回首過去 展望未來
——嚴士健先生數學教育訪談錄

劉曉曼 羅藝靈 保繼光

(1.北京師范大學附屬中學 100052；2.重慶南開中學 400030；3.北京師范大學數學科學學院 100875)

編者按嚴士健教授是一位在數論、概率論和數學教育等領域做出突出貢獻的數學家和數學教育家, 曾擔任過北京師范大學數學系主任、數學與數學教育研究所所長、中國數學會概率統計學會理事長、中國數學會副理事長兼教育工作委員會主任、國務院學位委員會數學評議組成員、國家教委高等學校數學與力學教學指導委員會副主任等職務. 上世紀90年代起，嚴先生開始關注我國中小學數學教育，先后擔任過教育部《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》顧問、《普通高中數學課程標準(2003年版)》研制組組長，為我國的數學教育做出了突出的貢獻. 《嚴士健談數學教育》作為其數學教育觀點的結晶廣受讀者稱贊.

教育部于2018年1月16日頒布了《普通高中數學課程標準(2017年版)》，標志著歷時四年的普通高中數學課程標準修訂工作的結束，開啟了數學課程以核心素養為目標的新征程. 上一次高中數學課程改革的十幾年既有收獲又有教訓，為中國數學教育的發展積累了長足的經驗.

我們有幸拜訪到嚴士健先生，就過去數學教育的棘手問題和當下數學教育的熱點問題進行了訪談. 與嚴先生的交流讓我們受益匪淺，讓我們站在更高的角度去看待和思考中國的數學教育. 同時，嚴先生心系中國數學教育的情懷深深地打動著我們. 經過整理，形成以下四方面的內容，與大家共享.

1 數學價值的三層面

新一輪數學課程標準中數學核心素養的提出順應了時代的發展潮流. 在國務院常務會議上李克強總理曾強調過理論數學等基礎學科對提升原始創新能力的重要意義. 他在會上說，“數學，特別是理論數學是我國科學研究的重要基礎，無論是人工智能還是量子通信等都需要數學、物理等基礎學科作為有力支撐. 我們之所以缺乏重大原創性科研成果，‘卡脖子’就卡在基礎學科上了. ”他還指出：數學等基礎學科研究要著眼于未來，但必須從教育抓起；要求教育部門和科技部門加強合作，以此營造良好氛圍，讓一批有志者能夠潛下心來把‘冷板凳’坐熱. 同時, 大學及一些重點基礎研究院所要對理論數學等重點基礎學科給予更多傾斜. 這是我國發展的長遠大計，也說明國家開始重視數學以及數學基礎研究.

數學的重要性歸功于數學的價值，數學的價值可以從三個層面理解. 第一個層面是數學知識本身，作為知識分子，數學核心的理論知識是應該掌握的，這也是最基本的層面；第二個層面是數學知識的應用，比如，數學在工程、物理、計算機、經濟、人工智能等領域的應用；這兩方面李克強總理已經從根本原則講清楚而且強調了. 數學價值最重要的層面就是數學對于一般群眾在社會生活中素質的培養和提高，嚴先生認為目前數學這一層面的價值是最容易被忽視的，普遍的現象是，一個人如果參加工作的內容與數學無關，他就會把數學完全丟掉、忘掉，遇到問題時也不會想到找數學幫忙，但是人們能感覺到數學學習好的人，相對來說在生活上更能抓住問題的本質以及來龍去脈，更會發現問題之間的關系從而解決問題. 如果能將人們在日常生活中的表現與數學聯系的現象普遍推廣，那就不僅能普遍地提高人民群眾的素質，而且對于全社會重視數學、促進國家數學及科學水平的發展具有巨大作用，下面深入探討這(第三)個層面的問題.

嚴先生傾向從最后人們對所學課程中的知識、原理的掌握和對應用認同的層面來衡量學習成果，即從人在所學課程中獲得的學識和修養能為之后的工作、生活等做出的貢獻，亦即從真正的素養這個角度來衡量. 他認為任何一門學科都不應該和社會割裂開. 現在很多家庭為什么送孩子上學讀書？簡單來說就是認為讀了書將來能掙更多的錢，實際上應該說孩子學到了知識，能夠為社會做貢獻，社會根據他的貢獻給他報酬. 也就是說，孩子先憑借知識為社會做出貢獻，然后才能掙到錢；不是學到知識，就自然可以掙到錢. 現在反而是倒過來了，人們普遍認為掌握了知識就一定能為社會做貢獻，這是似是而非的，“掌握知識”是“為社會做貢獻”的必要不充分條件，是為社會做貢獻的前提. 嚴先生認為做教育就時常遇到這樣的問題，知識競賽類的節目層出不窮，并且深受廣大觀眾的喜愛. 知識競賽這種以知識問答、知識比拼為主要內容的比賽把單純的知識看的太重要了. 試問，數學中學生僅僅知道“三角形三條中線交于一點”這一知識點又能怎樣？不知道又會怎樣？更不用說微積分、微分方程等更高深的數學知識. 現在有些事情倒過來了，單獨把知識的獲得獨立于社會，并作為一種評價標準，成為獲得社會支持與報酬的一個理由.

2 讓數學走進文化傳統主流

數學作為基礎學科，極大地促進了社會的發展和民族復興，但是數學甚至科學重要性的具體體現，除了它在科學技術方面的巨大作用以外，在社會生活中的廣泛重要性并不是大眾群體很容易看得見的，也不是簡簡單單就能闡述清楚的. 比如數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析這六大核心素養，如果沒有扎實的數學知識儲備、適當的數學修養和正確的認識是很難體會和掌握的，但即使這樣，嚴先生認為我們也應該讓學生以及大眾感受到數學的重要性. 這個事很難！但是有解決的途徑，那就是我們整個社會、整個民族應該重視數學，換句話說就是讓數學融入我們的文化傳統主流.

中國和西方在文化傳統的根本出發點、基本思維方式上有根本的不同. 著名數學家陳省身認為：“人往往從兩個方面思考自己在世界上的位置：人和自然的關系以及人與人之間的關系. 西方多考慮人和自然的關系，而中國人多考慮人與人之間的關系，西方人講人與自然的關系，人要改造自然，就要求社會和自然不斷地變化、進步，這樣就造成了社會的不穩定. 中國的孔子、儒家主要講人際關系、講穩定，不愿講自然的基本規律以及人和自然的關系，想不到、也不鼓勵討論這些問題. 所以在科學、哲學方面的發展不多，即使有，也多在應用方面.”[1]古希臘和文藝復興以后，西方的文化傳統中把數學看作關鍵點之一，而數學在中國固有的文化傳統中是沒有地位的，即使在現代，數學在中國也更多的被看作是一門技術科學甚至只是一門有用的工具課程. 下面就拿中國和西方固有的文化傳統做一下比較.

中國古代數學發展得很好，有很多突出的成就. 第一部數學專著《九章算術》標志著中國古代數學完整體系的建構. 祖沖之(429—500)最早把圓周率π精確計算到小數點后七位，比西方早一千年. 中國古代數學有優良的算法傳統，但是沒有發展成完整的數學理論體系，這固然和當時的統治階級不重視數學科學有重大關系；同時也和我國古代數學發展到一定階段后，沒有抓住其中一些規律性的問題深入探討、沒有上升到邏輯體系有關，以至中國古代數學缺乏進一步發展的堅實基礎. 另一方面，由于數學沒有形成邏輯體系，條理不是很清晰，因而比較難于理解，比較難學. 優秀著作《綴術》的失傳就是一個例證，史書記載該書在唐朝曾被列為算學科目的教材，但到后來“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”. 數學在中國古代只是一些有興趣學者研究的對象，在社會上只是一些簡單問題的應用，其在文化中的地位是不受社會重視的，出版的數學書也少得可憐. 雖然唐朝曾經在科舉中設有明算科(以后沒有)，但是社會上幾乎沒有稱道過誰是數學家. 數學家在正史中只有祖沖之一人有傳，并且也不是因為他數學家的身份. 中國偉大數學家劉徽(約225—約295)連生卒年月都不清楚. 凡此種種，可見中國古代數學(其實其它自然科學也一樣！)在文化上并沒有進入中國文化主流，沒有社會地位.

如果我們站在歷史長河的盡頭，從宏觀上回顧西方數學的發展，就會看到其“周期性”的發展規律. 而恰恰第一個周期就是“從實踐中提出問題——解決問題——積累知識——形成有結構的算法，然后在這個基礎上，找出基本出發點，形成邏輯的演繹體系，使得數學的理論與應用相結合”. 從埃及、巴比倫時期到古希臘末期歐幾里德(Ευκλειδηζ，公元前330—公元前275)《幾何原本》體系的形成都是這樣一個周期. 這其中與我國古代數學的一個顯著不同就是哲學與邏輯對數學的滲透以及在研究自然現象中的應用. 然后在此基礎上，以更高級的方式，再進行類似周期性的發展.

從文藝復興到17、18世紀，西方數學得到了蓬勃發展. 首先是哲學家笛卡爾(René Descartes，1596—1650)以其深刻的思想，在發展哲學的同時，發明了解析幾何(費馬(Pierre de Fermat，1601—1665)也獨立地發明了). 隨后牛頓(Isaac Newton，1643—1727)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716)獨立地發明了微積分. 微積分的出現，幾何、代數的繼續發展加之微積分的促進，使得新的數學分支和方法不斷發展，形成更加豐富、完整的學科體系，到19世紀微積分的嚴格化直至20世紀前半期純粹數學的空前發展，使得數學進入了更高級、現代化的發展周期. 數學自身迅速、系統發展的同時，也推動了科學、技術的發展，進而促進了工業的建立和發展，而且其思維方式影響到了經濟、政治以及社會生活的各個方面(下面還將就這一方面加以說明). 還有一些“細節”值得一提，就是西方對數學人物的社會地位特別重視. 在英國，牛頓一直受到社會的極大尊崇，連死后英國的勛爵都為之抬靈；為了確定是牛頓還是萊布尼茲先發明的微積分，還進行了長期、公開、廣泛的爭論.

上述情況說明中國和西方數學在歷史發展中的作用是不同的，對數學的尊重程度迥異；也充分說明歷史上數學進入了西方的文化主流，但數學沒有進入中國的文化傳統主流，應該看到的是，即便是在今天數學也沒有，或者說沒有完全進入中國文化傳統主流. 一般來說文化是包括科學和數學的，但是人們在專門談論文化時(特別在社會活動或一般生活中)實際上是忽略科學和數學的. 在此嚴先生強調數學沒有(準確地說是正在)進入我國文化主流是想說明，這種情況會影響數學在我國和社會發展中的作用以及影響我國數學教育的深入發展.

3 數學(特別是其思維方式)對西方社會生活的深刻影響

嚴先生沒有談論文藝復興以后數學在西方巨大而系統地發展，以及它在促進和推動自然科學、技術方面廣泛系統的影響和應用. 因為這些已廣為人知而且被無數次論證，無需贅述. 而是著重談了一些文藝復興以后，數學及其思維方式在西方對其經濟、政治以至群眾的生活等諸多方面的深刻影響，嚴先生深知自己在這方面是外行，所談的情況可能片面、零碎、不得要領甚至錯誤，但歡迎行家指教. 其目的是想著重說明，他對上述數學第三個層面價值所涉及的數學教育問題的思考，即應該在讓學生扎實掌握數學基本知識、弄懂數學思想、關心數學應用以及所謂核心素養等方面的同時，還要關心數學(特別是其思維方式)對提高青少年在社會生活中素質的作用. 這應該是數學教育的一項重要任務，嚴先生更歡迎和有興趣者研討，使之具體化.

首先在德國，嚴先生認為馬克思(Karl Heinrich Marx，1818—1883)是運用數學的思維方式從商品的特性、交換出發，分析出剩余價值(公理)，演繹出資本主義經濟發展的過程和重要結論的. 實踐證明，馬克思的《資本論》是有生命力的，盡管其中一條數學定理都沒有用到，卻說明了數學思維的威力. 實際上，馬克思對數學是愛好而且有研究的，他對數學有獨到的見解，并且著有《數學手稿》，所以從此來看，這些偉大理論的誕生受到了公理化思想、數學思維的影響. 另外，人們經常說德國人普遍思維縝密、嚴謹，辦事條理清楚，所生產的產品質量也比較好，因此人們認為他們整個民族的素質較高. 嚴先生認為這可能是受數學及其思維的影響，因為德國很尊重萊布尼茲，他把邏輯應用到數學中建立了數學體系. 另外，德國偉大的哲學家，如黑格爾(Georg Wilhelm Friedrich Hegel，1770—1831)，康德(Immanuel Kant，1724—1804)等也都很重視數學，德國人尊重他們就像中國尊重圣人孔子(公元前551—公元前479)一樣，因而德國整個國家深受數學和哲學的影響.

其次法國，法國大革命的理性思維深受數學的影響. 伏爾泰(Fran?ois-Marie Arouet，1694—1778)主張“人依其理性以認識自然，也依其理性以改造社會，發揚理性，就是推動歷史；蒙蔽理性，就是阻礙進步”，把理性作為標準衡量. 著名的哲學家笛卡爾開拓了“歐洲理性主義”哲學思想，他的解析幾何就是在《方法論》的三個附錄之一《幾何學》里講的. 達·芬奇(Leonardo di ser Piero da Vinci，1452—1519)也很重視數學，曾說過“不是數學家請不要讀我的基本著作”，他們的思想可能對法國以至歐州社會都有影響.

然后英國，英國的數學比較接近應用且受到重視. 這與英國十分尊重牛頓有關，牛頓被封為爵士. 牛頓利用數學思想從他歸納出來的著名牛頓三大定律出發，演繹出經典力學系統，并且他還希望把微積分用類似于歐幾里得《幾何原本》的方法表示出來.

最后在美國，《獨立宣言》開宗明義地講：“我們認為這些真理是不言而喻的：人人生而平等”. 這里直接運用了歐幾里德原本的語氣莊重地表述了他們的基本政治主張，可見對數學的尊崇，而獨立宣言對美國立國的早期起到了很好的作用.

4 數學教育任重道遠

嚴先生認為目前我國的基礎數學教育有相當進步，也確實存在著一些問題，甚至是重大問題，相當多的數學教師只關心學生數學課本知識點的掌握情況，以學生的數學考試成績為其工作目標，而沒有把眼光放遠一些——從培養學生將來成為社會有用人才的角度著想——數學教育最后還應該落實到學生核心素養的培養，讓數學核心素養和扎實的數學知識、準確熟練的技能有機聯系起來.

這就涉及到數學教育培養目標的三個層面，第一個層面是知識和技能的培養. 數學知識是硬的，任何數學教育都是首先以受教育者學會準確扎實的數學知識和熟練的演算、證明技能為目標，這是所有數學學習者的基本要求，也是文明社會成員在生活和工作中的必需. 只有具備了這個基礎才能真正具備其它進一步的數學修養，但是數學知識并不只是知識點的簡單記憶和直接運用，還應該了解問題的來源和解決問題的思路從而得到相應的結論、方法或公式以及運用的要訣，就是說要掌握數學知識的來龍去脈和思路，這也是《普通高中數學課程標準(2017年版)》強調數學核心素養的理由之一. 第二個層面是學生數學應用意識的培養. 現在的中學生相當多部分畢業后升入大學并不進入數學系，但是他們中大部分人將進一步學習數學并應用數學. 至于未來，隨著社會現代化的發展，數學應用的范疇和深度必將空前地擴展，充分發揮數學的作用將大大加快社會現代化的進程，特別是提升我國在國際競爭中的地位，這就要求更多的人具有應用數學去解決實際問題的能力. 然而在實際的教學中，數學教師只能用簡單的幾個例子進行講解，實際例子講不了多少，否則影響正課，真刀真槍地講應用是不可能的，但要讓學生樹立應用意識、應用信念，思考數學怎樣去應用. 比如導數在力學中是速度，在經濟問題中就是邊際效益，即單位投資里的收益，還有密度，等等. 因此嚴先生認為在幫助廣大接受數學教育的人員在學習數學知識的同時，樹立應用數學的意識也很重要. 第三個層面，也是最難的層面，是通過數學教育培養人在生活、工作等各個方面中的一種思維和素養. 嚴先生認為數學發展的動力主要來源于人類認識自然以及人類社會活動中的各種計算需要，但同樣不可忽視的是它的思維方式. 他認為，數學思維方式最簡單的說法就是歐幾里德幾何的原則：從一組無矛盾的自明論斷(公理)出發，運用邏輯逐個演繹出后面的論斷(命題)，只要公理正確，該體系中的一切命題都正確. 演繹過程中，也可以添加與前面公理不矛盾的公理，由此形成論理體系. 現在社會幾乎都沒有意識到數學思維的重要性，一個人如果數學素養高的話，他在生活中碰到的問題即使不是數學問題，也能發現問題的本質，以及它與別的問題的關系，從而分析怎樣解決.

下面的例子雖然不是數學知識也不是數學應用，但能很好地說明數學思維在生活中的重要性.2016年武漢發生特大洪水事件，其實兩年前，國家就撥款100多億修建排水系統，但是撥款沒有花出去，這次又被洪水淹了.歸根結底，那個地方原來是個湖，填湖建房本身就是問題.還有個例子就是貴州扶貧，駐村干部給老百姓提議養雞生蛋，雞苗很好，雞在山上放養，環境也很好.一年后雞蛋很多，但是賣不出去，這就說明干部雖然想的好，但是沒有想到山里雞蛋的銷路.也就是說，人們總是只看一步，沒有多看幾步.其實不僅生活中的問題涉及到數學思維，政治決策中也涉及這種數學思維.據報道，某地政府有一次建樓房，建了好多套，結果卻銷售不出去，為什么呢？因為很多基礎設施如學校、醫院、商店附近都沒有.簡單一句話就是日常生活中要多看幾步，雖然不是數學，但這是一種數學思維.

總之在數學教學中，數學教師要把數學的重要性解釋出來. 社會也要花力量去認識“數學的重要性”. 從上一輪課程改革就開始強調數學的三個維度：知識與能力，過程與方法，情感態度價值觀. 但是，如果數學知識掌握不好，情感態度價值觀就是空談. 學習數學知識總是講究技巧，反而數學思維沒理解，所以首先嚴先生強調數學的“來龍去脈”，數學不僅僅是知識點，我們更應該了解數學是怎樣來的？數學問題是怎樣來的？要解決什么問題？為了解決問題需要什么方法. 其次，嚴先生認為上次數學教育改革的過程并沒有結束，核心素養的培養是以后的重點. 我們現在的弱點還是國家的數學水平，這方面要急于努力. 最后嚴先生覺得目前迫切需要解決的是提升數學在我國文化傳統中的地位. 學的人把數學當做技術，社會上就會當做技術，而數學對于民族的整個發展、對于國家的實力、對于人的培養等都是有影響的，技術的訓練遠比對于人民素養的培養更容易些. 如果在社會上數學重要性被承認的不多，基礎數學的研究就很難有所突破，所以我們的數學教育任重而道遠.