把握相交與平行

孔凡哲

“相交線與平行線”是圖形與幾何的基本內容.在本章中，我們將在已有知識與經驗的基礎上，繼續研究兩條直線的位置關系，在學習中，我們不僅要了解補角、余角、對頂角以及它們的性質，而且要掌握平行線的特征以及判別兩直線平行的條件，同時，我們將進一步探索相交與平行的秘密，積累幾何活動經驗，培養幾何直觀，提高推理能力。

一、生活中的平行線

我們的生活中處處可見相交線和平行線，諸如，棋盤上的橫線和豎線，道路上的斑馬線，文具盒的相鄰兩邊，操場上的雙杠等，

其實，生活中處處離不開平行線.窗戶上下邊框是平行的，保證玻璃窗能順利被推拉：拉緊的電線之間是相互平行的，這樣既美觀又能保證安全，

二、全面理解平行的含義

教科書中把“在平面內，兩條不相交的直線”叫作平行線，這里的不相交是指永遠不相交，這里的表述其實是說，在平面內，兩條（不重合的）直線只有兩種位置關系，其中一種是相交，即兩條直線僅有一個公共點，還有一種是平行，即兩條直線沒有任何交點.兩條直線會不會有兩個或者兩個以上的公共點呢？如果有，兩條直線一定重合?。▋牲c確定唯一的一條直線）

對于兩條直線之間的平行關系，其實有多種理解方式：

（1）木工師傅雖然不一定學過數學，卻能畫平行線，方法是通過“兩條垂直于同一直線的直線互相平行”的操作活動，如圖1所示，

其中的道理就在于，在同一平面內，只要兩條直線同時垂直于同一條直線，這樣的兩條直線就是相互平行的.

（2）兩條直線總是有相同的距離，這兩條直線是平行的，例如，圖2中的兩根柱子都是直立的，其長度是一樣的，這時，橫著的木條平行于地面上對應的直線.

三、在解決問題的活動中積累幾何活動經驗

例1如下頁圖3所示，要在長方形木板上截一個平行四邊形，使它的一組對邊在長方形的邊緣上，另一組對邊中的一條為AB.只有一個圓規和一把沒有刻度的直尺.你能解決問題嗎？

分析：同位角相等，兩直線平行.過直線外一點C作已知直線的平行線，相當于過點C作∠ECD等于已知的∠CAB.

解：以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB于點日，交AC于點G;再以點C為圓心，以同樣長（AH）為半徑畫弧，交CE于點P：再以點P為圓心，以線段GH的長為半徑畫弧，交前面所畫的弧于點D;連接CD并延長交長方形的邊于點F.這樣得到線段CF平行于AB于是，我們就得到了符合題意的平行四邊形ABFC（如圖4）.

進一步的討論：

過直線外一點，還能有哪些方法可以畫出與這條直線相互平行的直線呢？

敏敏同學認為：利用判定方法1“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”，需要沒有刻度的直尺和三角尺.首先把三角尺的斜邊放在直線a上，將直尺的一邊靠在三角尺的一條直角邊上;然后按住直尺不動，將三角尺緊靠直尺移動，使得三角尺的斜邊過已知點;最后沿著三角尺的斜邊畫一條直線b，則b∥a.如圖5所示，

亮亮同學認為：利用判定方法2“如果內錯角相等，那么兩直線平行”，需要圓規和沒有刻度的直尺.首先過點P畫任意一條直線b與直線a交于點A;其次以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交直線6于點日，交直線a于點G;再以點P為圓心，以相同長度（AH）為半徑畫弧，交直線b于點C;然后以點C為圓心，以線段GH的長為半徑畫弧，交前面所畫弧于點D;最后連接PD并延長得到與直線口平行的直線c.如圖6所示，

小小同學認為：利用“平行線之間距離處處相等”，需要三角尺和圓規.首先，將三角尺的一條短直角邊放在直線口上，移動三角尺的另一長直角邊，使其過點P，沿著三角尺的長直角邊畫直線與直線a交于點A;然后繼續移動三角尺，使其過直線a上任意點B，再次沿著長直角邊畫直線a的垂線;再以點B為圓心，以線段PA的長為半徑畫弧，與垂線交于點C;最后連接點P，C并延長得到直線b，它是與直線a互相平行的直線，如圖7所示，

樂樂同學認為：只要一張紙就能找到這條平行線.先折出直線a的過點P的垂線m.再折出垂直于直線m的另一條直線b即可，兩個交點處的角都是直角，由“同位角相等，兩直線平行”，可得直線b是與直線a相互平行的直線.如圖8所示.

對于上面四位同學的不同思路，你認為誰的思路更好呢？

四、探究圖形性質，培養幾何直觀

1.（與同學一起合作完成）將兩把直尺交叉放在一起（如下頁圖9），一位同學按住交叉處，另一位同學轉動其中一把直尺，觀察隨著直尺的轉動，兩把直尺的夾角之間的關系.

可以發現，相鄰的角相加等于1800.相對的兩個角，一個角隨著另一個角的增大（減?。┒龃螅p?。?，對頂角相等.

2.一位同學在白紙上，固定三角尺ABC的AC邊，并延長AC.另一位同學將三角尺CDE的直角頂點與三角尺ABC的直角頂點重合，并延長DC，如圖10. ∠DCP與∠ACF就是一組對頂角.你能說出其中的原理嗎？

請同學們自己思考.

五、發展空間觀念，培養推理能力

例2如圖11所示，要把角鋼彎成120°的鋼架，則在角鋼上截去的缺口是____°.

分析：這道題主要考查了同學們的空間想象能力，

解：因為把角鋼彎成120°的鋼架，在截之前的角是平角180°，所以缺口的角等于180°-120°=60°.故答案為60.

例3 （2019年甘肅）如圖12，將一塊含有30°角的三角尺的頂點放在直尺的一邊上，若∠1=48°，則∠2的度數為（? ）.

A.48°

B.78°

C.92°

D.102°

分析：如圖13所示，直接利用已知角的度數結合平行線的性質得出答案.此題主要考查了平行線的性質，正確得出∠3的度數是解題關鍵.

解：如圖13所示，將一塊含有30°角的三角尺的頂點放在直尺的一邊上，∠1=48°，∠ 2=∠3=180°-48°-30°=102°，故應選D.

1.（2019年濟寧）如圖14，直線。，6被直線c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，則∠4的度數是（? ）.

A.65°

B.60°

C.55°

D.75°

2.（2019年衡陽）如圖15，已知AB∥CD，AF交CD于點E，且BE⊥AF，∠BED=40°，則∠A的度數是（? ）.

A.40°

B.50°

C.80°

D.90°

3.如圖16，若直線a//b，∠1=45°，∠2=30°.則∠FPE=____

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參考答案：1.C 2.B 3.75。