等構建具體的模態邏輯系統，多模態邏輯一般系統的構建方式與之類似?；谀B間的交互作用原則的直觀有效性，對其進行形式刻畫，即可作為模態交互作用公理從而成為構建多模態邏輯系統的特征公理，這是構建新的多模態邏輯形式系統的關鍵。模態交互作用公理通過聯合不同的模態算子，從而描述不同的模態交互作用之后形成的新性質和新特征。對模態算子間的交互作用原則進行形式刻面，即定義模態交互作用公理，這是多模態邏輯基礎理論研究的一個重要視角。

基于前文提到的模態算子的第一種表述方法，上述知識算子與信念算子的交互作用原則可以表述為：

（1）K_iK_jp—K_ip

（2）K_i—.Kjp-K_ip

（3）Bip—KiBip

（4）Bip—BiKip

（5）—（Bip∧Bi-p）

（6）—Kilp—BiPp

（7）（Bip∧-）一O（一Ki一p—Bip）③

（8）Ki口p—Bi一◇lp

從模態交互作用公理的視角研究多模態邏輯一個重要的問題就是模態交互作用公理的選擇及刻畫。模態交互作用公理的主要來源是模態交互作用原則的形式化。應該考慮什么類型的模態交互作用原則，能夠考慮什么類型的模態交互原則，這類模態交互作用原則對模態間交互作用情況的描述能力如何等，上述問題都是選擇、刻畫模態交互作用公理時應該考慮的問題，也是多模態邏輯研究的一個較為基本的問題?；诙嗄B邏輯基礎理論研究的主要任務是為研究各種類型的模態定義一般的形式框架，目前，多模態邏輯基礎理論研究的一般思路是，選擇相對廣泛的模態交互作用公理（模式），基于上述公理（模式）構建多模態邏輯一般系統，進而對該系統的完全性、對應性、可判定性等元邏輯問題進行研究。

三、多模態邏輯系統的分離性問題

在多模態邏輯的公理化系統中，不同的模態算子有不同的演繹方式，即與不同模態算子相關的（單）模態系統（子系統）是不同的。例如，有的多模態系統同時包含T類型的模態算子口1，S4類型的模態算子口。，以及KD類型的算子集（口13，…，口n3）等。從一般意義上考察多模態系統的公理化，則面臨下述問題：在何種程度上一個多模態系統可以被看作是多個（單）模態系統的疊加？或者，已知多模態公理化系統L及其語言中的任意算子0，如何得到與0相關的子公理化系統？這一問題即多模態邏輯系統的可分離性問題。

多模態邏輯系統的可分離性問題主要關注多模態公理化系統及其子系統之間的關系問題。不同類型的多模態邏輯系統對這一問題的回答不同。根據多模態系統內模態算子、公理及規則的組合方式，多模態系統可分為包含交互作用的系統和不包含交互作用的系統。多模態邏輯基礎理論研究將分別考察這兩類公理化系統的可分離性問題。

首先，需要嚴格定義區分包含或不包含交互作用系統的標準。如果模態交互作用公理涉及不同的模態算子O1，…，0n，那么系統的定理及推理規則都會有所涉及;如果該公理化系統包含（或不包含）涉及不同類型模態算子交互作用的公理或推理規則，則被稱為包含（或不包含）交互作用的多模態公理化系統。

其次，根據多模態公理化系統的性質及公理化可分離性的定義，通過歸納證明不包含交互作用的多模態公理化系統是可分離的。對于包含交互作用的多模態公理化系統而言，不同模態算子的演繹方式會因其算子間的交互作用發生變化，而導致包含交互作用的多模態公理化系統不可分離[4]。

最后，在多模態邏輯系統的可靠性和完全性結論的基礎上，定義一個具體的標準去判定一個具體的多模態公理化系統是否可分離。對多模態邏輯系統的可分離性進行研究，是進一步精確分析多模態系統的一般性質、多模態系統與其子系統之間的關系，研究多模態邏輯相關結論的“漸增參考（ cumulativity）”問題的重要基礎，是研究多模態邏輯基礎理論的重要方面。

四、多模態邏輯的語義選擇問題

多模態邏輯基礎理論研究的另外一個重要問題就是語義選擇問題。什么類型的模型可以用來解釋多模態邏輯，這種類型的模型是否對于解釋各種類型的模態具有普遍適用性，這是多模態邏輯的語義選擇問題。

在克里普克語義學中，模態算子按照以下方式加以定義。用U表示可能世界的集合，用R表示可及關系：如果一個命題p在可能世界x中是必然真的，那么，在與x世界具有R關系的所有可及世界中，p是真的。一個較為自然的想法就是將這種語義學推廣到多模態邏輯中。假設一個模態算子對應一個可及關系，由此能夠得到多關系結構{U，{R1，…，Rn}}，其中U表示可能世界集，R1，…，Rn表示不同模態算子對應的可及關系。多關系結構可看作是通常意義上的克里普克語義結構在多模態邏輯中的“自然”擴展。這種類型的語義被稱為多關系語義，一般選擇這種語義對多模態邏輯進行解釋。

多關系語義是比較符合直覺的語義，它的模型為M=，其中U是可能世界的集合，R是在U之上的二元關系的集合，即{R1，…，Rn），V是在U之上的一個賦值。在一定意義上，多關系語義的模型是“典范的”，并且具有比較深層次的代數結構。在多關系語義中，由任意模態參數Q形成的模態算子[a]和的真值條件可在模型M中通過公式（M，X）}（a）a（=）（ヨy∈U）（xRay∧（M，y）Fa）和（M，x）F [ala㈢（v y∈U）（xRay一（M，y）}a）定義，其中R。是與模態參數a相關聯的二元關系，a是任意合式公式，x，y∈U。

多模態邏輯中涉及到模態算子的運算，從語義層面看，模態算子的運算實際上是模態算子所對應的二元關系的運算。模態算子和二元關系的聯系是多方面的。首先，模態算子之上的運算與其所對應的二元關系之上的運算相“對應”，即這兩個層面的形式運算是相對應的。其次，一般來說，由特定的模態算子交互作用公理所構建的多模態邏輯系統的完全性問題，與該模態交互作用公理所對應的框架的二元關系性質相對應①。最后，上述完全性問題就會產生對應性問題和系統的決定性問題，與之對應的就是上述二元關系的一階性質所對應的這些問題。因此，對于多模態邏輯系統的語義研究，很自然地就會轉向對多關系語義中二元關系運算的研究。需要注意的是：正是因為從單模態邏輯到多模態邏輯研究的擴展，導致了對二元關系的運算進行深入地研究。事實上，這種研究開拓了模態邏輯和克里普克語義學之間很多新的聯系，并且由此可以給出一些更為簡潔的完全性和對應性理論的結論。

多關系語義憑借其直觀的特性和相對廣泛的適用性在多模態邏輯研究中發揮重要作用，但是，多關系語義仍存在一定的局限性，它不適用于某些類型模態的解釋。比如，多關系語義無法給時態一個滿意的解釋，時態算子以及時態算子和其它類型算子的聯合可能需要更為復雜的語義結構去解釋。此外，在一些具體的系統內，如時態邏輯系統[5]和認知邏輯系統[6]內，也出現了一些多關系語義的替代品。如（ U1，…，Ux，R1，…，Ra）類型的結構②，其中U表示可能世界集，Ri表示在Ui之上的二元關系。除此之外，還有更為復雜的結構[3]222。從邏輯的角度來看，一個需要研究的問題是這些不同語義之間的關系。已知一個給定語義下的模型M，以及其它語義下的模型M'，若M和M可以驗證同一個公式（即這一公式在這兩種模型上都是有效的），那么，這兩種語義之間是否具有等同關系。不同語義對應的不同類型的模型分別適合什么樣的多模態邏輯系統，這是多模態邏輯基礎理論的語義研究中需要考慮的另外一個重要問題。

多關系語義對多模態邏輯而言可能不是最好的選擇方案，但是作為一個可參考的語義解釋，它仍舊能夠為多種類型的模態及其聯合提供解釋。因此，它具有相對廣泛的適用性。與此同時，探索其它類型語義，通過綜合比較多種語義進行進一步的研究，即不同類型的模型之間是否存在等價關系、不同類型語義的適用性問題等，這也是多模態邏輯基礎理論研究的一個重要方面。

結 語

綜上所述，在一般情況下，與多模態邏輯研究相關的語形和語義問題又可以分為下述兩種類型：

（1）在何種情況下，單模態邏輯的某些方法和結論可以直接推廣到多模態邏輯中？

（2）什么樣的問題是只有在多模態邏輯情況下才會出現的？

問題（1）已經涵蓋了多模態邏輯研究大部分的問題。實際上，模態邏輯現在發展的技術水平相對而言已經很高，但是，要想在很短的時間內把在單模態邏輯中獲得的一些方法和結論推廣到多模態邏輯中還是有一定困難的，這需要長時間的研究和構建。但是，這一工作是不可避免的，這涉及到邏輯系統的完全性問題，可判定性問題，模型論以及對應性問題等結論的推廣。因此，非常有可能的是，如（1）關注的那樣，多模態邏輯具有許多類似于單模態邏輯的方法和結論。通過抽象概括單模態邏輯一些標準的方法，可以有效地得出多模態邏輯系統的一些完全性、對應性、可判定性結論等。

問題（2）更加具有開放性。正如上文已經提到，在多模態邏輯中有許多問題是先驗的，這主要包括：上文提到的模態算子的交互作用問題;模態算子的形式運算和實際運算問題（如果采用參數概念的話，就是模態參數之上的形式運算和實際運算）;多模態邏輯與二元關系理論的關系;包含不同模態算子的子系統的相關語形語義問題;多模態邏輯系統的多種語義解釋問題等。

多模態算子及其表述、多模態邏輯的研究視角、多模態邏輯系統的分離性以及多模態邏輯的語義選擇等問題是目前多模態邏輯基礎理論研究的基本問題。多模態邏輯是模態邏輯基礎理論的重要組成部分，研究多模態邏輯基礎理論有助于構建全面、完整的模態邏輯理論體系。同時，研究多模態邏輯有助于進一步發揮其方法論功能，促進其在理論計算機科學、人工智能、博弈論、多主體認知等領域內的應用[7]。

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