胡洋洋
【摘 要】圖形折疊問題核心實質是軸對稱性質,也是中考考查軸對稱性質的主要題型,內容涉及求線段長度、角度、面積、三角函數值等,本文主要以矩形為背景,來尋求折疊問題的解題策略。將從低階思維轉向高階思維,讓學生參與變式、自主歸納解題方法策略,從而激發思維活力。
【關鍵詞】折疊;全等形;點的對稱性;模型思想;方程思想
【中圖分類號】G634.6?????? 【文獻標識碼】A
【文章編號】2095-3089(2019)24-0271-01
一、設計說明
1.學情分析。
筆者所教班級學生兩極分化較為嚴重,多數學生思維較活躍,主動參與、自主探究意識和能力相對較強,但也有少數學生在知識的理解、應用上尚存在一定不足。
本節課的復習重點是理解軸對稱的性質,掌握以矩形為背景折疊問題的解決方法。難點在于能夠靈活選擇解決矩形為背景的折疊問策略方法。
2.設計思想。
折疊問題的實質是軸對稱變化,而軸對稱是幾何圖形變化的重要內容,在生活和數學學習中有著廣泛應用,在歷年中考中多次涉及。
復習目標確定為通過折疊活動,發現折疊的實質,通過幾個矩形折疊問題尋求解決此類問題的基本策略和方法,形成解題模型。
二、范例設計
1.課堂引入。
請同學們拿出事先準備好的矩形紙片,在BC上找一點F,使AB沿著AF折疊后,B點恰好落到邊AC上。
折好后:(1)向同伴說說你是怎么找的?
(2)試著在草紙上畫出你得到的圖形。
說明:學生解答本題可能更多的通過動手操作來判定,在肯定學生思維正確的基礎上,教學中引導學生在活動中通過現象看本質:折疊的實質就是軸對稱變化。注意引導學生回憶軸對稱的性質:1.圖形的全等性;2.點的對稱性:對稱點連線被對稱軸(折痕)垂直平分。
2.例題講評。
例1(原創)通過引例,我們能得到如下的圖形,如果AB=6,BC=8,你能求出BF的長嗎?
思考:(1)你能用不同的方法求BF的長嗎?
(2)你還能求出哪些量?
說明:本例題設計的目的在于鞏固軸對稱的性質1——圖形的全等性。教師要引導學生看到折疊問題關注全等形,尋找BF所在的直角三角形,由形想數,彩筆標注相等的量。對于能做出一種方法的同學及時表揚,鼓勵。學生可能想到的方法有代數法(前兩種)和幾何法(后兩種)。
(1)尋找折疊后余下的一個直角三角形,利用勾股定理建立方程求線段BF的長度。
(2)利用三角函數。
(3)尋找折疊后余下的兩個直角三角形,利用相似(ΔADC≌ΔCEF)建立方程。
(4)等面積法(求ΔACF的面積,可得CF·AB=EF·AC)
不管學生利用哪種方法,都要提醒學生關注圖形變化中的不變量,用不變的量去求解變的量。思考(2)重點關注面積,三角函數值、角度的求值。
本例題以矩形為背景,引導學生發現關鍵三角形(折疊中“余下”的一個或多個三角形),從不同角度(勾股定理、相似三角形、三角函數、面積)通過建立方程求線段長,體現生長性,學生的思維得到激活,同時進一步理解知識間的聯系,體會方程思想在求折疊問題中的價值,提高學生的認知水平。
變式:引導學生變出類似于例1的題目
說明:通過變式教學強化對“折疊”是一種軸對稱變化的理解,幫助學生形成軸對稱的認識,使學生能夠自覺從數、形兩個層面對“折疊”這類操作性問題進行分析。學生根據已有的知識和活動經驗,可能會畫出一兩種,老師補充一些常見的折疊圖形。
重點引導學生觀察,除全等形外,原矩形“余下”直角三角形個數,進行分類。
“余下”兩個直角三角形:
考慮幾何法(K型相似)
“余下”一個直角三角形:
考慮代數法(勾股定理建方程)
沒有“余下”直角三角形:
考慮構造K型相似
通過變式和分類的過程中,學生知道尋找解決這類題的基本支架——找到折疊“余下”的直角三角形,從不同角度建立方程,有利于學生思維的靈活性。
三、教學建議
本節教學活動中,估計學生會因為對相關圖形的對稱性的應用不太熟練,這就需要教師在教學中注重概念和性質的再梳理,充分暴露學生的思維過程,教師應及時的引導、點撥和總結。在解題思路尋求思路時注重引導學生思考“怎么想到的?”“為什么這樣想?”“從哪個角度思考?”等問題。對于例1的變式,個別學生根據已有的知識和經驗,可能會想到一兩種折疊圖形,教師應及時鼓勵,但是大部分學生會遇到困難,教學時,應及時引導學生通過折一折等活動嘗試,學生不可能想到所有的情況,教師應及時補充。
本節設計的目的是為學生提供解決折疊問題的基本策略,在課堂小結環節應重點強調,折疊問題應該從兩個方面考慮,一個是全等形,一個是點的對稱性。不管從哪個方面都要尋找直角三角形,一個直角三角形時都是利用勾股定理建立方程,兩個直角三角形利用相似建立方程,只不過前一個是K型相似,后一個是斜A型相似。