關于教材中三角形有關內容探索活動的設計研究（四）

劉憲升

[摘要]對教材中推導三角形面積公式時設計的轉化為已學過圖形的探究活動做了歸納與分析，指出了設計的優點與不足，實驗驗證了轉化方法的可行性，提出了該探究活動設計應注意引導啟發，注意前后知識間的聯系，以及將學生欠缺知識基礎或難度比較大的方法放在閱讀內容中或作為課后思考題的建議。

[關鍵詞]三角形的面積;轉化方法;探究活動

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0017-05

關于三角形的面積，各版本教材都安排在了五年級第一學期?？梢哉f，教材在推導面積公式時，都抓住便于轉化的關鍵點，打造“轉化為已知”的探究活動。這既滲透了化歸思想，也充分體現了讓學生自主探究、自我構建知識的新課改之教育理念。綜觀各教材設計的轉化方法，既有統一的方法，也有別具一格的方法。下面，本文就對三角形面積公式推導的探究活動做逐一分析。

一、關于轉化方法探究活動的分析

由于各版本教材都將三角形的面積安排在平行四邊形（包含長方形）的面積之后。因此，將三角形轉化為學生已經會求面積的圖形可分為兩個方向。

1.轉化為一般的平行四邊形的探究設計分析（這個轉化方向可細分為兩種方法）

（1）用兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形

各版本教材都有用兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形的設計，但也有細微差別。其中，北師大版（第56頁;圖1）、西師大版（第82頁;圖2）、滬教版（第82頁;圖3）教材都只對兩個一樣的銳角三角形進行了拼擺，且只拼成了一個平行四邊形，無論從三角形的種類，還是拼法角度來看，都屬于不完全歸納;人教版（第91頁;圖4）、冀教版（第58頁;圖5）、蘇教版（第9頁;圖6）、青島版（第69頁;圖7。第70頁;圖8）、浙教版（第66頁;圖9）教材都給出了三種不同類型的兩個一樣的三角形的拼法，對不同類型的三角形進行了完全歸納，但對同一類的兩個一樣的三角形也都只拼成了一個平行四邊形，沒有做到完全歸納。因為，一般地說，兩個一樣的三角形能以每對對應邊為對角線拼成三個不同的平行四邊形，所有教材均沒有體現這一點，這封堵了學生的思維，不利于學生發散性思維的培養。

再者，用兩個一樣的三角形拼擺出平行四邊形的方法是怎么來的？有的教材是直接讓學生用兩個一樣的三角形去進行拼擺;有的教材雖然有引導學生將三角形轉化為學過的圖形之引導語，但緊接著還是明確提出了用兩個一樣的三角形拼擺;北師大版教材是個例外，在展示拼擺結果中暗含這一點。試問：這樣的設計，學生進行探究活動還需要動腦嗎？更需要指出的是，青島版教材（圖7、圖8）把操作步驟都安排好了，不僅沒有給學生留下一點思維的空間，還束縛了學生的思維，因為不按此步驟也能拼成平行四邊形;而蘇教版教材（圖6）一開始就畫出了用兩個一樣的三角形拼成的平行四邊形，可能考慮到觀察的不確定性，又讓學生剪下附頁中的三角形去擺拼以進行驗證，這是可以的，但有必要測量出底和高并列表計算出面積再推導面積公式嗎？

由上可見，教材中的探究活動偏重于機械操作，偏離了探究活動促進學生動腦的主軌道。

（2）將一個三角形割補成一個平行四邊形

沿三角形的一條中位線剪下一個小三角形，讓其繞原三角形的一個中點轉180°拼成平行四邊形。這樣，若沿三角形的每一條中位線剪下一個小三角形，就可以分別拼成兩個不同邊長的平行四邊形，總共可以擺出六個不同邊長的平行四邊形。這些平行四邊形要么與三角形同底，高為三角形高的一半;要么與三角形同高，底為三角形底的一半。這種割補方法顯然需要用到三角形中位線的知識，而小學生不具備這樣的知識基礎，這恐怕是大多數教材不設計此方法的原因。教材中設計此方法的只有西師大版（圖2）和浙教版（圖9。第67頁截圖;圖10）教材，都給出了銳角三角形的割補法，且西師大版教材只給出了一種拼法，浙教版教材給出了兩種拼法。浙教版教材這樣設計的目的是為了體現與其他教材的差異，還是突出數學的“奇妙”與“巧合”？在學生根本不具備基礎時就是告訴學生沿中位線剪開后拼起來，恐怕也僅僅是操作而已。值得指出的是，浙教版教材在第63頁（圖11）的第4題中為這種割補法做了鋪墊，這還是有利于學生的學習和探討的。

2.轉化為特殊的平行四邊形——長方形

北師大版教材（圖1）從轉化成已學過的平行四邊形及其特殊情況——長方形的方向入手，有利于學生動腦和發散性思維的培養。從圖中可以看出，其方法是作一銳角三角形底上的高，垂足將底分成兩線段，在高的兩邊分別以高和一線段為鄰邊作兩個小長方形，繼而合成一個長與寬分別為三角形的底和高的較大的長方形?？墒沁@種作法僅適用于銳角三角形，而對于直角和鈍角三角形來說，除非以最長的邊為底，其他情況皆不適用。再者，這種方法學生恐怕很難探究出來，就是告訴學生怎么做，可能都有一定的難度。當然，這種轉化方法也可以看成是將兩個一樣的三角形中的一個沿高線剪開，然后拼在另一個三角形上，構成一個長方形?？山滩膱D上的虛線表明是作輔助線，顯然不是這個方法。

其實，將一個三角形轉化成長方形還有別的方法：先將三角形的一個角（直角或鈍角三角形就取最大角）沿它兩邊上三角形的中位線折疊到對邊上，再將其他兩個角折疊后拼成一個平角，便折疊出了兩個一樣的，長、寬分別為三角形底與高一半長度的長方形。（本文僅展示一種三角形的一種折疊方法;如圖12所示）。這樣，一個一般的銳角三角形紙片可以折疊出三個不同長和寬的長方形;一個一般的直角或鈍角三角形紙片，從最大角往對邊折疊可以折疊出一個長方形。四年級下冊的青島版、北師大版、蘇教版、西師大版教材，都是利用此方法驗證三角形內角和等于180。（可參考研究（二））。令人遺憾的是，這幾個版本的教材在三角形的面積部分的內容沒有與此方法聯系起來，前后知識出現割裂。

另外，浙教版教材第63頁（圖11）第3題給出了兩種出自《九章算術》的劉徽利用出入相補原理或以盈補虛方法（也可通俗地稱割補法）計算面積時提出的方法，看起來是為面積的學習做鋪墊，但面積部分卻沒有出現，這也是割裂了知識。當然，這兩種方法的難度較大，不出現是可以理解的。人教版、蘇教版、冀教版教材可能就是考慮到這點，把這兩種方法作為閱讀材料介紹給學生。

二、轉化方法的教學實驗分析

筆者在進行備課時，研讀了各版本教材，并做了相關分析，且有計劃地在所教兩個班（每班45人，共90人）中進行了教學實驗。由于學校在升入五年級前的暑假把原先的大班改成小班，按成績重新分班，故以此兩班為樣本可以代表本學校的整體情況。

1.轉化為一般的平行四邊形的實驗

在不提示用兩個一樣的三角形去拼，也不提示沿三角形兩邊中點的連線剪開再拼的情況下，給每個學生準備了一樣的三角形紙片5張（為了避免學生拿2張一樣的直接拼），提出可以通過剪拼將三角形轉化為平行四邊形，且方法越多越好。由于這兩種方法對不同種類的三角形都適用，故沒做區分（時間6分鐘）。

實驗結果：將兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形的學生中，兩個班共有19人，占總人數的21.11%，有8人表示早已拼過;而沿三角形兩邊中點的連線剪開再拼成平行四邊形的僅3人，占總人數的3.33%，且詢問得知3人都早已做過。由此可見，在不提示、不明確說明怎么做的情況下，就是給學生準備了材料，大多數學生還是不能轉化，因為他們想不到這樣去做。

然后，筆者利用“把一個平行四邊形分成兩個一樣的三角形”啟發引導，結果在3分鐘之內，能將兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形的學生就達到了82人，占總人數的91.11%。由此看來，在把一個平行四邊形分成兩個一樣三角形的啟發下，再將兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形就比較容易了。這說明大部分學生還是能夠進行逆向思維的。

另外，對于割補三角形轉化成平行四邊形，在明確提出可沿三角形兩邊中點的連線剪開后再拼，3分鐘后就有43人拼了出來，占總人數的47.78%，可見還是有一定難度。

2.轉化為長方形的實驗

給每個學生準備了一樣的銳角三角形（為了降低難度）紙片2張，提出可以通過折疊或剪拼，也可以畫線，將三角形轉化為長方形，且給出的方法越多越好（時間6分鐘）。

實驗結果：兩個班的學生，通過折疊3個角拼成平角，從而拼成兩個一樣的小長方形的有74人，占總人數的82.22%。這應該與學生在四年級下冊有過折疊的經歷有極大的關系，因青島版教材四年級下冊有此拼法。這說明已有知識和方法遷移的重要性。

令人遺憾的是，兩個班共90人中竟沒有一個學生能給出北師大版教材的方法。在展示教材中的結果圖（不說明怎么去做）后，再讓學生去操作，3分鐘后，也僅有11人（占總人數的12.22%）將兩個一樣的三角形中的一個沿高線剪開，然后拼在另一個三角形上，得到了教材中圖示的長方形，而沒有一個人通過做輔助線將三角形轉化成長方形。由此可見，這種方法的難度太大。

三、建議

1.探究活動設計應注意引導啟發

將兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法，直接告訴學生怎么操作，不僅不能促進學生思考，還使學生感到數學就是一種巧合現象，進而對數學產生恐懼感。如果從“把一個平行四邊形分成兩個一樣的三角形”出發，引導學生逆向思考，既能培養學生的逆向思維能力，還能使學生弄清楚方法的來源。因此，探究活動應以引導啟發為主，而不是讓學生機械操作。

2.探究活動設計應注意前后知識間的聯系

設計探究活動時，首先應該了解前面的知識內容與涉及的有關方法，使新知識和方法的學習建立在原有知識和方法的基礎之上。如，借助四年級下冊三角形內角和的驗證方法，把三角形的三個角折疊拼成平角，進而轉化成兩個一樣的長方形來推導三角形的面積公式，學生不僅好懂好理解，還能建立知識間的聯系，有利于知識與方法的融合。

另外，如果設計新的方法讓學生探究，最好在前面早做鋪墊，以利于學生的探究。這一點，浙教版教材就處理得比較好。

3.學生欠缺知識基礎或難度比較大的方法最好放在閱讀內容中

上面提到的劉徽給出的兩種割補法，及沿三角形的中位線剪開拼成平行四邊形的方法，由于學生欠缺三角形中位線的知識基礎，且難度比較大，將其放在閱讀內容中，或作為課后思考題，讓學有余力的學生自己去探究還是有意義的，人教版、蘇教版、冀教版教材的處理值得肯定。另外，北師大版教材中利用做輔助線的方法將三角形轉化成長方形的方法也應該放入閱讀內容中，或作為課后思考題讓學生探究。

綜上所述，關于三角形面積的推導中，將兩個一樣的三角形拼成一個平行四邊形的探究方法，如果引導到位還是非?？扇〉?四年級下冊教材設計有折疊三角形三個內角拼成平角的，再設計轉化成長方形來推導面積公式也是相當不錯的。因為這樣轉化的方向就不只是平行四邊形，這么一來就可培養學生的發散性思維，畢竟學生已學了平行四邊形極其特殊情況——長方形。另外，存在幾種不同情況時，探究設計最好能考察到所有情況，進行完全歸納得到科學的結論。

（責編 金鈴）