2019年高考全國卷Ⅰ（理）第21題的分析與命題建議

☉合肥市教育科學教研院 許曉天

2019 年全國卷Ⅰ數學試卷給我們一線教師帶來了太多的信息與啟示，引導著廣大教師基于新課標的教學.作為壓軸題的理科21 題，難倒了廣大考生（據了解，很少有考生做全對），對題意的理解也難倒了很多教師.以下就此21 題，談談個人的理解及高考命題的建議，供廣大教師與命題專家參考.

一、試題分析

（一）試題呈現

題目（2019 全國卷Ⅰ理科21）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪治療結果得出后，再進行下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

（1）求X 的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假設α=0.5、β=0.8.

①證明：{pi+1-pi}（i=0，1，…，7）為等比數列；

②求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

（二）試題解答

解：（1）X 的所有可能取值為-1，0，1.

P（X=-1）=（1-α）β；

P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β）；

P（X=1）=α（1-β）.

又若p1-p0=0，則p0=p1=…=p8，與p0=0，p8=1 矛盾，故p1-p0=p1≠0.

故數列{pi+1-pi}（i=0，1，…，7）為公比為4，首項為p1的等比數列.

②由①得：

p4表示最終認為甲藥更有效的概率.此數據說明：甲累計得4 分的概率極??；又甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8，0.5＜0.8，說明得出錯誤結論的概率非常小，說明此試驗方案合理.

（三）試題理解

從此題的解答過程可以看出，問題的解答不復雜.因為命題專家考慮到學生對概率統計的知識儲備和能力因素，第二問直接給了數列的二階遞推式，由于考生對裂項求和還是很熟悉的，所以只要考生冷靜地思考，順著問題的要求做，這一題解決的可能性較大.但仔細研讀此題，發現很多地方學生不明白，甚至教師也難以把控.下面就此題中的難以理解的地方，談談自己的理解.

1.“若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分”的理解

在試驗開始時，一般賦分從0 分開始，那么此題為什么從4 分開始，也不是其他分數呢？因為試驗方案中有這樣一句話：“當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.”并約定：“對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分，乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分，甲藥得-1 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.”又pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率.習慣上，甲藥的累計得分i 往往是從0 開始的非負整數，如果試驗開始時賦0 分，則此時累計得分的隨機變量i的取值為-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，出現了負整數；若賦其他分，則累計得分i 可能出現負整數和正整數為最小數，只有賦4 分，隨機變量i 正好從0 開始.更重要的是，此時事件“甲藥的累計得分為0 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”表示：進行多次試驗后，乙藥治愈的白鼠比甲藥治愈的白鼠恰好多4 只，停止試驗，并認為甲藥比乙藥更有效”，而非事件“沒有進行實驗，認為甲藥比乙藥更有效”，所以試驗開始時賦4 分，更具實際和試驗意義.最后說一下，在試驗開始時要賦“相同”的4 分，是為了試驗的“公平性”.

2.“p0=0，p8=1”的理解

題目中：“試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪治療結果得出后，再進行下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.”

由1 的分析可知：因為開始時甲乙都是4 分，甲藥的累計得分為0 時，即乙藥治愈的白鼠比甲藥治愈的白鼠恰好多4 只，停止試驗，認為乙藥更有效.此時，乙藥累計得8 分，甲藥累計得0 分，故乙藥比甲藥更有效的概率為1，甲藥比乙藥更有效的概率為0，故p0=0；同理，甲藥的累計得分為8 時，甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠恰好多4 只，停止試驗，此時認為甲藥更有效，甲藥比乙藥更有效的概率為1，故p8=1，乙藥比甲藥更有效的概率為0.

3.“pi（i=0，1，…，8）表示‘甲藥的累計得分為i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效’的概率”及“求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性”的理解

從pi的含義可以看出：“甲藥的累計得分為i”中“累計得分”意思是：經過多次試驗后，甲藥的當前得分為i.而pi是指：甲藥的當前累計得分為i，并最終認為甲藥比乙藥更有效的概率.但不是說試驗此時停止，試驗仍可以繼續進行下去，只有到當甲藥比乙藥治愈的白鼠數恰好多4 只，試驗停止.因為i=0，1，2，…，8，所以僅當i 為0，8 時，試驗停止.因此，pi的值不論試驗進行與不進行，都是不變的.

當i=4 時，p4表示：經過多次試驗后，甲藥累計得分為4 時，最終認為甲獲勝的概率.因為甲得分為4，得出乙的得分也是4，與試驗前的賦值相同.因此，試驗沒有停止，仍然要繼續進行試驗.但為了公平，從試驗前最初公平的賦4 分，經過多次試驗后甲藥與乙藥得分相同，都為4 分，回到試驗前相同的賦分，應該說：p4最能夠說明甲藥與乙藥的治愈效果.試驗從假設甲藥更有效出發，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8 的前提下，求甲藥獲勝的概率.如果概率非常小，也就是得到錯誤結論的概率趨近于零，從而否定假設.說明試驗方案合理.

4.“pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…7）”的理解

可能命題專家考慮到學生的理解和建立概率模型的能力，題目直接給出了數列{pi}的二階遞推式：pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.顯得此式來歷不明，怎么理解此遞推式呢？

由“pi”的意義知：在甲得分為i-1，i，i+1時，甲獲勝的概率分別為pi-1，pi，pi+1，假設在某一輪試驗后，甲的累計得分為i.由于題干中：“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗中甲藥的得分記為X”，設事件A1=“X=-1”表示“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗中甲藥的得分為-1”；事件A2=“X=0”表示“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗中甲藥的得分為0”；事件A3=“X=1”表示“甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α、β，一輪試驗中甲藥的得分為1”，則A1A2=A2A3=A3A1=?，且P（A1+A2+A3）=1.

設事件B=“X=i”表示“甲藥的累計得分為i 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”，則B=B（A1+A2+A3）=BA1+BA2+BA3.

又A1A2=A2A3=A3A1=?，

所以（BA1）（BA2）=（BA2）（BA3）=（BA3）（BA1）=?，

所以P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=api-1+bpi+cpi+1.

二、試題特色

從“為治療某種疾病”的問題情景出發，不僅體現了“為人民服務”的“初心”，而且是與學生息息相關的“真情景”；強調了數學與“化學”、“生物”等學科的綜合應用；問題需要學生的閱讀理解，把實際問題進行高度的數學抽象，建立合理的概率模型，考查了學生數學抽象和數學建模的核心素養；把遞推數列與概率統計放在一起考查，凸顯了對學生創新能力的考查.

三、命題建議

由上面的“試題特色”可知，此問題有效地考查了學生“數學抽象、數學運算、數學建模和數據分析”等核心素養，是難得的好題，對當前的高中“刷題”教學有很好的“抑制”作用，并有效地考查了“高智商”學生的能力，達到了選拔優秀人才的目的.

其實，還有一些與此題相關的問題，值得大家思考，如：兩種藥品也許可以各對2n（n≥1）只白鼠進行試驗（n 的大小可以根據試驗精度的要求和實際情況決定），甲藥可以先隨機抽取n 只，這樣分成兩組分別進行試驗，看看治愈的百分比大小，試驗不是更簡單嗎？如果藥品試驗必須是這樣，那么有什么統計或實際要求呢？

對于如此大的信息量的問題，學生在決定自己命運的“高考”考試中，想全部理解是特別困難的，“智商”高的考生也只能夠按照問題設計的思路走下去，即使做對了，也是“試題”設計的“功勞”.

對命題的一點思考：（1）由于我們教師使用的教材對概率統計部分強調了實際應用，對概念與原理部分只是做一介紹，系統性不強.因而教師與學生對這一部分的知識結構沒有深刻的把握.因此，此問題的命制，盡可能命制的簡單一些，降低難度，并把原理的部分盡可能講明白.因為2017 年版新課程標準編寫的新教材的系統性明顯加強，待到全部實施新教材教學后，可以逐步提高此種問題的命題難度；（2）從近兩年概率統計的全國卷試題中可以看出，題目背景是整個試卷重要的創新點，命題專家花了很大的“心血”，特別是今年的試題充分體現“人文關懷”，對根據概率統計原理可以推出的公式，直接給出了.解答過程，只是代數運算而已，不需要概念統計知識支撐，但反過來想，這樣考概率統計的意義何在？所以，建議命題盡可能從原始數據開始，體現“抽象與提煉”，建立概率統計的模型，再通過數學運算解決問題；（3）由于概率統計問題，往往表述的文字量大，放在最后一題壓軸，學生選擇了放棄.其實今年21題的第一問，考生可以得一些分，可能也是命題專家的想法.但因為放在了最后，由于考生的考試時間安排和學生心理因素等，大部分選擇不做此題.所以，概率統計題的位置，可以適當提前.

以上是個人對今年高考全國卷Ⅰ第21 題的思考與建議，以及個人理解，請同仁多提寶貴建議.