分數階vanderPol振子的超諧與亞諧聯合共振

姜源 申永軍 溫少芳

摘要： 基于平均法研究了分數階van der Pol振子3次超諧與1/3次亞諧聯合共振時的動力學特性。得到了系統的一階近似解析解，提出了超、亞諧聯合共振時等效線性阻尼和等效線性剛度的概念。建立了聯合共振定常解幅頻曲線的解析表達式，又結合變分方程進行線性化處理，推導出分數階van der Pol振子在聯合共振時的周期解穩定性判斷準則。通過與單一諧波下超諧共振、亞諧共振的對比，發現在不同基本參數下該系統可分別表現出單諧波超諧共振、單諧波亞諧共振以及兩者共存時的特征現象。研究表明，分數階微分項參數通過等效線性阻尼和等效線性剛度的形式對系統的響應幅值、共振頻率、定常解穩定性、周期解數量、共振區域、曲線拓撲結構及跳躍現象等復雜動力學特性均產生重要影響。

關鍵詞： 非線性振動; van der Pol振子; 聯合共振; 分數階微分; 平均法

中圖分類號： O322; O241.8 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）05-0863-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.015

引 言

早在1695年，分數階微積分作為一項重要的數學分支由德國數學家Leibniz和法國數學家Hopital在一次探討半階導數的通信中被首次提出。分數階微積分幾乎與經典微積分同時出現，距今已有300多年的歷史，但是由于技術的局限性，其相關應用在當時并未受到過多關注。進入20世紀以后，隨著計算機技術的發展，有關分數階微積分的研究及應用重返研究人員關注的舞臺，大量科研成果脫穎而出，其中包括黏彈性系統[1-2]、混沌動力學[3-4]、非哈密頓系統[5-6]、量子力學[7]、熱動力學[8-9]等。在工程問題中，其應用領域主要分為兩類：一類是在控制系統中引入分數階反饋控制從而改善系統的魯棒性和控制效果，如無人機滑模姿態的控制[10]、永磁同步電動機的雙閉環控制[11]、速度反饋的PID控制[12]、集成神經網絡的控制[13]等領域。另一類是用來模擬含記憶特性工程材料的真實本構關系，如隔振器件的建模（油氣懸架的建模[14]、空氣懸架的建模[15]、磁流變阻尼器的建模[16]等）、單相逆變器的建模[17]、非定常蠕變本構模型的研究[18]、黏彈性材料變形研究[19]等領域。

目前，分數階微積分在動力系統中的研究包含定性分析、數值計算和解析研究，其中具有代表性的導數定義形式又可分為以下三種：Riemann-Liouville型、Grünwald-Letnikov型和Caputo型定義。近幾年，有關分數階微積分理論知識的研究成果頗為豐碩，例如申永軍、楊紹普等[20-24]通過平均法對含分數階微分項的線性和非線性單自由度振子進行了動力學研究，并提出等效線性阻尼和等效線性剛度概念，分析了分數階微分項參數對系統響應特性的影響規律;李常品等[25-27]在分數階微積分的數學理論方面進行了大量研究，提出了一些高效數值算法;Atanackovic等[28]研究了分數階歐拉-拉格朗日方程;王學彬等[29] 通過Riemann-Liouville型和Caputo型兩種常見的分數階導數定義，研究了如何利用拉普拉斯變換方法求解分數階微分方程;陳明杰[30]研究了一種嶄新的信號分析工具即分數階傅里葉變換，并用經典的傅里葉變換觀點對分數階傅里葉變換進行了充分的解釋等等。

1927年，荷蘭電子工程師van der Pol為了描述電子電路中三極管的振蕩效應，首次推導出了著名的van der Pol方程。此后，在物理學、生物學、神經學、甚至經濟學中，van der Pol方程已經成為描述振蕩過程的一種基礎模型。在非線性動力學中，van der Pol方程由于具有豐富的動力學行為而極具代表性。近幾年來，有關分數階導數在非線性系統中的研究受到諸多學者的青睞。例如分數階van der Pol振子的超諧共振[31]、分數階van der Pol振子的亞諧共振[32]、寬帶噪聲激勵下分數階van der Pol-Duffing振子的可靠性分析[33]、分數階van der Pol振子網絡的混沌同步[34]等等。但是，在相關文獻中絕大多數的研究僅局限于單一諧波激勵下非線性系統的響應規律，較少涉及到多頻激勵。在實際工程中，多頻激勵的發生并不少見。因此，多頻激勵下非線性系統具有更加豐富的現象，尤其是聯合共振較為突出。如Nayfeh等的專著[35]中以整數階Duffing振子聯合共振為例，簡單介紹了其中復雜動力學現象。在分數階Duffing振子的聯合共振[36]中，其非線性現象更加豐富。本文對一類分數階van der Pol振子的3次超諧與1/3次亞諧聯合共振進行了研究，采取平均法得到了系統的定常解及穩定性判斷準則，并與單一諧波下的超諧共振、亞諧共振進行了對比，分析了分數階微分項參數對系統的響應幅值、共振頻率、定常解穩定性、周期解數量、共振區域、曲線拓撲結構及跳躍現象等復雜動力學特性的影響。

3.2 整數階van der Pol振子聯合共振幅頻特性曲線 ?選取一組基本系統參數m=5，k=15，α1=45， F1=20，F2=180，K1=0和p=0.4，對系統進行仿真分析。此時，該系統為傳統整數階van der Pol振子的3次超諧與1/3次亞諧聯合共振。根據式（31），可以得到整數階van der Pol振子聯合共振下的幅頻曲線如圖2所示。分析圖2可知，在一定激勵頻率范圍內，該系統可以出現多至7個解共存的特征現象。再根據式（38），對定常解穩定性條件分析判斷，其解的特征存在4種可能性：a） 1個非平凡的穩定解;b） 3個非平凡解，其中一個是不穩定的;c） 5個非平凡解，其中2個是不穩定的;d） 7個非平凡解，其中3個是不穩定的?？梢?，聯合共振系統豐富的多解性體現出單一諧波下超諧共振與亞諧共振的雙重特征，這與傳統整數階Duffing振子聯合共振時的幅頻曲線特征近似[35]。

3.3 分數階微分項參數對聯合共振穩定性參數的影響 ?由于在一定激勵頻率范圍內存在著幾個定常解共存的現象，需要對解的穩定性進行分析，尤其是穩定性條件參數R。設置一組基本系統參數m=5，k=15，F1=20，F2=180，和α1=46對系統進行仿真分析。根據式（38），可以得到分數階微分項參數對聯合共振穩定性參數的影響規律，如圖3所示?？芍?，當R>0時，該系統存在著穩定的周期解如圖3中實線部分所示;反之，當R<0時，圓圈標記線為系統不穩定的周期解。其中圖3（a）為K1=0.5，階次p從0逐漸增大到1時，對系統穩定性參數的影響?？梢钥闯鲈谝欢铑l率范圍下，隨著階次p的逐漸增大，該系統周期解的個數依次呈7，5，3遞減的趨勢，最后保持2個穩定解、1個非穩定解。當0 ? ?

3.4 分數階微分項系數對幅頻特性曲線的影響

考慮到響應幅值能夠反映穩定周期解能量的大小，下面研究分數階微分項參數對聯合共振幅頻特性曲線的影響。設置第1組基本系統參數m=5， k=45， F1=47， F2=2 和α1=2對系統進行仿真分析。根據式（31）可以得到該系統的幅頻曲線如圖4所示。圖4（a）為p=0.5，系數K1依次取0（傳統整數階），0.5，1和1.5時的幅頻特性曲線圖?？梢钥闯?，隨著分數階系數K1的逐漸增大，圖中幅頻曲線呈現向高頻方向移動的趨勢且發生變形，并且系統的振幅衰減，共振頻率增大，周期解的個數變為一個且穩定，共振區面積及多值性發生顯著變化。圖4（b）為K1=1，階次p依次取0，0.1，0.2和0.3時的幅頻曲線?？梢钥闯?，隨著分數階階次p的逐漸增大，圖中幅頻曲線呈現向低振幅方向移動的趨勢，并且拓撲結構發生改變，系統的振幅衰減，解的多值性及跳躍現象消失，周期解的個數降為一個并且穩定，共振區面積發生顯著變化。顯然，在系統發生3次超諧與1/3次亞諧聯合共振的情況下，當高次諧波項幅值F1高于低次諧波項幅值F2數倍時，該系統出現與分數階van der Pol振子超諧共振時的相似情況，表現出3次超諧共振[31]特性。

設置第2組基本系統參數m=5， k=15， F1=2， F2=40 和α1=15對系統進行仿真分析。根據式（31）可以得到該系統的幅頻特性曲線，如圖5所示。圖5（a）為p=0.5，系數K1依次取0，1，3和5時的幅頻曲線?？梢钥闯鲭S著分數階系數K1的逐漸增大，圖中“卵形”幅頻曲線呈現向高頻方向移動的趨勢且發生縮減，并且系統的振幅衰減，共振頻率增大，共振區面積減小，周期解的個數及穩定性并未發生顯著變化。當系數K1持續增大到某一范圍時，“卵形”幅頻曲線逐漸縮減，最終在特殊位置縮聚成一點。圖5（b）為K1=0.5，階次p依次取0，0.4，0.7和1時的幅頻特性曲線圖?？梢钥闯?，隨著分數階階次p的逐漸增大，圖中“卵形”幅頻曲線呈向低頻方向移動的趨勢，并且系統的振幅衰減，共振區面積、解的多值性及跳躍現象等并未發生顯著變化。因此，當高次諧波項幅值F1低于低次諧波項幅值F2數倍時，該系統出現與分數階van der Pol振子亞諧共振時的相似情況，表現出3次亞諧共振[32]特性。

設置第3組基本系統參數m=5， k=15， F1=20， F2=120和α1=35對系統進行仿真分析，研究不同分數階微分項參數對多解情況下幅頻曲線的影響，結果如圖6所示。圖中左側為p=0.5，系數K1依次取3，5和7時的幅頻曲線?？梢钥闯?，隨著分數階系數K1的逐漸增大，共振區內部結構發生變形，而整體輪廓并未發生顯著變化。該系統3個解的發生區域向高頻方向移動且逐漸縮減，5個解、7個解的發生區域向高頻方向移動并逐漸擴大?？梢姺謹惦A系數K1在小范圍變化時，對聯合共振系統的幅頻曲線影響并不明顯。當系數K1持續增大到某一范圍時，該系統會出現與上述曲線類似現象，其最大幅值衰減，共振頻率增大，周期解數目減少，跳躍現象消失等。圖中右側為K1=5，階次p依次取0.5，0.75和1時的幅頻曲線?？梢钥闯鲭S著分數階階次p的逐漸增大，圖中幅頻曲線呈向低振幅方向移動的趨勢且內部結構發生顯著變形。由于等效線性阻尼的增大導致系統的穩定解幅值開始衰減，內部不穩定解幅值開始增長，共振頻率減小，同時對系統解的多值性及跳躍現象也有很大影響。隨著p的逐漸增大，對多解現象的發生將起到抑制作用。當p增大到一定程度時，系統的7個平凡解現象隨之消失，系統發生共振區面積不斷縮減，振幅多值現象隨之減少，跳躍現象逐漸消失。

4 結 論

本文針對含一類分數階微分項van der Pol振子的3次超諧與1/3次亞諧聯合共振進行了研究，采用平均法得到系統的一階近似解析解，并建立了聯合共振定常解幅頻曲線的解析表達式與周期響應的穩定性判斷準則。通過聯合共振等效線性剛度和等效線性阻尼的概念分析了分數階微分項參數對系統幅頻曲線及周期解穩定性的影響，并與單一諧波下的超諧共振、亞諧共振進行了對比。仿真結果顯示，在不同的基本參數下，該系統可分別表現出單諧波超諧共振、單諧波亞諧共振以及兩者共同存在時的特征現象。除此之外，分數階微分項參數對系統的響應幅值、共振頻率、定常解穩定性、周期解數量、共振區域、曲線拓撲結構及跳躍現象等都有重要影響。

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Abstract： Based on the averaging method， the dynamical characteristics of third-order super-harmonic and one-third order sub-harmonic simultaneous resonance of a van der Pol oscillator with a fractional-order differential term are analytically studied. The first-order approximate analytical solution is obtained， and the definitions of the equivalent linear damping coefficient and the equivalent linear stiffness efficient for super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonance are presented. The analytical amplitude-frequency equation for steady-state solution of the simultaneous resonance is established. Combined with the variational equation for linearization， the criteria for the periodic solution stability of the van der Pol oscillator under simultaneous resonance are derived. Through the comparison with super-harmonic resonance and sub-harmonic resonance under single harmonic excitation， it is found that the system can exhibit characteristic phenomenon of single harmonic super-harmonic resonance， single harmonic sub-harmonic resonance and both existence of these two resonances under different system parameters. The results show that the system parameters in fractional-order differential term have important influence on the response amplitude， the resonance frequency， the stability of stationary solution， the number of periodic solutions， the resonance region， topological structure of the amplitude-frequency curve， jumping phenomena and other complex dynamic characteristics through the equivalent linear damping and equivalent linear stiffness.

Key words： nonlinear vibration; van der Pol oscillator; simultaneous resonance; fractional-order derivative; averaging method

作者簡介： 姜 源（1992-），男，研究生。電話： 15032270856; E-mail： 416560053@qq.com

通訊作者： 申永軍（1973-），男，博士，教授，博士生導師。電話： （0311）87936710; E-mail： shenyongjun@126.com