走進數學“精神實體”培養學生“學科素養”

周浩

【摘要】培養學生良好的數學學科素養，需引領學生進入數學的“精神實體”。引領學生進入數學知識、學習過程、學習方法、數學思維的“精神實體”是踐行這—理念的重要抓手。

【關鍵詞】數學;精神實體;學科;核心素養

荷蘭數學家、教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認為，數學教學的目標一個是“精神實體”，一個是“實體”?！熬駥嶓w”是數學的根本，是數學的靈魂。通過數學課程內容這些“實體”走進數學的“精神實體”，學生數學學科素養才能真正形成。

一、“結構-解構-建構”——引領學生進入數學知識的“精神實體”

學生在學習新知之前，總有一個屬于他自身的知識結構驗。教學中，我們一方面要幫助學生提高原有知識結構的穩定性與清晰度，另一方面，要讓兒童真正體驗數學知識的形成過程，擴充原有的知識結構，或將原有結構打破，實現知識結構的再建構，進入知識的“精神實體”，將培養學生數學素養落到實處。

【案例1】“平均數”

平均數既有它的算法意義，又有它的統計學意義，新課程特別強調數學教學要從統計學的角度引領學生理解平均數。在教學中如何落實這一理念呢？一位老師通過創設1分鐘投籃比賽的情境，從以下三個層次進行落實。

（1）創設特殊數據—一喚起生活經驗

師：小華投了3次：5、5、5。用哪個數表示小華1分鐘投中的個數比較合適？

（2）引發矛盾沖突——感悟移多補少

師：小軍出場了，他也投了3次：3、4、5。表示小軍投籃的水平用哪個數比較合適呢？

（3）精心設計懸念——理解概念特性

師：老師想考考小強投籃到底怎么樣，讓他投四次，小強前3次投籃的情況：4、6、50從目前看，他平均1分鐘投中幾個？小強一定贏嗎？小強第4次投籃的成績是——1。小強是贏了還是輸了？

生：輸了，最后一次投得太少了，把前面投得多的個數拉下來了！

師：估—估，小強現在的平均成績大約是幾個？

生：大約是4個。

師：為什么不估計平均成績是6個？

生：6個是最多的，它還要移一些補給少的，所以不可能是6個。

師：那為什么不估計平均成績是1個呢？最后一次只投1個呀！

生：其他幾次都比1多，移一些給它后，就比1多了。

師：平均成績比最好的成績一

生：小一些。

生：還要比最小的數大一些。

生：應該在最大數和最小數之間。

通過以上幾個層次的教學，平均數不同于原始數據中的每一個數據（雖然有時可能等于某個原始數據），但又與每一個原始數據相關，平均數能刻畫、代表一組數組的整體水平，深入學生心田;用移多補少和除法計算平均數的方法也是在學生感悟中所得。在這樣的過程中，學生進入了平均數的“精神實體”，統計觀念得以落實，數學素養自然得以提升。

二、“猜想-驗證-探究”——引領學生進入學習過程的“精神實體”

《數學課程標準》要求數學教學要關注兒童的數學學習過程，幫助學生逐步積累數學活動經驗。教學中，我們要讓學生體驗過程中的價值，感受過程中所蘊含的精神價值。

【案例2】“平行四邊形的面積”

在引導學生推導平行四邊形的面積公式時，多種版本的教材都有“你能把平行四邊形轉化為長方形嗎”這樣的提示語。而為什么要把平行四邊形轉化為長方形這一本質學生心中無數，—位老師從以下幾個環節進行引導。

（1）引導猜想，驗證聚焦

師：下面這個平行四邊形的面積是多少，你能猜一猜怎樣計算嗎？

生1：9×5=45（平方厘米）

生2：5×4=20（平方厘米）

生3：9×4=36（平方厘米）

師：怎樣證明大家的猜想是否正確呢？

生：可以用數方格有方法進行驗證。

師：我們先來驗證第—種。9×5——這是用“底×鄰邊”的，（驗證的過程中滲透轉化思想）你發現什么？

生：比平行四邊形的實際面積大！用“底×鄰邊”計算平行四邊形的面積是錯誤的。

師：猜想二中，5×4——這是用“鄰邊×高”的，是否正確呢？

生：也不正確，比平行四邊形的面積??！

師：我們來繼續驗證猜想三，9×4——這是用“底×高”的，是否正確呢？

生：用“9×4=36”個面積單位去鋪這個平行四邊形，正好鋪滿。因此用“底×高”計算平行四邊形的面積是正確的。

（2）引領方法，自主探索

師：這個平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算。這到底是巧合還是普遍適用的方法呢？我們還可以用什么方法去推導出平行四邊形的面積呢？

生：我們可以把平行四邊形剪拼成一個長方形，通過研究平行四邊形和長方形之間的關系，得出平行四邊形面積的計算方法。

在學生猜想的基礎上通過驗證聚焦到平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算。把平行四邊形轉化成長方形去探索，是學生的感悟所得，是學生的內心需求，學生進入轉化的“精神實體”，轉化思想進入學生心田，操作價值得以彰顯，素養得以提升。

三、“平衡-失衡-平衡”——引領學生進入數學方法的“精神實體”

圖式理論啟示我們，學生學習數學新知的過程是不斷調用頭腦中已有圖式、不斷豐富原有圖式、不斷構建新圖式的過程。對學生來講，數學知識的習得必須經歷“平衡-失衡-再平衡”的過程。教學中，讓學生進入知識背后所蘊含的數學思想、數學方法的“精神實體”，學生的數學素養才能自然萌生。

【案例3】“異分母分數加減法”

一位老師通過創設問題情境，讓學生列出算式：1/2+1/4。如何計算結果呢？學生中出現了三種方法：一是將分數化成小數計算，結果是0.75;二是通過畫圖得到結果是3/4;三是先通分，1/2+1/4=2/4+1/4=3/4。在學生理解了這三種方法的基礎上，教師出示了5/6-1/3讓學生繼續探索。在分享階段，學生沒有用小數解決（無法轉化成有限小數），少數人用畫圖的方法解決（比較麻煩），絕大多數人均運用通分的方法計算。教師在引導學生比較中懂得：異分母分數加減法，運用通分轉化成同分母分數加減法計算具有普遍性。

通過這樣的過程，學生充分理解了異分母加減法“先通分，再計算”的道理，學生通過對學習過程的反思與比較，在“掌握了方法-感悟某些方法的局限性-理解通分方法的普適性”中，進入異分母加減法背后的數學思想（轉化：新舊知識之間的轉化、分數小數之間的轉化、數與圖形之間的轉化等）和基本方法（異分母分數轉化為同分母分數;計算單位不統一轉化為計算單位統一）的“精神實體”，課堂的教學有了寬度、廣度與深度。

四、“鋪墊-創造-延伸”——引領學生進入數學思維的“精神實體”

數學知識的前后聯系較強，在教學新知之前，教師要通過不同的方式，暴露學生的思維，讓學生的思維看得見，讓學生的數學學習與數學思維同行，在思維中體會數學的力量，引向數學思維中的“精神實體”。

【案例4】“整萬數的認識”

師：老師報數，請同學們在計算器上撥數。（學生根據老師報的數在只有四個位的計數器上撥出5、50、500、5000）

師：剛才撥出的四個數，它們的大小—樣嗎？

生：不—樣，因為它們所在的數位不同。

師：同樣是五顆珠子，因為撥在不同的數位上，表示的數的大小不—樣。猜—猜，老師下面要報哪一個數？

生：50000。

師：50000是我們以前沒有學過的大數。你能想出辦法撥出這個數嗎？

生1：50000是五位數，我們的計數器只有四個數位，我們把同座兩人的計數器拼在一起就有了八個數位，在左邊計數器的個位上撥出五個珠子就是50000。

生2：我有—點建議，在左邊的計數器的個位上撥五顆珠子，表示的是五，不是五萬，應該把左邊計數器上的“個”改成“萬”。

生3：“個”改成了“萬”，“十”“百”“千”也應該改一改。

師：誰能說說你是怎么改的嗎？

生4：原來“十”的位置正好對著“十萬”，只要直接添一個“萬”字，“百萬”“千萬”也—樣。

師：今天學習的計數單位千萬、百萬、十萬、萬和原來的計數單位千、百、十、個之間存在一—對應的關系。正因為如此，我國的計數方法中，把這四個數位稱為“萬級”;原先學習的千位、百位、十位、個數稱為“個級”。

位值原理是認識自然數的核心所在。教師以“你能想出辦法撥出50000嗎？”點燃了學生創新思維的火花，學生產生了“把兩個計數器疊起來變成八位計數器”的方法，在交流分享中學生實現了知識的同化。這樣的教學充分尊重了兒童的認知水平，又培養了學生創新能力，促進學生學會數學的思維，將思維的觸角指向數學的背后，感受到了認數實體后的“精神實體”。

讓數學的“精神實體”永存學生心間，讓數學素養在“精神實體”中自然萌發，是培養學生核心素養的一個重要抓手。