關于歐拉方程解的研究

常秀芳

（山西大同大學數學與統計學院，山西大同037009）

變系數的線性微分方程的求解一般沒有固定方法可循，然而現實生活中常常遇到諸如熱傳導、振動諧波、電磁波、等變系數的線性微分方程問題，它們正好是特殊的變系數的線性微分方程——歐拉方程[1-4]。

1 概念

定義形如

的方程，稱為歐拉方程。其中：p1,p2,…,pn-1,pn是常 數且p1≠0, 當f(x)≡0 時 ，方 程xny(n)+p1xn-1xy(n-1)+… +pn-1xy′+pny=0 稱為n階線性齊次歐拉方程。

當f(x)≠0 時，方程xny(n)+p1xn-1y(n-1)x+…+pn-1xy′+pny=f(x)

稱為n階線性非齊次歐拉方程。

歐拉方程用微分算子表示為

由解的結構知：只要能求得n階線性齊次歐拉的通解以及n階線性非齊次歐拉方程一個特解，則歐拉方程的通解即可寫出。至于特解的形式可參閱n階常系數線性微分方程的特解形式進行假設，用代入法求得，或知齊次方程的通解用常數變易法解之，因此，關鍵是求n階線性齊次歐拉的通解。

2 特點

歐拉方程是一個n階變系數線性微分方程，其特點：（1）它的左邊的每一項是都由冪函數與未知函數導數的乘積組成；（2）每一項冪函數的指數與未知函數導數的階數相等；（3）k階導數Dky的系數是k次的冪函數pn-kxk(k=0,1,2,…,n，且P0=1)。

3 一般解法

當n=1時，是一階歐拉方程

變形為

則此方程為一階線性微分方程，其通解是

當n≠1時，設x=eu，因

將上述各項代入方程

得一個關于未知函數是y，自變量為u的常系數線性方程

Pn(D)y=0，

求得此常系數線性齊次方程后，因x=eu，所以用u=lnx回代，則得齊次歐拉的解。

例1求方程x3y?+3x2y″+xy′-y=xlnx的解。

解設x=eu，因原方程為

[D(D-1)(D-2)+3D(D-1)+D-1]y=ueu，即

(D3-1)y=ueu，

其特征方程為r3-1=0，特征根為

則(D3-1)y=0 的通解為

設方程 (D3-1)y=ueu的特解為y?=u(Au+B)eu，代入方程得

(6Au+6A+3B)eu=ueu，

因此方程(D3-1)y=ueu的通解為

則所求方程的通解為

4 獨特解法

由冪函數導數仍為冪函數的特點，不妨設歐拉方程

代入原方程為

由于xλ≠0，則得一個關于λ的n次一元方程

不妨規定此方程為歐拉方程的特征方程。

4.1 特征方程有n個不同的特征根

設歐拉方程的特征方程有n個不同的特征根為λ1,λ2,…,λn。

因λ=λ1,λ2,…,λn而 且λ1,λ2,…,λn互 不 相等，于是xλ1,xλ2,…,xλn線性無關。則歐拉方程的通解為

解特征方程λ(λ-1)+λ-1=0 ，特征根為λ=±1，所以，所求方程的通解為

4.2 特征方程有兩個同的特征根

設歐拉方程的特征方程有兩n個相同的特征根為λ1、λ2。

因λ=λ1=λ2，所以y1=xλ1是齊次歐拉方程的解。

設y2=xλ1lnx，因

由于λ1是特征方程的重根，將代入齊次歐拉方程的左端，化簡得

因此，y2=xλ1lnx也是齊次歐拉方程的解。又y=xλ1與y=xλ1

lnx線性無關，所以歐拉方程的通解含有 (C1+C2lnx)xλ1項。

例3求方程x2y″-xy′+y=0 的通解。

綜合考慮研究區6個時相遙感影像，決定在NDVI概率累計表上取概率為99.5%的值為NDVImax，取概率為0.5%的為NDVImin，并利用ERDAS IMAGINE 2013 軟件中的Modeler實現植被覆蓋度定量轉換模型，得到1989—2015年6期植被覆蓋度專題圖。

解特征方程λ(λ-1)-λ+1=0，即(λ-1)2=0特征根為λ=1 ，所以，所求方程的通解為y=(C1+C2lnx)x。

4.3 特征方程有共軛復數的特征根

設歐拉方程的特征方程有一對的共軛復數的特征根為α±iβ。

因λ=α±iβ，則是歐拉方程的解。

由歐拉公式知

由線性齊次微分方程解的結構知：

又y1與y2線性無關，所以齊次歐拉方程的通解含有xα[C1cos(βlnx)+C2sin(βlnx)]項。

例4求方程x2y″+xy′+y=0 的通解。

解特征方程λ(λ-1)+λ+1=0，即λ2+1=0，

特征根為λ=±i，所以，所求方程的通解為y=C1cos(lnx)+C2sin(lnx)。

4.4 特征方程有k重共扼復數的特征根

若λ=α±iβ是歐拉方程的k重共軛復數的特征根，則歐拉方程的通解一定含有

5 求齊次歐拉方程通解的具體步驟

第一步：依據方程寫出特征方程

第二步：求出特征根；

第三步：依特征根寫出方程的通解如表1。

表1 齊次歐拉方程特征根與通解關系的對照表