以性別區分人群的梅毒模型穩定性分析

石月蓮

（晉中學院數學學院，山西晉中030619）

梅毒是由蒼白密螺旋體引起的性傳播疾病，它不僅是世界三大慢性傳染病之一，也是長期以來困擾世界的難題[1-2]，在美國進行梅毒清除計劃之后一段時間，世界上梅毒患者的數量大幅下降，但是隨著時間的推移，性工作者人群數量的增加以及毒品品在全世界的流通，使得全球的梅毒患者呈現快速增加的趨勢，加之同性戀者群體的出現使得梅毒患者處于同性化以及低齡化的狀態，目前面臨的形勢不容樂觀，也使之成為各界學者爭相研究的對象。

梅毒傳播過程復雜[3-5]，感染之后會進入潛伏階段，平均時間為28天，在該階段的患者不具有感染性，之后患者會進入梅毒一期，患者會在性器官及其附近出現硬下疳，平均46 天后硬下疳會消退進入一段無癥狀期，如果得不到及時的治療，患者會進入梅毒二期，這時多出現全身癥狀，侵犯皮膚、黏膜、骨骼以及內臟，并伴有發熱、頭疼等癥狀的出現，3～5 天情況會有所好轉，但是接著會再次出現反復情況。大約15周之后會進入延遲階段，延遲階段又可以分成早期延遲以及晚期延遲，兩個階段的區別只是時間上的區分，沒有明顯的界限，延遲階段有時會持續幾十年，延遲階段之后是三期梅毒，但是只有三分之一未經治療的人會進入三期梅毒，最為嚴重的情況就是梅毒會侵入心血管以及神經，形成心血管梅毒以及神經梅毒，而且造成的傷害不可逆，三期梅毒也是死亡率最高的階段。

各界學者對梅毒的研究已經非常深入，也建立過很多的研究模型，Garnett等人[6]建立的梅毒模型沒有區分早期潛伏以及晚期潛伏，在該模型中被治愈的患者沒有進入免疫的倉室而是直接進入易感者倉室，Milner and Zhao 等人[7]在假設患者得到治療后會獲得終身免疫以及有效疫苗存在的情況下建立常微分方程模型，此外還有很多的數學模型[8]，在前人研究的基礎上，將總的人口按照性別分成兩個分組，每個分組中再根據梅毒的發展進程細化，為了更加貼合實際，將女性患者感染男性以及男性患者感染女性的感染率設置成不同的，在該模型中治愈之后患者得到的是暫時免疫，因病死亡只發生在梅毒三期，通過對模型全面系統的穩定性分析，對決定疾病是否繼續傳播的基本再生數進行敏感性分析，得到的理論結果對控制梅毒的傳播具有借鑒意義。

1 模型介紹

1.1 模型的建立

將總人口按照性別分成兩組，分別用S1與S2表示，在女性分組中又根據梅毒分傳播過程分成潛伏期梅毒E1，一期梅毒W1，二期梅毒W2，早期延遲階段L11，晚期延遲階段L12以及免疫階段T1，三期梅毒W3，同樣在男性分組中也細分為潛伏期梅毒E2，一期梅毒M1，二期梅毒M2，早期延遲階段L21，晚期延遲階段L22以及免疫階段T2，三期梅毒M3，模型中涉及的參數會在模型后加以說明，下面是具體的模型介紹：

模型中的變量β1表示女性梅毒患者對男性的感染率，β2表示的是男性梅毒患者對女性的感染率，d表示人群的自然死亡率，η1i(i=1,2,3,4,5)表示的是女性在患病期間，目前所處階段到梅毒下一階段的轉化率（進程率），η2i(i=1,2,3,4,5)表示的是男性在患病期間，目前所處階段到梅毒下一階段之間的轉化率（進程率），δi(i=1,2)分別表示女性分組以及男性分組中患者經治愈在此變為易感者的概率，τ1i(i=1,2,3,4)指的是女性分組中梅毒每個階段的治愈率，τ2i(i=1,2,3,4)指的是男性分組中梅毒每個階段的治愈率，因為當梅毒發展到三期梅毒時，基本上沒有治愈的可能性，所以在該階段沒有設置治愈率，但是考慮到該階段對人身體的危害性，故在該階段考慮因病死亡，因病死亡率分別設置為b1和b2。此外，在模型中總的人口為Λ=Λ1+Λ2。

1.2 模型的正不變集

定義總的人口為

由模型（1）可知

由（2）知

所以模型（1）的正不變集為

Δ 是模型（1）的正不變集，在該集合中對模型進行研究，所得的理論結果都具有生物意義。

2 模型分析

2.1 基本再生數

由模型的正不變集可知無病平衡點為

根據下一代矩陣法[9]，定義在無病平衡點P0的Jacobian矩陣J(P0)，且有J(P0)=F-V, 其中

2.2 無病平衡點的穩定性分析

定理1當R<1 時，無病平衡點時全局漸近穩定的。

證明首先證明當R<1 時，E1→0 ，E2→ 0 ，將模型（1）中的部分方程改寫成如下形式：

通過不等式組（4）可以得到

當R<1 時，不等式（5）將變成嚴格不等式這顯然是不成立的，除非利用相似的過程可以證明當R<1 時同樣由不等式（5）可知即整個系統將趨于無病平衡點

即當R<1 時，系統（1）的無病平衡點是全局漸近穩定的。

3 后向分支

假設

是系統（1）的一個地方病平衡點，為了方便求得分支參數，對系統（1）的方程進行適當的變換，令S1=x1，E1=x2，W1=x3，W2=x4，L11=x5，L12=x6，W3=x7，T1=x8，S2=x9，E2=x10，M1=x11，M2=x12，L21=x13，L22=x14，M3=x15，T2=x16，由此可得，

其中具體形式如（6）式，其中λ1=β1(x11+x12)，當R=1 時，將β*作為分支參數，令

計算當β1=β2=β*時，系統（6）在無病平衡點P0Jacobian矩陣J*

矩陣J*有一個右特征向量W=(ω1,ω2,...,ω16)T, 具體如下

同時，矩陣J*有一個左特征向量V=(v1,v2,...,v16)T，且滿足V?W=1, 根據文獻[10]的定理4.1 計算分支系數a和b，定義如下：

因為分支系數b>0，所以當分支系數a>0 時，系統（6）將會產生后向分支。后向分支的出現的原因是病人獲得的免疫是暫時免疫，一部分人會失去免疫再次進入易感者倉室，使得對疾病的控制一直處于循環的狀態而無法得到顯著的效果。

4 敏感性分析

4.1 對基本再生數敏感性分析

首先令

下面對R*進行求導，分析不同的參數對R*的影響，

由上面的分析結果可以知道，如果提高τ11，τ12，τ21，τ22以及η11，η13，η21，η23的值，將可以控制梅毒的傳播，對于η12以及η22則需要進一步分析。

4.2 敏感性分析結果

首先對參數η12進行分析，結果總結如下：

（1）如果τ12>τ11或者τ11>τ12且η13>τ11-τ12，又或者τ11=τ12，這時提高參數η12將有利于控制疾病傳播；

（2）如果η13=τ11-τ12(τ12>τ11)，這時提高參數η12將對控制疾病傳播沒有影響；

（3）如果η13＜τ11-τ12(τ12>τ11)，這時提高參數η12將不利于控制疾病傳播；

對η12可以用相似的過程進行分析，具體如下：

（4）如果τ22>τ21或者(τ21>τ22)且η23>τ21-τ22,又或者τ21=τ22，這時提高參數η22將有利于控制疾病傳播；

（5）如果η23=τ21-τ22(τ21>τ22)，這時提高參數η22將對控制疾病傳播沒有影響；

（6）如果η23<τ21-τ22(τ21>τ22)，這時提高參數η23將不利于控制疾病傳播。

由上可知，若想有效的控制梅毒的傳播，無論是在男性群組還是在女性群組，提高梅毒一期以及梅毒二期的治愈率都是十分有效的控制措施，此外，還可以通過調控梅毒不同階段的進程率和治愈率之間的關系來控制梅毒的傳播，高的進程率影響因素較多，如果患者本身患有其他的免疫缺陷疾病或者是醫療衛生條件的不足都會導致疾病的加速惡化，也就會加快梅毒不同階段的進程率，這些結果都是與實際相結合，可以為采取防治梅毒措施提供參考建議。

5 結論

在前人的研究基礎上將總的人口分成女性人群以及男性人群，在每個人群中，根據梅毒的疾病階段再細分。為了使得模型更加的貼合實際，將不同分組的感染率設置成不同的，并在梅毒三期設置因病死亡率?；颊咧斡螳@得的免疫是暫時免疫，通過求得基本再生數以及無病平衡點研究模型的穩定性，當R<1 時，無病平衡點是全局漸進穩定的，在R=1 時，模型會出現后向分支，暫時免疫的失去是導致后向分支出現的原因，此時為控制疾病而采取的措施有效性會降低,最后對基本再生數進行敏感性分析。研究不同的參數對基本再生數的影響，發現提高治愈率或者調節疾病不同階段的進程率與治愈率之間的關系也可以達到控制疾病傳播的目的，得出的理論結果具有參考價值和借鑒意義。