單調性與導數

蘇州市吳江盛澤中學 吳敏強

我們在學習導數的時候，老師一定告訴過你：

對于函數y=f（x），如果在某區間上f′（x）＞0，那么f（x）在該區間上單調遞增；如果在某區間上f′（x）＜0，那么f（x）在該區間上單調遞減.

對于這個結論，你也一定背得滾瓜爛熟了，那么我想問一句，這是為什么呢？

在學習導數之前，對于函數單調性的判斷我們手邊的方法有：

1.畫出函數圖象，直觀判斷；

2.利用函數單調性的定義.

我們先來回顧一下函數單調性的定義：

設函數y=f（x）的定義域為A，區間I?A.如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說y=f（x）在區間I上是單調增函數.如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么就說y=f（x）在區間I上是單調減函數.

在之前的文章中我們提到過，這個定義是可以修正改進的，如下：

然后，我們再來看看導數是怎么回事？導數的定義如下：

設函數y=f（x）在區間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），當Δx→0時，比值則稱f（x）在x=x0處可導，并稱A為f（x）在x=x0處的導數.

對于一個結論，想要認識清楚，原命題研究完后，研究其逆命題、否命題，對辨析概念效果甚佳.

原命題：對于函數y=f（x），如果在某區間上f′（x）＞0，那么f（x）在該區間上單調遞增；

逆命題：對于函數y=f（x），如果在某區間上單調遞增，那么f（x）在該區間上f′（x）＞0.

逆命題是真命題還是假命題呢？答案：假命題.

反例：f（x）=x3，在定義域R上單調遞增，其導函數f′（x）=3x2，很顯然當x∈R，f′（x）≥0恒成立，可見上述逆命題是不正確的.那教科書的描述錯了嗎？沒有，教科書沒錯，只是f′（x）＞0并不是y=f（x）單調遞增的充要條件，而僅僅是充分條件而已.

那好，現在我們對它進行修正，我想你一定會這樣做，把等號加上去.

命題1：對于函數y=f（x），如果在某區間上f′（x）≥0，那么f（x）在該區間上單調遞增.

上述命題比之前的原命題更加完備，但還是存在缺陷，下面我用具體函數來說明，如圖1：

圖1

大家可以很容易通過計算得到上述分段函數分別在區間[0，2），（2，4）和（4，+∞）上是可導的，且在各區間上導函數f′（x）≥0恒成立，而圖象中間一段是水平線，所以整個圖象并不是單調遞增的.這說明什么？

問題還是出在f′（x）=0的那些點上，上述函數f′（x）=0的點是連續的，形成了區間，于是就有了一段不增的函數段，換言之，f′（x）=0不能形成區間！

命題2：對于函數y=f（x），如果在某區間上f′（x）≥0，且f′（x）=0的點不能形成區間，那么f（x）在該區間上單調遞增.這個命題是充要的！

這個等號是很重要的.

最后看一個習題，來體會下等號的重要性.

解答：因為函數在R上單調遞增，所以f′（x）=x2+2bx+（b+2）≥0在R上恒成立，且f′（x）=0的點不能形成區間，故4b2-4（b+2）≤0，解得-1≤b≤2.

可見這個等號是需要的.

對于概念的理解我們不能知其然不知其所以然，更不能局限于死記硬背，我們要有打破砂鍋問到底的精神！數學，讓我們無所畏懼！