創設真實情境 有效測評素養

【摘 要】 呈現一道PISA試題的命制過程：抽象簡化，創設問題情境——觀察調整，修正問題情境——追根溯源，還原真實情境.提出應還原現實問題的真實結構，才能命制出有效的PISA試題.

【關鍵字】 PISA試題;問題情境;命題

PISA2021數學測評框架將數學素養定義為：個體在真實世界的不同情境下進行數學推理，并表達、應用和闡釋數學以解決問題的能力，它包括使用數學概念、過程、事實和工具來描述、解釋和預測現象的能力，它有助于個體作為一個關心社會、善于思考的21世紀建設性公民，了解數學在世界中所起的作用以及做出有根據的數學判斷和決定[1].數學素養的定義要求PISA試題是真實的，盡可能地呈現給學生應用數學時遇到的挑戰，就像在現實世界中遇到的一樣.本文通過呈現一道PISA試題的命制過程，與同行們分享如何從現實世界情境出發，研制一道真實有效的PISA試題.

1 抽象簡化，創設問題情境

命制PISA試題，首先要找到與真實情境相關的數學內容，讓參加測試的學生都容易理解和參與.重要的是簡化現實世界背景，相關的情境和其內在的數學信息，使其容易接近，同時也保持它真實的一面[2].

手機三腳架是現實生活中的常見物品，將它作為素材編制PISA試題，能讓學生產生熟悉感，有利于數學測評的公平性.首先觀察手機三腳架的結構如圖1，它主要通過改變中間鎖扣在主軸上的位置來調節三腳架的高度.再慢慢滑動鎖扣的位置，主軸和支架的長度都無變化，因不考慮支架的立體結構，可將其簡化抽象成數學線段如圖2，即線段AB，CD，CE，ED和BE的長度都不變.收攏三腳架后，主軸AB與支架CD重合，支架BE與支架DE重合，得出AB=CD，BE=DE.用米尺測得AB=50cm，DE=20cm，CE=30cm，可得點E是CD上的固定點且CE=1.5DE.將點C的位置從A點出發往B點滑動，變化的量有：①線段AC的長度增大，BC的長度減小;②∠BCE和∠CEB的角度逐漸減小，∠CBE的角度逐漸增大;③△BCE的形狀發生改變.充分挖掘素材中的變量和不變量后，選定△BCE作為研究對象，因其形狀變成特殊圖形時，便可編制出幾何問題.滑動點C的位置尋找支架的特殊結構，首先考慮當點B跟點D都觸及地面的狀態如圖3，畫出圖形后發現產生了科學性錯誤：已知△CBD是直角三角形，DE=BE，則∠D=∠DBE，推理可得∠BCE=∠CBE，所以CE=BE，因此點E是CD的中點，這與條件CE=1.5DE矛盾.CE=1.5DE是由測量得出，應該無誤，所以問題肯定出在點B處：①重新測量BE和DE發現，BE的長比DE多1cm;②仔細觀察三腳架結構，發現支架BE并不是直接連在主軸上，而是有個底座連結著.根據BE和DE收攏時能重合，判斷問題不在條件BE=DE，而是底座的原因，因此進行了第二次修正.

2 觀察調整，修正問題情境

將底座抽象成線段BF，中空部分由原來的三角形變成了四邊形，四邊形仍可轉化成三角形解決.滑動點C的位置，畫出三腳架的特殊狀態：①當點B觸及地面時，即點D，F，B在同一直線上，如圖4，此時△DEF是等腰三角形;②當EF⊥CD時，如圖5，根據∠CEF=90°可構造K型全等圖形;③當點B，F，E在同一直線上時，如圖6，可構造A型相似圖形;④可設置特殊角如∠BCE=45°，如圖7，構造出特殊直角三角形.試卷細目表對這道題的定位是考查三角函數和勾股定理，因此選用圖5和圖6作為兩個特殊狀態命制問題.圖4圖5圖6圖7

本題的命制思路是抓住情境中的不變量，即支架的長度不變，來考查學生變中尋找不變的思想方法.將圖5和圖6作為兩個變化的特殊狀態，讓不同支架的長度之間形成數量關系和等量關系.當EF⊥CD時，增設tan∠BCE=34的條件，讓各個線段都產生數量關系，將其中一條線段的長度用字母表示后，其它線段長度都可用這個字母表示出來.當點B，F，E在同一條直線上時，△BCE會變成直角三角形，根據勾股定理，將代數式建立等量關系可解出字母的值.為考查A型相似三角形，并考慮到改變點C位置的目的是調節三腳架的高度，因此最后設問點A離地面的高度.

問題呈現 圖1是一種手機三腳架，它通過改變點C在主軸AB上的位置調節三腳架的高度.已知支腳CD=AB，底座BF⊥BC且BF=3厘米，點E是CD上的固定點且拉桿EF=DE（DE>3）.當EF⊥CD時，如圖2，tan∠BCE=34;若將點C向下移14厘米，則點B，E，F三點在同一條直線上如圖3，此時點A離地面的高度是厘米.

命題反思 試題考查了相似三角形和勾股定理，且蘊含的基本圖形豐富，有K型相似圖形和A型相似圖形，考查了將四邊形轉化成三角形的化歸思想，方程思想和變中不變的思想.研究的問題指向現實用途，具有一定的研究價值.存在的問題有：一是表述不清，學生很難從題意中理解線段的關系;二是結果的方程數據較為復雜，勾股定理列出的方程是75a2-305a+126=0，雖然結果的數據不錯，但是很難用十字相乘法湊出來.

3 追根溯源，還原真實情境

為解決方程復雜的問題，首先是修改數據，但無論改變tan∠BCE的大小，還是BF的長度或是移動的距離，方程都很復雜不易計算.百般無奈下，重新觀察三腳架并測量數據，結果發現點C處其實也有一個跟BF一樣的底座，也就是原先假設的結構可能存在問題，于是第一次創設情境產生的矛盾也找到了原因.中空的部分既不是三角形，也不是四邊形，而是五邊形，但因為兩個底座平行且相等，還是可以將其轉化為三角形解決.重新畫出特殊狀態后，再次編制問題.如果選FG⊥DE的狀態，可以連線構造直角三角形，但解法與試卷中其它問題的考點重復.因此選用點B，G，E三點在同一直線上和點B，G，F三點在同一直線上兩個時刻，作為特殊狀態來編制問題.

試題呈現 如圖1是一種手機三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸AB上的位置調節三腳架的高度，其他支架長度固定不變.已知支腳DE=AB，底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD=BG，F是DE上的固定點，且EF∶DF=2∶3.當點B，G，E三點在同一直線上（如圖2）時，測得tan∠BED=2;若將點C向下移動24cm，則點B，G，F三點在同一直線上（如圖3），此時點A離地面的高度是cm.

命題反思 修改后算得AB的長度是15+153，跟實際數據50非常接近，計算過程也較為簡單.不僅還原了手機三腳架的真實結構，還讓試題更側重于考查學生的理解和分析問題的能力，考查學生的知識應用能力，而不是把時間消耗在計算上.有效地達到了測評的目的，體現了PISA試題的真正意圖.

4 小結

命制試題應盡最大可能體現真實情境中的問題結構，過度簡化或不留心觀察都會造成數學推理上的矛盾，產生科學性錯誤.試題的數據應盡量貼近現實數據，學生計算時才會感覺自己在用數學知識解決一個現實問題.

真實的，才是有效的.創設真實的問題情境，方能有效地測評學生的數學素養，體現PISA試題的真正精神.

參考文獻

[1]曹一鳴，朱忠明.變與不變：PISA2000-2021數學測評框架的沿革[J].數學教育學報，2019（4）

[2]凱·斯泰西，羅斯·特納.數學素養的測評——走進PISA測試[M].北京：教育科學出版社，2017：155-156

作者簡介 戴婷婷，瑞安市教壇新秀，溫州市優質課大賽一等獎，溫州市單元試卷命題一等獎，多次參與瑞安市期末試卷命制和中考適應性試卷命題工作.