剪張源約束的井中微地震震源機制反演方法

唐 杰 李 聰 劉英昌 陳學國

(①中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島 266580；②中國石化勝利油田分公司勘探開發研究院，山東東營 257015)

0 引言

本文首先介紹了基于剪張源約束的微地震震源機制反演的方法原理，然后通過理論模型記錄測試、分析了應用效果。

1 井中微地震震源機制反演

傳統地震震源機制反演通常使用 P 波和 S 波振幅，檢波器布設于地表。在水力壓裂微地震監測中，經常在井中設置檢波器陣列，這種檢波器分布具有非常有限的覆蓋范圍，對震源機制反演提出了挑戰。

1.1 矩張量反演方法(MTI)

微地震震源機制可用矩張量的形式表示

(1)

式中：M為對稱矩陣，滿足Mij=Mji，其中獨立元素有6個，Mij表示沿著±i方向大小相等并且在j方向相距無限小的力偶(i、j=1，2，3)；M0為地震矩幅度。

均勻各向同性介質中的波場滿足[20-21]

(2)

忽略f，式(2)變為

d=Gm

式中：d為包含N個振幅的矢量；G為格林矩陣，表示震源與檢波器間的振幅變化；m為地震矩矢量，包含矩張量的6個獨立參數。這樣通過

m=G-1d

反演矩張量，但求解過程中需要更多的觀測數據，此時方程為超定方程，可用廣義逆G-g代替G-1

m=G-gd=(GTG)-1GTd

(3)

由于實際數據中含有噪聲，因此需要6個以上的振幅值正確求解m。反演可單獨使用P波、S波振幅或者聯合使用P波、S波振幅。

圖1 分布于源到垂直井檢波器的射線

1.2 剪張源約束反演方法(STI)

圖2 混合剪切滑動和張裂的剪張源模型

為了實現井數較少情況下的反演，可以引入剪張源約束。圖2為混合剪切滑動和張裂的剪張源模型，震源機制可以用走向角Φ、傾角δ、滑動角θ和張裂角α表征[24]，通過這些角度可以獲得剪張源的源張量D[25]。對于各向同性介質矩張量與源張量間滿足[26]

Mij=λDkkδij+2μDij

(4)

式中：λ和μ為拉梅系數； δij為克羅內克函數，當i=j時，δij=1，當i≠j時，δij=0，k=1、2、3。

圖3為振幅沙灘球、P波輻射花樣。由圖可見：在走滑情況下，Φ=45°、δ=90°、θ=180°； 在傾滑情況下，Φ=45°、δ=90°、θ=90°；震源機制沙灘球和輻射花樣隨著張裂角α的變化而變化。

對微地震震源矩張量M采用特征值分解法分解為雙力偶部分MDC、補償線性矢量偶極成分MCLVD和各向同性部分MISO[27]

M=MISO+MCLVD+MDC

(5)

圖4為MISO、MDC、MCLVD的P波輻射花樣，可見極性和波瓣分布呈明顯差異。

本文研究了矩張量反演(MTI)和剪張源約束反演(STI)。MTI采用線性反演方法； STI采用非線性反演方法，將矩張量限制為描述剪張源的矩張量，減少了反演參數，魯棒性更強。文中的STI采用信賴域反演算法，通過給定一個“信賴域半徑”直接確定位移，并以當前迭代點為中心形成一個信賴域，并在其中求得最優解，產生的新迭代點具有整體收斂性。通過迭代運算求解非線性優化問題，把最優化問題轉化為一系列簡單的局部尋優問題，從給定的初始解出發，通過逐步迭代、不斷改進，直至獲得滿意的最優解。

圖3 振幅沙灘球(上)、P波輻射花樣(下)

圖4 MISO(a)、MDC(b)、MCLVD(c)的 P波輻射花樣

2 STI測試分析

2.1 模型分析

圖5為模型觀測系統、合成記錄及沙灘球。由圖可見，無論采用三井還是單井數據，通過STI都能獲得較高精度的反演結果(圖5g、圖5h)。

2.2 基于無噪振幅數據的反演

首先利用精確介質模型和精確源位置進行無噪聲振幅數據反演，并計算反演誤差。由P波和S波振幅通過MTI和STI獲得震源矩張量，反演分別采用單井(B3井)、雙井(B3、B2井)和三井(B1、B2、B3井)數據。

圖5 模型觀測系統、合成記錄及沙灘球

(a)震源點和觀測井的位置； (b)包含水平層的模型，B1、B2和B3為垂直井，井中布置了檢波器，VP上=4400m/s，VS上=2400m/s，VP下=4200m/s，VS下=2200m/s，紅線為直達波路徑，藍線為反射波路徑； (c)震源機制Hudson分布圖，Φ=40°，δ=60°，θ=-30°，α=15°； (d)由格林函數合成的P波數據； (e)由格林函數合成的S波數據； (f)真實震源機制沙灘球； (g)單井STI反演沙灘球； (h)三井STI反演沙灘球

固定其他角度，改變張裂角，利用精確介質模型和精確源位置反演，反演時聯合使用了P波和S波的振幅。研究表明，采用STI時，雙井和三井都能獲得較好的張裂角反演結果。圖6為無噪條件下聯合使用P波和S波振幅的單井、雙井、三井STI和MTI結果及MCLVD、MDC絕對誤差。由圖可見：單井MTI(圖6a左)造成MDC(圖6a右)和MCLVD(圖6a中)的較大誤差，STI(圖6a左)的MCLVD(圖6a中)和MDC(圖6a右)在α較小時存在誤差，其他角度反演效果較好；雙井STI(圖6b左)效果較好，而矩張量反演存在誤差(圖6b中、圖6b右)；三井MTI和STI的反演效果較好(圖6c)。

隨機產生200個不同類型的震源機制，反演時聯合使用了P波和S波振幅。圖7為無噪條件下聯合使用P波和S波振幅的反演結果Hudson分布。由圖可見，單井STI存在一定誤差(圖7a)，單井MTI結果不合理(圖7b)，三井STI(圖7c)和MTI(圖7d)的結果較合理。由于STI采用非線性反演算法，當滿足迭代終止條件時(如誤差達到規定要求或達到最大迭代次數)終止迭代并給出結果，所以部分結果存在一定誤差。

針對隨機產生的200個震源機制，圖8為無噪條件下三井單獨使用P波或S波振幅的反演結果Hudson分布。由圖可見，三井P波STI存在略微誤差，整體反演效果較好(圖8a)，三井P波MTI的結果合理(圖8b)，三井S波STI結果存在個別誤差(圖8c)，三井S波MTI的結果不合理(圖8d)。因此，三井的P波STI、S波STI、P波MTI的效果較好，S波MTI無法獲得合理的結果。

圖6 無噪條件下聯合使用P波和S波振幅的單井(a)、雙井(b)、三井(c)STI和MTI結果(左)及MCLVD(中)、MDC(右)絕對誤差

圖7 無噪條件下聯合使用P波和S波振幅的反演結果Hudson分布

圖8 無噪條件下三井單獨使用P波或S波振幅的反演結果Hudson分布

2.3 基于含噪振幅數據的反演

圖9為含噪條件下聯合使用P波和S波振幅的單井、雙井、三井STI和MTI結果及MCLVD、MDC絕對誤差。由圖可見：雙井和三井STI抗噪性較好，能獲得較好的α反演結果(圖9b左、圖9c左)；當α較小時單井反演的MCLVD(圖9a中)和MDC(圖9a右)誤差較大，其他角度反演結果較好。因此，含噪時單、雙井和三井的MTI精度不高。

對觀測數據添加不同的隨機噪聲進行100次反演時聯合使用了P波和S波振幅，震源機制采用圖5c。圖10為含噪條件下聯合使用P波和S波振幅的反演結果Hudson分布。由圖可見，單井STI結果較合理(圖10a)，單井MTI結果不合理(圖10b)，三井STI的結果接近單井STI(圖10c)，三井MTI結果較合理，但分布較散(圖10d)。因此，單井STI的效果較好，單井MTI的結果不合理，三井STI和MTI的效果較好。綜上所述，STI抗噪性更好，反演結果分布更集中，MTI的結果相對較分散。

圖11為含噪條件下三井單獨使用P波或S波振幅的反演結果Hudson分布。由圖可見，三井P波STI(圖11a)、S波STI(圖11c)的結果接近真實源，P波MTI(圖11b)的結果在真實源附近分散，反演結果較合理， 三井S波MTI的結果不合理(圖11d)。因此，三井P波或S波STI的效果較好，S波MTI結果的誤差較大，P波MTI的效果也較好，但是結果相對分散。

圖9 含噪條件下聯合使用P波和S波振幅的單井(a)、雙井(b)、三井(c)STI和MTI結果(左)及MCLVD(中)、MDC(右)絕對誤差

圖10 含噪條件下聯合使用P波和S波振幅的反演結果Hudson分布

圖11 含噪條件下三井單獨使用P波或S波振幅的反演結果Hudson分布

3 結論

本文研究了基于剪張源約束的微地震震源機制解反演原理，通過理論模型記錄測試、分析了方法的應用效果。將矩張量限制為描述剪張源模式，采用非線性反演算法，相對矩張量模型空間參數較少，反演效果較好。

(1)無噪觀測數據在不同張裂角的反演結果表明，矩張量和剪張源約束三井反演結果明顯好于單井，在井數據較少時剪張源約束反演效果更好。

(2)含噪觀測數據在不同張裂角的反演結果表明：矩張量和剪張源約束三井反演誤差均小于單井；剪張源約束反演的抗噪性更好，在井數據較少時也可獲得較好的反演效果。

(3)單井P波和S波聯合振幅矩張量反演和三井S波矩張量振幅反演都會出現很大的誤差， P波和S波聯合振幅剪張源反演或單獨P波、S波振幅剪張源反演都能獲得較好的效果，即剪張源反演的振幅數據選擇性更大。