以臆測教學促進學生對分數意義的理解
——以“分數作為整數相除的結果”教學為例

◇蔡寶桂

一 “作為整數相除的結果”的分數意義

有關分數意義的研究，不論中外學者如何區分建構意義的種類，都少不了“商”的意義，即對應于小學數學教材中分數意義之分類“作為整數相除的結果”。

首先，平均分情境是“總量÷單位數＝單位量”，如“3 個比薩平均分給4 個人，每人得到個比薩”，從問題記錄而言，除法算式表征為“3÷4=3 4 ”；反之以乘法算式表征則為“（）×4=3”，也就是“平均每個人分得個比薩，4 個人一共可分得3 個比薩”。因此其分數意義體現在“單位分量”上，對數概念的認知則發展為部分－整體關系，如圖1。

圖1：平均分情境下3÷4 的圖形表征

其次，測量情境即為包含除，也就是“總量÷單位量＝單位數”，如長7 厘米的緞帶，每4 厘米剪一段，可以剪一段剩下3 厘米，以段為單位這3 厘米又可以稱為段，所以算式可以寫成7÷4=1，意義溝通為7 是4 的1倍，也可以換成假分數，而理解此學習活動須具備 “分數倍”的概念，認知發展涉及“比例思維”，如圖2。

圖2：測量情境下7÷4 的圖形表征

二 學生學習所需具備的知識基礎

因此，四年級學生學習整數相除的結果為分數的意義前，須具備將分物視為“單位分量”的分數意義，也就是要從原本的“分幾份取幾份”的“部分-整體”的分數意義，對照整體量“1”這一單位，將每個單位分數都視為一個獨立可計數的量，建立單位分量的分數概念，如圖3。

圖3：從“部分-整體”擴展到“單位分量”

因此，教師教學時建議給定明確的大小單位，如大單位“1 張”、小單位“1 片”，讓學生在對應原有“部分-整體”的圖示表征（如圖4）中，最終發現小單位擺放的位置并不影響小單位的大小，進而認識到即使脫離1 張，仍然是可被獨立計數的單位分量。此時，學生對于分數的認識才由“分幾份取幾份”的描述詞，進展到對計數單位的認識，也才能以此作為分數數詞序列計數的基礎。

圖4：形成單位分量之“片”于“張”的操作流程圖

三 數學臆測教學案例摘要

以下分別從林碧珍(2018)的數學臆測教學模式中所提出的五階段分別進行說明。（“分數作為兩數相除的結果”的內容安排在四年級）

（一）造例。

1.造例設計。

（1）利用學生不等分組的組內人數(b)與限時分割彩紙張數(a)，達到全班造出多種分母(b)和分子(a)的分數。

2.造例活動。

為達到上述造例設計要求，班級學生的座位應以不等組的方式安排，再加上考慮限定時間內，讓每組得以操作體驗“一回拿一張，一張分給幾個人”的數學結構，所以每組須安排小幫手，負責提供彩紙，且同組的每張彩紙顏色都不同。組內任務進行步驟說明如下：（如圖5）

步驟一：小幫手將一張圓形彩紙交給組內其中一人。

步驟二：先對折再剪開，并將每小片分給組內除小幫手外的每一個人。

步驟三：拿到紙片的同學，需在每小片彩紙上寫出幾分之幾張。

步驟四：一張圓形彩紙平分完后，小幫手再發一張新的圓形彩紙給組內另一個人。

圖5：造例活動座位安排與角色分工示意圖

游戲結束后，可請學生數自己分得的彩紙，并讓其他組的學生從分得彩紙的結果，猜猜看：這組有幾個人在分彩紙？這組剛剛分下去幾張彩紙？作為引發學生進行后續一連串深入探究的動機。

3.造例匯總。

（1）請學生用算式記錄每一組分得彩紙的過程與結果，學生可能以乘法算式表示分得的結果，除法算式表示分的歷程或摘要記錄，如圖6。

圖6：算式記錄分得彩紙的過程或結果

（2）討論完每一組的算式記錄是過程還是結果后，教師再請學生“用一個算式把分彩紙的過程和結果記錄下來”，將學生對于造例活動的算式表征，推進到以一個除法算式摘要記錄的程度。

（3）由教師匯總全班造例于黑板上，讓學生依此提出后續的數學猜想。

（二）提出猜想。

教師進行個別觀察，并全班匯總后，發現的數學想法可分為以下幾類，舉例如下。

1.現象描述。（如圖7）

圖7

2.結果都是分數。（如圖8）

圖8

3.算式中的數字關系。（如圖9）

圖9

4.被除數與分子相同。（如圖10）

圖10

5.除數與分母相同。（如圖11）

圖11

6.被除數與分子、除數與分母。（如圖12）

圖12

7.數字大小的比較。（如圖13）

圖13

8.單位分量描述。（如圖14）

圖14

9.關系的推論。（如圖15）

圖15

（三）效化猜想。

1.猜想語言描述的精確性。

（1）學生只描述上、下，經討論后認為應該用分母和分子的語言來描述才能更精確地表示。（如圖16）

圖16

（2）答案還是“分數”？

“答案是偶數”，有違學生在整數前提下進行奇偶分類。因此，須修正為“答案中的分母都是偶數”。 （如圖17）

圖17

“答案有兩個數”，是指有兩個答案？可能是因為答案用分數表示，所以分數線上下各有一個數，所以有“兩個數”。（如圖18）

圖18

2.修改或刪除錯誤猜想。

（1）“有幾個吐司”應該修正為“有幾個人來分吐司”，才能使猜想由錯誤變正確。（如圖19）

圖19

（2）“除法的余數加回去”，雖然知道學生想表達的是不寫整數商和余數，而是直接寫用分數商表示，但討論的當下，學生覺得“加回去”這個詞有錯，但又不知如何修正，所以這個猜想就被刪除了。（如圖20）

圖20

3.避免使用否定詞或限制性詞語，如在數大小比較中有關 “有一些算式的結果，分母比較大、分子比較小”，雖然可找到分母大于分子的例子，但因為這句話用了“有一些”后，無法因錯誤而被推翻。所以，一開始就要反復提醒學生，這類詞不要出現在猜想中。

4.提出反例從而刪除猜想。

（1）如果討論的時間夠長，可不可能分超過10 張以上？一組人數多一點，超過10 人以上，如20÷23=就可以推翻類似以下這樣的猜想：數大小比較的猜想“每個數都不比10 大”、現象描述的“算式中沒有0”、“答案中的分母都是偶數”的猜想。

（2）每個“算式都沒有0”是數字中有無0 之外，還包含0 可否當被除數或除數，因此也可以以0÷3 舉反例，但對于學生而言，沒有東西卻要分給人，也是比較難以接受的，雖然它符合數學定義。

5.匯總猜想：在討論進行猜想的分類、檢驗與效化后，猜想大約被匯總為三大類：其中單位分量描述與關系的推論仍各為獨立的一類，前面7 項都被歸為一大類，并成為猜想一般化的討論題材。

（四）猜想一般化。

經過學生對猜想進行檢驗、支持或應用擴充例子反駁的歷程后，最后提出一般化的猜想：所有整數除以整數(不包含0)，當答案用真分數或假分數表示時，被除數會變成分子，除數會變成分母。

（五）證明猜想一般化。

有關單位分量與關系推論的猜想，是學生成功證明此一般化猜想的重要題材，再加上一開始造例活動所提供的操作體驗，學生提出以下論證的觀點來說服他人，這個一般化猜想一定是對的，也提升了對被除數、除數和商的分子與分母之間意義的理解。進而發現，雖然之前認為被除數和分子、除數和分母都是相同的數，但這個一般化猜想中的“變”字，就點出了兩者之間意義的新解。

如被除數的“分幾張”，到了商的分子卻代表“分得幾個單位分量”，而除數的“分給幾人”，到了商的分母卻代表“被計數的單位分量”。（如圖21）

圖21

荷蘭學者斯特瑞夫蘭德(Streefland,1991)認為，極度低估學生學習分數時的復雜性與機械化取向的分數教育是分數教學與學習問題的兩個源頭。杰羅姆·布魯納(Jerome Seymour Bruner,1966)也曾說過：“任何學科均能以某種智慧上真實的形式，有效地教給任何發展階段中的任何一個兒童?！敝灰獙獙W生數學概念發展，用對分數意義的詮釋，加上學習者體驗、表征，進而邁入數學論證的學習模式，分數將不再是阻礙孩子數學學習的夢魘。