基于恒定Hessian矩陣的三相最優潮流綜合調壓策略研究

汝石

摘? ?要：針對分布式發電（DG）接入配電網易引起綜合電網潮流不穩定性問題，以支路電流作為未知變量建立了配電網三相有載分接開關（OLTC）的二次模型，旨在解決三相最優潮流（OPF）綜合調壓。以支路電流作為狀態變量，OPF迭代的Hessian矩陣作為常量，利用高斯懲罰函數約束OPF問題中連續離散控制變量，結合二次懲罰函數約束Hessian矩陣的恒定性，構造了預測校正雙內點法（PCPDIPM）求解配電網三相OPF。此外，將調壓器整合到OPF模型中以形成綜合調壓策略。在改進的IEEE-13配電網三相不平衡測試系統上對該方法進行了測試和驗證。

關鍵詞：配電網;Hessian矩陣;最優潮流;綜合調壓

中圖分類號：TM744? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

Study on Three-phase Optimal Power Flow of Distribution

Network Based on Constant Hessian Matrix

（State Grid Heilongjiang Electric Power Co.，Ltd.，Harbin，Heilongjiang 150090，China）

Abstract：Aiming at the problem of power flow instability in integrated power system caused by DG access to distribution network，a quadratic model of three-phase on-load tap changer（OLTC） in distribution network is established with branch current as an unknown variable，aiming at solving the integrated voltage regulation of three-phase optimal power flow（OPF）. Taking branch current as state variable and Hessian matrix of OPF iteration as constant，continuous discrete control variables in OPF problem are constrained by Gauss penalty function，and the invariance of Hessian matrix is constrained by quadratic penalty function. A predictive correction double interior point method（PCPDIPM） is constructed to solve three-phase OPF in distribution network. In addition，the voltage regulator is integrated into the OPF model to form a comprehensive voltage regulation strategy. The method is tested and validated in the improved three-phase unbalance test system of the IEEE-13 distribution network.

Key words：distribution network;Hessian matrix;optimal power flow;integrated voltage regulation

分布式發電DG（Distributed Generation）和各種離散可調裝置的有源配電網的最優潮流OPF（Optimal Power Flow）問題是非凸且非線性的混合整數優化問題[1]。通過優化可調并聯電容器[2]、可調分布式能源[3]、有載分接開關（OLTC）[4]的運行策略，OPF可將配電網損耗的運行成本降至最低。DG和儲能裝置給傳統的OPF問題帶來了新的挑戰[5]。文獻[6]利用割平面一致性算法（CPCA）研究了光伏發電對配電網OPF的分散式求解。文獻[7]提出了基于OLTC的交直流混合配電網的分層控制策略，并結合二階錐松弛法求解OPF。文獻[8]優化主動配電網的運行，其中DG采用非耦合模型，得出近似結果。文獻[9]提出了一種適用于DG的三相穩態布谷鳥算法。

旨在解決三相最優潮流（OPF）綜合調壓問題，以支路電流作為狀態變量，OPF迭代的Hessian矩陣作為常量，利用高斯懲罰函數和二次懲罰函數分別約束OPF問題中連續離散控制變量和Hessian矩陣不變性，構造了預測校正雙內點法（PCPDIPM）求解配電網三相OPF。通過電壓調節器對配電網各相電壓進行微調，并將其整合到OPF問題中，從而使各相電壓進行微調，進一步優化配電網損耗。

1? ?三相配電網

1.1? ?三相OLTC的二次模型

在笛卡兒坐標系中，如果將OLTC的匝數比作為控制變量，則OPF模型是階數大于二次的非線性優化問題。當采用內點法求解OPF問題時，每次迭代都會更新Hessian矩陣，從而導致較大的計算負擔[10]。為了解決該問題，提出了一種新的三相OLTC模型，在OPF的迭代過程中，通過將支路電流作為狀態變量，Hessian矩陣作為常量。

圖1給出了Y型三角形（Yd）變壓器配置中的OLTC，在分支 中添加了一個虛擬節點 。這將OLTC轉換為理想變壓器 （具有可調的匝數比 ），并與等效阻抗 （具有阻抗 ）串聯。節點電壓和支路電流也如圖1所示。

對于理想的變壓器，有

■ai = k（■am - ■bm）■bi = k（■bm - ■cm）■ci = k（■cm - ■am）? ? ? ?（1）

根據能量守恒，有

■ ai（■ ai）* + （■am - ■bm）（■ abm）* = 0■ bi（■ bi）* + （■bm - ■cm）（■ bcm）* = 0■ ci（■ ci）* + （■cm - ■am）（■ cam）* = 0? ? ? ?（2）

將公式（1）代入公式（2），可得：

k■ ai = - ■ abm*k■ bi = - ■ bcm*k■ ci = - ■ cam*? ? ? ?（3）

在三相系統中，以線路電壓為基準電壓。因此，對于Yd型變壓器，每單位系統下的標準變換比為1 ： 3?？紤]到等效阻抗分支mj，有

■ am - ■ aj = ■ a? mj（Ra + JXa）■ bm - ■ bj = ■ b? mj（Rb + JXb）■ cm - ■ cj = ■ c? mj（Rc + JXc）? ? ? ?（4）

1.2? ?三相DG的二次模型

包含DG的廣義序列分量模型，如圖2所示。

（a）正序? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （b）負序

（c）零序

在圖2中，上標“+”、“-”和“0”分別代表正序、負序和零序。Id + jIq表示從DG到配電網的電流，Ud + jUq表示耦合點的電壓，R + jX表示阻抗，Urd + jUrq表示勵磁電壓。

DG控制系統由三部分組成：有功功率控制、無功功率控制和不平衡分量控制。其中，有功功率控制使得正序有功功率保持不變;無功控制使得注入電網的無功功率保持不變。不平衡分量控制使得DG勵磁電壓的正序分量，負序分量和零序分量均為零。從而建立等式約束，如下式所示：

Im[（U+d + jU+q）（I+d - jI +q）]=U+qI+d-U+dI+q=Qsp? ?（5）

Re[（U+d + jU+q）（I+d - jI +q）]=U+qI+d+U+dI+q=Psp? ?（6）

U 0rd=Re[（I 0d+ jI 0q）（I 0+ jX0）+U 0d+ jU 0q]=0U 0rq=Im[（I 0d+ jI 0q）（I 0+ jX0）+U 0d+ jU 0q]=0U-rd=Re[（I -d+ jI -q）（I -+ jX-）+U -d+ jU -q]=0U-rq=Im[（I -d+ jI -q）（I -+ jX-）+U -d+ jU -q]=0 （7）

其中，Re[]和Im[]分別對應于表達式的虛部和實部。Psp和Qsp分別對應于目標有功功率和無功功率的正序值。

將三相耦合DG的配電網接口建模為電壓控制電壓源和電流控制電流源的相位序列耦合接口，如圖3所示。

在DG二次模型中，注入電流和終端電壓的序列值是未知變量。這些變量包括■ 0、■ +，■ -，■ 0，■ +和■ -。從相位值到序列值的轉換為：

[■ 0? ?■ +? ?■ -]T = Tabc→0+- [■a? ? ■b? ?■c ]T? ? ? （8）

[■ 0? ?■ +? ?■ -]T = Tabc→0+- [■a? ? ■b? ?■c ]T? ? ? （9）

其中，Tabc→0+-為相序變換矩陣?！閷獜蛿?。

約束條件（5）-（9）考慮了三相電源的耦合特性。與文獻[11]中不考慮不平衡條件下的順序控制的穩態模型不同。涉及DG的方程要么是線性的，要么是二次的，這保證了OPF中恒定Hessian矩陣。

常用的DG模型是三相非耦合模型[12]，描述如下：

P P + jQ P = （UPre + jUPim）（IPre - jIPim）? ? （10）

其中，P P和Q P分別對應DG在相P上的有功功率輸出和無功功率輸出。UPre、UPim、IPre和IPim分別對應于DG在相P上的節點電壓和注入電流的實部和虛部。DG的三相耦合模型為精確模型，三相非耦合模型為近似模型。因此，三相耦合模型的OPF結果比近似三相非耦合模型的OPF結果更準確。

上述公式構建了三相OPF模型的DG約束條件。由于這些公式的最高階是二次的，因此，Hessian矩陣在整個迭代過程中是常數。

1.3? ?三相調壓器模型

電壓調壓器與配電網相連，并實現了對節點電壓的微調作用。三相Y型連接調壓器由三個單相調壓器組成，且每個單相調壓器都有一個分接開關來改變分接位置。三相調壓器的結構如圖4所示。

并適用下列限制：

■A = ka■a■B = kb■b■C = kc■c? ? ? ?（11）

ka ■ A = ■ akb ■ B = ■ bkc ■ C = ■ c? ? ? ?（12）

ka? = 1 ± 0.006 25 × Tapakb? = 1 ± 0.006 25 × Tapbkc? = 1 ± 0.006 25 × Tapc? ? ? ?（13）

其中，加號（“+”）對應于“升序”，減號（“？”）對應于“降序”?！癟ap”表示調壓器分接頭的位置（例如，在±5%范圍內的32級調節）。該接頭由線路電壓降補償裝置來控制負載中心的電壓。線路電壓降補償器通過電壓互感器（匝數比NPT ：1）和電流互感器（匝數比CTP ：CTS）與配電線路耦合，如圖5所示。

補償器的阻抗表示從調節器到負載中心的等效阻抗：

R′ + jX′ = （R + jX）■? ? ? （14）

負載中心的電壓為：

■ x? ? ?load = ■ - ■? ? ?（15）

如果負載中心的電壓水平為240 V，帶寬為4 V，則每當調壓器的分接頭移動到下一個位置時，電壓將變化1.5 V。升壓和降壓接頭的變化分別為：

Tapx = ■? ? ?（16）

Tapx = ■? ? ?（17）

2? ?OPF模型和算法

2.1? ?OPF模型

以節點電壓和支路電流為狀態變量，建立了配電網三相OPF模型。OPF模型的目標函數是配電網的最小損耗，如下方程所示：

min f（x）=Ploss=■■■br，P ■br，P Δt? ? （18）

其中，為配電網中支路的數量。 、 分別對應于第 個支路相P上的支路電壓和支路電流。其中，支路電壓是支路兩端的節點電壓之差。

這些方程包括KCL和KVL約束，如公式（19）所示，變壓器支路約束，如公式（1）、（3）和（4））所示，DG支路約束，如公式（5）-（9）所示、調壓器支路約束，如公式（11）和（12）所示。

Ubr，P，re = AUn，P，reUbr，P，im = AUn，P，im0 = AT Ibr，P，re0 = AT Ibr，P，im? ? ? （19）

其中，Ubr，P，re、Ubr，P，im、Ibr，P，re和Ibr，P，im分別對應于第br個支路相P上支路電壓和支路電流的實部和虛部。Un，P，re和Un，P，im分別對應第n個節點相P上節點電壓的實部和虛部。A是節點支路關聯矩陣。

狀態變量約束包括發電機有功功率和無功功率Pij約束、節點電壓幅值約束和線路傳輸功率 約束，如公式（20）所示?？刂谱兞考s束包括OLTC匝數比KT、調壓器分接頭位置KV、無功電容補償容量 QC約束，如公式（21）所示。

P -? ? ? Gi，P ≤ PGi，P ≤ P +? ? ? Gi，PQ -? ? ? Gi，P ≤ PGi，P ≤ Q +? ? ? Gi，PU -? ?i，P ≤ U 2? ? ? ? ?i，P，re + U 2? ? ? ? ?i，P，im≤ （U +? ?i，P）2? ? ? ?（20）

K -? ? T，i ≤ KT，i ≤ K +? ? ?T，iK -? ? V，i ≤ KV，i ≤ K +? ? ?V，iQ -? ? C，i ≤ QC，i ≤ Q +? ? ?C，i? ? ? ?（21）

因此，OPF模型中的方程可以是線性的，也可以是二次的，當采用內點法求解時，保證了一個恒定的Hessian矩陣。本文利用PCPDIPM[13]求解優化模型，可實現具有收斂速度快、效率高等優點。

2.2? ?連續變量離散化過程

有源配電網的OPF問題涉及離散控制變量（如OLTC匝數比、電容補償容量等）。目標函數包含一個懲罰函數來處理離散變量。這給目標函數引入了虛擬損失，從而減少了四舍五入帶來的誤差。目前，二次懲罰函數[14]和高斯懲罰函數[15]是兩種常用的懲罰函數，其公式分別為：

準（x） = ■■v（xi - bi）2? ? （22）

準（x） = vG（x） = vexp-■■? ? （23）

其中，v為懲罰因子。當從向量x=（x1，x2，…，xn）T到中心b = （b1，b2，…，bn）T的距離降至0時，函數值將為零。懲罰函數代入公式（18）可得：

min Ploss = ■■■br，P ■br，P Δt + ？準? ? （24）

當懲罰因子足夠大時，將離散控制變量優化為對應的離散值，使懲罰函數值變為零且目標函數達到最小值。與二次懲罰函數相比，隨著向量 與 之間距離的減小，高斯懲罰函數比二次懲罰函數下降得更快，并且高斯懲罰函數對離散變量的變化更為敏感。然而，高斯懲罰函數是一個非二次函數，這使得Hessian矩陣在迭代過程中不斷發生變化，進而降低計算效率。

3? ?實驗分析

設計了配電網三相最優潮流綜合調壓策略的OPF模型，利用MATLAB上對模型進行了實驗分析。對改進后的IEEE-13測試系統進行OPF分析，如圖6所示。

圖6中省略了互阻抗和互導納?？刂谱兞繛榘l電機無功功率、DG輸出、OLTC匝數比、調壓器分接頭位置、電容器匝數比，其中OLTC匝數比與電容器匝數比為離散控制變量。匝數比范圍設定為1.8-2.2且分為8個接頭，其步長為0.025。電容器的最大無功功率為0.04 pu。步長為0.02。所有節點電壓的范圍為1.8 - 2.2 p.u。調壓器分接頭為32級可調節接頭，調節范圍±5%，負荷中心電壓電平為240 v，帶寬為4 v。

3.1? ?三相OLTC二次模型分析

為了驗證提出的三相OLTC在有源配電網OPF問題中的合理性，本文采用基于PCPDIPM嵌入二次懲罰函數（PCPDIPM-QPF）的優化潮流計算方法，將所提出的三相OLTC二次模型與文獻[16]中的三相OLTC非二次模型進行了比較，結果如表1所示。

由表1可見，兩種方法使用不同模型的結果（配電網損耗）相同，但是二次模型計算速度更快。這是由于OLTC非二次模型的Hessian矩陣在OPF計算過程中不是常數，每次迭代都會更新，使得計算速度非常慢。而OLTC二次模型在整個迭代過程中確保了Hessian矩陣為常量，抑制了迭代過程中Hessian矩陣的計算量，從而大大減少了計算時間。此外，兩種模型的計算時間相對都較長。這是由于Hessian矩陣是用Matlab的自動微分函數生成，雖然方便但效率不高。然而，這并不影響本文的結論。

實驗總共進行了34次迭代。Hessian矩陣在Intel core i3-3240M CPU 3.40 GHz、4GB內存的計算機上計算一次需要5.56s。因此，對非二次模型計算時間的保守估計為計算Hessian矩陣時間的34倍，即189.04s。這也驗證了表1計算時間的合理性。

3.2? ?連續變量離散化過程分析

為了驗證OPF計算中二次懲罰函數和高斯懲罰函數的收斂性，設計了PCPDIPM-QPF和PCPDIPM嵌入高斯懲罰函數（PCPDIPM-GPF）。用這兩種算法計算了改進后的IEEE-13三相系統的OPF。通過對優化結果（網絡損耗）、迭代次數和計算時間（精度為e-10）的比較，證明了每種方法的優缺點。OPF計算結果，如表2所示。

由表2可見，PCPDIPM-GPF的優化效果優于PCPDIPM-QPF（配電網損耗降低2.4%）。然而，PCPDIPM-GPF的迭代次數略高于PCPDIPM-QPF，且PCPDIPM-GPF耗時較長。這是由于高斯懲罰函數是高階函數，而Hessian矩陣在整個迭代過程中是非常量矩陣。因此，Hessian矩陣隨著迭代次數的增加也隨之更新，從而增加了計算時間。PCPDIPM-QPF與PCPDIPM-GPF的比較結果，如圖7所示。

可以看出，隨著迭代次數的增加，對偶間隙減小，當兩個罰函數收斂效果達到期望值時，PCPDIPM-QPF的速度比PCPDIPM-GPF快4倍。

3.3? ?綜合調壓策略分析

采用改進的IEEE-13三相調壓系統實現了OPF的綜合調壓策略。綜合調壓的最優潮流結果如表3所示。

由表3可知，電壓調節器對有源配電網各相電壓微調的作用，并在OPF計算中可以進一步降低配電網損耗。與不含調壓器的配電網相比，有調壓器的配電網損耗降低了0.22%。綜合調壓前后各節點三相電壓分布分別如圖8至圖10所示。

由此可見，在OPF計算中，電壓調節器可以調節各相節點電壓，進一步降低配電網損耗。

4? ?結? ?論

針對配電網三相最優潮流控制問題，提出了三相OLTC的二次模型并整合到OPF模型中，使得Hessian矩陣在整個迭代過程中變為常量，采用二次懲罰函數與高斯懲罰函數相結合的內點法求解有源配電網三相OPF問題，進而提高了計算效率。結合調壓器構建了綜合調壓策略，利用改進的IEEE-13配電網驗證了所提模型的有效性。

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