高能電子-質子碰撞中重夸克偶素的遍舉產生

王 晨，陳自強，喬從豐

(中國科學院大學物理科學學院， 北京 100049)(2018年5月5日收稿； 2018年6月1日收修改稿)

電子-質子散射幾十年來一直是主要的一類高能物理實驗，尤其對研究核子結構做出了非常重要的貢獻?？淇伺妓匚锢硎歉吣芪锢硌芯恐械囊粋€重要方向。一來通過研究夸克偶素可以了解重強子的性質，另一方面，由于夸克偶素處于微擾QCD 適用能標范圍以內，對夸克偶素的研究也是了解認識量子色動力學的重要途徑。特別是1995 年非相對論量子色動力學NRQCD 出現之后[1]，夸克偶素物理研究有了更堅實的理論基礎，引發了持續20多年的研究熱潮。人們計算分析夸克偶素在各種高能實驗中的產生過程，研究其衰變性質[2]。

從1974年粲夸克發現以來，夸克偶素遍舉產生過程就成為高能物理理論和實驗研究的熱點課題。它為探究質子內部結構，檢驗NRQCD 因子化，進一步了解微擾QCD 提供了很好的研究平臺。在實驗方面，對電子-質子散射過程中夸克偶素的產生已經做了很多觀測，包括夸克偶素遍舉產生過程γ*p→Vp。其中V代表重夸克偶素。如γ*為實光子，則成為光生(photoproduction) 過程；如為虛光子，則對應電生(electroproduction)過程。人們已在各類對撞機上對這些過程進行觀察，積累了大量數據，包括鐵核固定靶實驗中J/ψ遍舉光生 過程[3-4]，HERA上J/ψ的遍舉光產生[5-9]，HERA上J/ψ的遍舉電產生[10-13]， HERA上Υ 的遍舉光產生[5-6]，LHC上J/ψ的遍舉光產生[14-15]，LHC上Υ的遍舉光產生[16]等。理論方面，隨著有關夸克偶素產生和衰敗理論的發展、對核子結構認識的深化、計算能力的提高，在這個領域也取得了豐富的研究成果。

夸克偶素遍舉產生過程涉及3個不同的能標：1)光子和質子中部分子相互作用產生正反重夸克對。這屬于硬過程，可以用微擾QCD 計算。2) 正反重夸克對演化到夸克偶素。這個強子化過程包含非微擾效應，可用NRQCD[1]因子化方案來處理。3)質子和參與到硬過程的部分子間的相互作用。這也屬非微擾效應，目前主要采取kT因子化和共線因子化兩種辦法處理。

在早期的理論研究中，人們通常采用kT因子化方案進行計算，主要針對高能極限情況(小x區域)(矢量)夸克偶素衍射產生展開研究。通常通過BFKL[17-18]重整化群方程對大log(1/x) 進行求和。對衍射過程，由于對撞能量遠大于其他標度，通常只需考慮振幅虛部的貢獻。 對于核子部分，則通過引入kT依賴的“積分前”(unintegrated) 膠子分布函數考慮非微軟效應，這樣最后得到的振幅將正比于普通的膠子分布函數。第一個γ*p→Vp過程是Ryskin[19]完成的。后來，很多研究人員在此基礎上不斷地完善，考慮膠子分布函數斜度的影響、大kT部分的貢獻、相對論修正、實部對截面的貢獻等[20-28]。kT因子化的方法雖然有著堅實的理論基礎，但也存在較大的理論不確定性，并且在kT因子化下次領頭階計算非常復雜。

另一方面，人們注意到，當質子的入射動量和出射動量不相等(nonforward) 時，對應的部分子分布函數和通常意義上的部分子分布函數不同?？梢苑Q之為“廣義部分子分布函數”(GPDs)。隨著Ji 和Radyushkin 對“深虛康普頓散射”(DVCS) 過程[29-31]和矢量介子遍舉產生過程[32]的研究，GPDs逐漸成為研究的熱點。共線因子化方案下對GPDs 普適性的嚴格證明由Collins 等完成[33]。 在共線因子化框架下，對重矢夸克偶素光生過程的研究已經做到了微擾次領頭階[34-37]。 對于電生過程，即初態光子虛度不為零的情況，實驗上已有大量觀察[10-13]，但理論計算和唯象分析卻很有限。本文擬在共線因子化框架下，計算γ*p→Vp過程，唯象分析HERA 上J/ψ和Υ 遍舉產生截面大小隨光子虛度Q2及光子-核子能量Wγp變化的關系，并與相應實驗結果進行比對。

1 計算框架

矢量夸克偶素遍舉產生過程的領頭階共有6個費曼圖。其中3個如圖1所示，另外3個可在圖1基礎上由費米子線反向得到。將初末態粒子動量標記為γ*(q)p(P)→V(q′)p(P′)。為方便計算和說明，引入“轉移動量”和初末態粒子的“平均動量”：

(1)

初末態粒子的質量和運動學不變量標記為：

s=(q+P)2,t=Δ2.

(2)

(3)

這里新引入2個標度參量ξ和η:

(4)

對于夸克偶素產生過程中的長程效應，采用NRQCD 因子化來處理。在計算中需要用到正反重夸克對到相應夸克偶素Fock 態的投影[38]。對于S波自旋三重態，在忽略重夸克間的相對動量，即在非相對論近似領頭階時，投影算符可表示為

(5)

式中：i,j表示顏色指標；Rs(0)為夸克偶素徑向零點波函數。它的取值既可以由勢模型計算，也可以通過將夸克偶素衰變到輕子對過程的理論結果與實驗測量相比較得到。

對應我們要計算的過程，顯然地，在領頭階參與相互作用的部分子為膠子。核子內膠子的密度分布可以表示為雙膠子場對應的光錐矩陣元。選取光錐規范時可以忽略表達式中的P{}(path-ordering)項，即

(6)

圖1 夸克偶素遍舉產生過程領頭階費曼圖Fig.1 Feynman diagrams for quarkonium exclusive production at LO

2 解析結果

(7)

(8)

注意，Hg(x,η,t)和Eg(x,η,t) 是x的偶函數。在向前(forward) 極限下Hg(x,η,t)可以過渡到普通的部分子分布函數：Hg(x,0,0)=xg(x)。對于Eg(x,η,t)則沒有類似性質。

根據式(7)，可以計算出Δ⊥=0處的微分截面，即

(9)

式(9)第3行中的兩項分別表示橫向極化光子和縱向極化光子對微分截面的貢獻。參數是虛光子的極化參數。 在電子-核子散射中，它可以表示成的函數，即：在大部分夸克偶素遍舉產生實驗中，的值非常接近1。

(10)

參數b稱為“斜率”(slope) 參數。在坡密子(Pomeron) 理論中，b(W)=b0+4α′ln(W/W0)。式(10)中各參數可以通過對實驗數據的擬合得到。

3 數值結果

在截面的數值計算中，還需要對GPDs 進行數值估計。對于Hg(x,η,t)，依據“雙分布”(double distributions) 模型[42-44]進行數值模擬。具體計算方法可參照文獻[44]的第2部分。圖2展示不同η和μ2下，g的實部和虛部之比?？梢园l現，隨著η和μ2的減小，虛部貢獻所占的比例逐漸增大。這和高能極限下(衍射過程)，振幅虛部對截面貢獻占主導的結論是一致的。但在我們的唯象學分析中，因此實部的貢獻會隨著光子虛度的增大(偏離衍射)而增大。 對于Eg(x,η,t)，目前尚無很好的模型可用于唯象學計算。 但根據式(9)，εg項有系數η2壓低。因此，我們將這部分貢獻忽略。 這也是對DVCS 和重夸克偶素遍舉產生過程做唯象學研究時普遍采取的做法。

圖2 不同η和μ2下，g的實部和虛部之比Fig.2 Ratio of Re(g) to Im(g) at different ηandμ2values

下面分析J/ψ在HERA 上的產生。斜率參量b及t取H1 實驗組所取的實驗參數[13]。 圖3展示J/ψ遍舉產生截面對Q2及Wγp的依賴關系。其中，誤差棒表示H1 實驗組的實驗結果[13]；不同形狀的實心點表示我們的計算結果及理論不確定性。圓點組成的上邊界對應的參數選取為：r=2.0,mc=1.4 GeV； 處于中間的方形點對應：r=1.0,mc=1.5 GeV；三角形點組成的下邊界對應：r=0.5,mc=1.6 GeV。圖4(a)～4(d) 分別對應Wγp=90 GeV，Q2=3.2 GeV2，Q2=7.0 GeV2和Q2=22.4 GeV2?？梢钥闯?，計算結果較實驗數據普遍偏大，尤其是當Wγp較大或Q2較小時。在同樣情況下，能標和質量引起的不確定度也相當大。究其原因，可以用小x區域膠子部分子分布函數隨能標的增大而迅速增大來解釋。

圖3 HERA上J/ψ遍舉產生唯象學分析Fig.3 The cross section for J/ψexclusive production at HERA

圖4 HERA上Υ遍舉產生唯象學分析Fig.4 The cross section for Υ exclusive production at HERA

4 總結

本文在共線因子化的框架下，計算微擾量子色動力學領頭階下重夸克偶素在電子-質子散射過程中的遍舉產生過程，給出相應振幅和截面的解析表達式。還唯象分析HERA 實驗中J/ψ和Υ 遍舉產生截面對光子虛度Q2和撞能量Wγp的依賴關系，并與實驗結果進行比較。發現對于J/ψ遍舉產生，理論計算值明顯大于實驗測量值，特別是在小x區域。對于Υ遍舉光產生，在考慮實驗和理論誤差的情況下，可以解釋實驗。通過取不同的重夸克質量和不同的因子化能標，估計理論不確定性。發現在小x區域，能標引起的不確定性非常大。這一方面說明在小x區域，膠子分布函數本身有很大的不確定度，另一方面說明在這些過程中，高階修正的貢獻非常大，未來有必要進一步研究。

最后需要特別指出的是，對夸克偶素在電子-質子碰撞中遍舉產生的研究，非常有益于了解推廣的部分子分布函數(GPD)。