江蘇省常州市第一中學 何 華
教材上直接給出定義:
這樣簡單的一個不等式,我們應該如何提煉出其中的奧妙呢?應用基本不等式可以來求某些函數的最值,那么在什么情況下會讓你想起用,并能正確使用呢?下面結合具體的題目來聊聊咱們如何輕松搞定.
題13)的最大值為____.
題2若則a+b的最小值是_______.
題3在如圖1所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為__________m.
圖1
題4若△ABC的內角滿足sinA+則cosC的最小值是_____.
莞然一笑見“正數”
應用基本不等式求最值,要注意滿足條件(1):“一正數”,即在使用基本不等式時,各項必須為正數或0.
題1中因為-6≤a≤3,故有3-a≥0,a+6≥0;題2中由于真數大于0有從而得到a>0,b>0;題3中正數條件是顯然的;題4需要用正弦定理與余弦定理化角為邊,正數條件也就顯然了(此時的心態是:我一見你就笑,你那正數條件太美妙,有你的出現,咱就聯想基本不等式).沒有正數條件的,簡單,咱就轉化呀,化負為正唄!當然,咱也要防止如下“腹黑”題的出現.
“腹黑”題1求函數的值域.
●解當x>0時2,當且僅當即x=1時等號成立.當x<0時,化負為正,-2,當且僅當,即x=-1時等號成立.所以函數的值域為(-∞,-2]∪[2,+∞).此題“黑”在x正負未定.
會心一笑尋“定值”
應用基本不等式求最值,要注意滿足條件(2):“二定值”,即使用基本不等式進行放縮,最后所得到的值必須是一個定值.
題1中(3-a)+(a+6)=9,和為定值;題2中可變形得3a+4b=ab,則所以積為定值;題3中設矩形的另一邊長為y,則,所以x+y=40,和為定值;題4要進行轉化得,有積為定值.看到有定值條件的,咱就要會心一笑了,這定值條件太美妙,有你的出現,基本不等式.應用基本不等式解題方法多樣,技巧強.有些還需要將所給表達式進行恰當的變形與轉化,然后才能使用基本不等式來求最值.
“腹黑”題2已知x<2,求f(x)=的最值.
分析由x<2,可得分母2x-4=2(x-2)<0(一笑),分子上也可以配方得到(x-2)2+1,再對函數式進行分離可得,出現積為定值(二笑).
●解當且僅當即x=1時等號成立,故有最大值-1,沒有最小值.
回眸一笑驗“相等”
應用基本不等式求最值,要注意條件(3):“三相等”,即使用基本不等式時,等號必須能夠取到.如果a,b是正數,那么(當且僅當a=b時取“=”).
“腹黑”題3求函數的最小值.
分析直接用基本不等式時,等號成立的條件為,即x2=-3,無解,所以等號不可能成立(此時的心態是:我回眸一笑,哼,想“黑”我,沒門?。?,故不能直接用基本不等式求最小值,需另辟蹊徑.當運用基本不等式求最值時,若等號成立的自變量不在定義域內或不存在時,就不能使用基本不等式求出最值,而是根據變量的范圍用函數的單調性或用導數法求解.
●解令則2),易證函數在t∈[2,+∞)上是增函數,所以t=2時,即x=0時
“腹黑”題4若正數x,y滿足2x+y=1,求的最小值.
錯解因為1所以故的最小值
●分
●析這里,當且僅當2x=y時等號成立,而,當且僅當x=y時等號成立,這兩個式子不可能同時成立,因此不是最小值(此時的心態是:我回眸一笑,想“黑”我,還是沒門?。?一道題,多次利用基本不等式,要檢驗等號成立的條件是否相同,否則等號不成立.
正解,當且僅等號成立.又2x+y=1,聯立可解得故的最小值為
好了,前面的三個條件可以簡稱為:一正二定三相等.上面的三笑,你了解了嗎?咱們再來完整回顧一下解答過程.
題1:因為-6≤a≤3,所以y=,當且僅當3-a=a+6,即時等號成立,故答案為.
題2:由,得3a+4b=ab,則所以(a+b)·當且僅當,即時等號成立,故其最小值是
題3:由圖形關系可知三角形相似,設矩形的另一邊長為y,則所以x+y=40,又有當且僅當x故=矩y形時面等積號最成大立時,x則x的+值x為=2400.,即x=20,
題4:設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則由正弦定理得故當且僅當即時等號成立.