外角和為360°

張景中

美籍華人陳省身教授是當代舉世聞名的數學家，他十分關心祖國數學學科的發展.人們稱贊他是“中國青年數學學子的總教練”.

1980年，陳省身教授在北京大學的一次講學中語驚四座：“人們常說，三角形內角和等于1800.但是，這是不對的！”

大家愕然，怎么回事？三角形內角和是1800.這不是數學常識嗎？

接著，這位老教授對大家的疑問作了精辟的解答：

說“三角形內角和為180°”不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當說“三角形外角和是360°”！

把眼光盯住內角，只能看到：

三角形內角和是180°：

四邊形內角和是360°;

五邊形內角和是540°;

……

n邊形內角和是（n-2）x180°.

這就找到了一個計算多邊形內角和的公式.公式里出現了邊數n.

如果看外角呢？

三角形的外角和是360°;

四邊形的外角和是360°;

五邊形的外角和是360°;

……

任意n邊形的外角和都是360°.

這就把多種情形用一個十分簡單的結論概論起來了，用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律.

設想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子（如圖1）.每經過一個頂點，它前進的方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個頂點處的外角.爬了一圈，回到原處，方向和出發時一致了，角度改變量之和當然恰好是360°.

這樣看問題，不但給“多邊形的外角和等于360°”這條普遍規律找到了直觀上的解釋，而且立刻把我們的眼光引向了更寬廣的天地.

一條凸的閉曲線——卵形線，談不上什么內角和與外角和.可是螞蟻在上面爬的時候，它的方向也在時時改變.它爬一圈，角度改變量之和仍是360°（如圖2）.