航發高溫內腔溫度場模型的建立與仿真分析

武錦輝， 王 高， 劉 吉

（1.中北大學儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，太原030051；2.中北大學電子測試技術重點實驗室，太原030051）

0 引言

國防及工業生產中，惡劣環境下的腔內溫度測量如發動機燃燒室、鍋爐爐膛、熱流管道等無法直接進行。這些測溫應用由于測試條件惡劣、溫度高、變化快并伴有高壓或高速氣流流動，常為不可重復的一次過程。因此，對測溫傳感器提出了更為苛刻要求。

傳統的接觸式測試方法需破壞整體結構或增加附加測溫組件，且存在安裝困難、測量位置單一、材料抗高溫性能要求高等問題［1-3］；而非接觸式如超聲測量法、紅外測溫法［4-6］無法直接測量內部溫度，也需要通過測量外表溫度來內推腔內溫度。另外，如航空發動機燃燒室、熱電鍋爐、鋼企高爐爐膛由于溫度高、變化快等原因，傳統的單點測量溫度方法達不到實際的需求［7］，為獲取內腔溫度必須深入分析殼體材料的熱傳遞過程。

本文按照熱力學和彈性力學理論將鋼質薄板材料看作封閉系統，并且要求材料均勻、連續，各個方向上的力學性質相同?；谝陨弦幎ń撡|薄板熱變形固體物態方程，即建立薄板溫度與幾何、力學等參量之間的函數關系方程式，解決目前熱變形模型分析按照傳統方法無法求解的問題，并對薄板的熱變形過程進行仿真驗證，分析了恒定溫度場與薄板受熱應變的對應關系。

1 熱變形理論分析

物體的受熱變形有彈性變形和塑性變形，一般裝備正常運行為彈性變形。研究物體彈性的受力變形，首先如下假設：被研究物體是滿足Hooke定律即應變和應力成比例；研究彈性體是均勻、連續、各向同性，材料彈性模量相同且彈性體的位移／變形遠小于本體尺寸［8］。然后，結合靜態力學Navier方程（平衡方程）、Cauchy方程（幾何方程）、物理學應力與應變關系理論建立應力與位移（形變）的方程關系。

彈性體受熱變形時，彈性體內各晶體由于幾何位置的不同必然會造成受熱溫度的差異，導致熱變形不同。但由于它們之間相互制約，在內部產生應力，也導致了熱彈性體發生變形。內部結構隨著溫度的升高發生膨脹，根據熱傳導理論作用在彈性體上的溫度場分布，研究溫度場的分布情況，獲取彈性體的應力。

假設理想熱變形溫度場為均勻的，且彈性體材料各向同性，彈性體上的溫度受熱均勻，從應用廣義Hooke定律公式可以表示彈性體內溫度變化和應力共同作用引起的應變［9］。根據廣義Hooke定律、幾何方程、平衡方程，可以消去應變和應力量，獲得位移量和溫度表示的熱變形方程［10-11］。如果要求出熱變形位移關系，必須獲取溫度分布數據后求解微分方程。但該微分方程在力學求解過程中，除去一些特殊情況外，一般很難求出其解［12］。

2 應變-溫度模型的建立

2.1 熱應變方程的建立

本文研究的熱變形介質擬采用厚度為1mm、直徑為50mm的圓盤且徑向固定，均勻溫度場對金屬薄板單面加熱。熱變形介質受熱示意圖如圖1所示。

圖1 熱變形介質受熱示意圖Fig.1 Schematic diagram of thermal deformation material heating

根據實際介質參數，研究對象可以看作為圓柱體，具有軸對稱的特性。因此，可以對上述一般狀態平衡方程、幾何方程、物理方程按照軸對稱原則簡化。

首先軸對稱平衡方程，運用圓柱坐標表示

由于薄板不受外力作用，故有R＝Z＝0，空間軸對稱物體的平衡方程簡化。

由于軸對稱關系不存在切向位移，物體內一點的應變分量與位移關系為

式（2）中，u、ω分別為質點沿r（徑）方向和z軸方向的位移。

為了獲得軸對稱熱彈性體的應變與應力關系，按照線性熱應力理論，應變是溫度變化T和應力共同引起的。因此，獲得圓柱坐標下軸對稱對象的廣義Hooke定律，關系為應力和溫差表示的應變關系。

2.2 熱應變方程的求解

計算軸向和徑向應力表達式，將公式轉換為溫差和應變表示應力的函數將式（2）代入式（4），就得到了位移和溫差表示應力的關系式

其中，徑向位移、軸向位移和溫度均為r和z的函數， 可以表示為u（r，z）、ω（r，z）和T（r，z）。

由于圓盤厚徑比非常小，在彈性力學中可以近似為平面問題。因此，徑向位移和軸向位移函數可以近似為

根據設計的初始溫度場條件，溫度場對圓盤為單面均勻加熱。因此，在薄板的兩面形成兩個不同的溫度場。定義未加熱面初始溫度為T0，溫度函數關系可以表示為

式（8）中，k為薄板的熱傳導系數。

將式（5）的應力表達式代入式（1）得到兩個方程， 并將式（6）、 式（7）、 式（8）代入求解位移函數u（r，z）和ω（r，z）中， 得

式（9）中，C1、C2、C3、C4為受邊界條件約束的待定系數，按照r的邊界條件求取待定系數。當r＝0時， 有

3 金屬薄板的熱變形仿真分析

基于上述熱變形彈性理論分析和數學模型的建立，應用ANSYS分析圓形金屬薄板受熱狀態下各點的熱變形和熱應力分布。

設置單元的材料屬性，材料選為結構鋼，如表1所示。

表1 結構鋼熱物理參數Table 1 Thermophysical parameters of structural steel

3.1 仿真環境設置

在ANSYS中建立分析模型，建立xyz坐標系。本次仿真模型圓盤為普通鋼板，圓盤的半徑為50mm、厚度為1mm，熱源的半徑設計為50mm；溫度加載，環境溫度設置為23℃，表面上施加生熱載荷，根據發熱器的功率和圓盤的體積計算得到熱生成為0.25×1010W／m3，空氣的對流換熱系數取15W／（m2·℃）。熱源選恒溫源，持續對鋼板單面加熱。

3.2 溫度場軸向位移變化

圖2為中心點軸向位移隨時間變化的曲線圖。其中，徑向位移由于初始條件要求徑向約束，因此在變形過程中，徑向位移始終圍繞著位移零點振動，隨著溫度的上升，振動加劇。軸向位移隨著金屬薄板升溫，近似線性增加，位移量與時間在熱平衡到來之前成正比。其中，縱坐標軸的負號僅代表方向熱變形位移方向。由于軸向位移向負方向延伸，因此表明金屬表面在單面受到溫度場作用的情況下，產生的位移與溫度場方向相反。因此，可以得出以下結論：金屬薄板在受單面溫度場加熱過程中，中心點軸向位移隨時間變化基本上是線性的，變化曲線近似為一條直線，位移隨著時間的增加而增加，位移的大小與溫度的增加成正比。

如圖3（a）所示，同心圓帶的大小代表節點的范圍，同心的顏色代表節點的位移大小和方向，與下面給出的數據中各顏色所代表的位移范圍和方向相對應。 從圖3（b）～圖3（d）可以明顯看出， 金屬薄板軸向位移變化后呈中心位移大、邊緣位移小的漏斗狀。圓盤上各節點以中心點為圓心，不同顏色圓環區域對應各自的位移范圍和方向。從圓心沿徑向圓環上各節點的位移逐漸減小，最后一個條紋位移量為0m。

圖3 溫度與軸向位移關系Fig.3 Relationship between temperature and axial displacement

溫度場作用下最終的節點沿軸向截面位移變化曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，圓盤中心點軸向位移最大，最大直徑處位移為0m，圓盤中間節點位移量的變化呈現拋物線狀。該變化曲線滿足應變-溫度模型公式所示的二次方程，將該仿真結果代入公式可求得與仿真結果一致的二次方程關系式。計算該仿真模型溫度應變關系式得

圖4 最終溫度場下軸向位移變化曲線Fig.4 Change curve of axial displacement in the final temperature field

比較50℃、75℃、100℃時中心點軸向位移理論模型計算數據與ANSYS仿真結果，如表2所示。

表2 軸向位移模型計算數據與仿真結果比較Table 2 Comparison between calculated data of axial displacement model and simulation results

由表2可知，應變溫度關系模型得到的結果與仿真結果基本一致，為下一步采用散斑干涉或其它微位移測量方法進一步驗證提供了理論依據。

4 結論

在深入研究溫度場、熱傳導、熱變形彈性和熱彈性熱變形理論的基礎上，本文提出了求解單軸面溫度場對金屬圓盤加熱變形分析。利用熱彈性力學平衡方程、幾何方程、物理方程，按照軸對稱原則建立了金屬圓盤熱變形與溫度場的數學模型，得到薄板軸向位移與溫度的函數關系。為驗證數學模型的有效性，利用ANSYS軟件對結構鋼材料（厚度為1mm，直徑為50mm）圓盤進行了有限元計算仿真。根據仿真結果與數學模型計算數據的比較，數學模型建立的溫度為自變量的位移函數符合仿真結果，上述理論為實際激光散斑干涉測溫、紅外表面測量等非破壞性內推溫度計算提供了可行性依據。