時域加權稀疏約束的空時自適應處理算法

李志軍, 向建軍, 盛 濤, 肖冰松

(空軍工程大學航空工程學院，西安，710038)

空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing，STAP)技術歷經幾十年的發展，已經取得了長足的進步。文獻[1]提出了最優空時自適應處理的方法，但是這種方法的計算復雜度較高，并且需要大量獨立同分布的訓練樣本，并不符合雷達的實際工作情況。為實現最小化樣本數，有學者提出了許多改進型STAP方法，比如，降秩STAP方法[2-4]、降維STAP方法[5-7]、模型化參數STAP方法[8]和稀疏恢復的STAP方法[9-10]。1DT法是典型的時空級聯的二維空時自適應處理方法，該方法先選用單個多普勒通道對接收的信號進行時域濾波，從而降低了數據維度，然后再對相同多普勒通道的信號進行空域處理。該方法能夠有效降低雜波自由度并能大大降低運算復雜度，但是該方法在時域處理時容易造成主瓣雜波的泄露，導致算法的性能大大降低。

近幾年，信號的稀疏表示和壓縮感知在統計信號處理中得到廣泛的應用，文獻[11]提出使用l1范數稀疏約束恢復信號的方法。文獻[12]基于波束響應中主瓣較旁瓣集中且較少的稀疏特性，提出了稀疏約束Capon波束約束形成器(Sparsity-Constrained Capon Beamformer，SCCB)，該方法對所有旁瓣的方位進行均勻地約束以達到對波束整形的目的，當約束系數較大時能夠有效降低旁瓣的高度，但是會使干擾零陷變淺。文獻[13]提出一種加權的約束算法，通過噪聲子空間與信號子空間的關系對約束進行加權，但是該方法的計算復雜度較高，不適合對實時性要求較高的平臺。

為解決時空級聯空時自適應處理存在的問題，提出一種時域加權稀疏約束的空時自適應Capon處理方法(Temporary Weighted Sparsity-Constrained Capon，TWSCC)。在時域處理時引入加權稀疏約束的算法，在時域自適應濾波器優化模型中加入稀疏約束，考慮到對主瓣雜波的深零陷的需求，設計加權矩陣在主瓣雜波的頻率加大激勵強度。該方法能夠有效抑制主瓣雜波，降低副瓣高度，提高輸出信號的信雜比，相對其他方法來說更易于工程實現。

1 信號模型及1DT空時自適應處理原理

(1)

式中：?表示Kronecker積；Rl為第l個雜波環的散射點到天線的距離；F(θl,φl)、G(θl)分別表示發射方向圖增益和接收陣列合成增益；σi(θl,φl)表示該雜波塊的雷達截面積；at,i和bs,i分別表示該雜波塊的時域和空域導向矢量。

at,i=[1,ej2π?,…,ej2π(K-1)?]T

(2)

bs,i=[1,ej2πf,…,ej2π(N-1)f]T

(3)

式中：?=2vcosθlcosφi/λfr和f=dcosθlcosφi/λ分別表示歸一化多普勒頻率和空域頻率。假設在該距離環上有Nc個雜波散射點，則在天線處接收的雜波加噪聲數據為：

(4)

式中：n為高斯白噪聲向量。

圖1 機載雷達的結構和雜波環

1DT是對單個多普勒通道進行空時自適應處理的算法，該算法通過對離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)濾波器進行加權處理然后再對通過時域濾波器的數據進行空域自適應處理。假設K×1維濾波器的系數為ωk(k=1,2,…,K)經過濾波器后的雜波加噪聲的數據變為：

(5)

式中：IN為N×N的單位矩陣。

對于目標而言，其導向矢量為：

s=st?ss

(6)

式中：st為目標的空域導向矢量；ss為目標的時域導向矢量，并有：

st=[1,ej2π?t,…,ej2π(K-1)?t]T

ss=[1,ej2πfd,…,ej2π(K-1)fd]T

式中：?t為目標歸一化多普勒頻率；fd為目標歸一化空域頻率。目標導向矢量通過時域濾波器后的數據變為：

(7)

空域處理的原則是使雜波和干擾輸出的能量最小并保持期望信號的能量不變：

(8)

其最優解為：

(9)

式中：wm(m=1,2,…,M) 表示空域濾波器的權值；Rk表示通過多普勒濾波器后的噪聲加雜波協方差矩陣。

2 稀疏約束濾波器

理想的時域濾波器期望在目標多普勒頻率處形成主瓣而要求旁瓣盡可能低，主瓣寬度的占比遠遠小于旁瓣的寬度，這滿足在稀疏理論中“少部分元素非零而大多數元素為零或接近零”的稀疏性條件，所以時域濾波器的頻率響應近似是一種稀疏分布。此時稀疏約束就是使濾波器響應中非零元素個數最小。為了更好地壓制旁瓣，通常在旁瓣區按照一定的間隔進行采樣，并加入到稀疏約束的條件，可以得到以下的優化模型：

(10)

min (ωHRxω+λ‖ωHAΩ-γ‖1)
s.t.ωHa=1

(11)

式(11)可以通過Matlab凸優化計算工具箱進行求解。

由上面的分析可知，λ的值對旁瓣區域進行無差別的約束，但是對于時域濾波器，重點關注的是主瓣雜波。 因此可以在主瓣雜波的區域對稀疏約束進行加權，來保證主瓣雜波的抑制效果，由此引入加權稀疏濾波器的概念。

3 時域加權稀疏約束的空時自適應處理

1DT方法僅僅依賴濾波器的副瓣對雜波進行抑制，對雜波尤其是主瓣雜波并不能取得很好的抑制效果，文中基于陣列信號處理中的自適應波束形成的思想設計一種有限長單位沖激響應(Finite Impulse Response, FIR)時域濾波器，使得在時域處理時，不僅能在主瓣雜波區域形成具有一定寬度的深零陷，而且能夠有效降低其他副瓣高度。

3.1 時域自適應處理

文中第1節提到的時域處理是基于離散傅里葉變換設計的，該方法僅能利用對濾波器系數加權形成低副瓣對雜波進行抑制，文獻[15～16]提出將空域自適應濾波的概念引入時域，設計的時域濾波器能夠有效抑制主瓣雜波。該方法利用空域自適應處理的方法，設計自適應時域濾波器：

min (ωHRc+iω)
s.t.ωHa(f0)=1

(12)

式中：f0表示濾波器的中心頻率；a(f0)=[1,ej2πf0Tt,…,ej2π(K-1)f0Tt]表示目標多普勒勒頻率的導頻矢量。Rc+i表示雜波加噪聲的協方差矩陣。

Rc+i=Rc+σ2IM

(13)

式中：Rc表示雜波的協方差矩陣；σ2表示噪聲的功率，考慮低雜波的情況，根據文獻[16]有：

(14)

(15)

該方法抑制遠離主瓣雜波的雜波時效果較好，但是當抑制主瓣雜波時，濾波器的頻率響應會發生畸變。

按照第2節中的介紹可以使用稀疏約束的方法設計稀疏約束自適應濾波器，但是在加入稀疏約束后雖然副瓣響應得到了有效的抑制，但是濾波器的零陷會變淺。

為解決波束形成時稀疏濾波器取較大約束系數時零陷變淺的問題，文獻[17]首先提出了“人為”加權的思想，文獻[18]利用陣列矩陣和接收數據矩陣的相關關系得到旁瓣中不同接收數據的后驗分布關系來計算加權矩陣，并提出混合范數的整形方法，文獻[13]提出利用噪聲子空間和干擾子空間的正交關系來設計加權矩陣。上述方法的主要思想都是在濾波器響應中期望的零陷處加入較大的約束，來實現較深的零陷，同時保證旁瓣得到一定程度的抑制[19-21]。但是以上方法的加權矩陣的計算都比較復雜，不適合在計算復雜度很大的空時自適應處理中應用。將傳統的用于空域自適應處理的方法引入時域自適應濾波器的設計，并且在雜波區進行稀疏約束時對主瓣雜波進行加權，因此在保證深零陷的前提下能夠有效降低副瓣，從而實現對雜波的有效抑制。

3.2 時域自適應的加權稀疏約束自適應濾波器

前文中介紹的1DT方法能夠有效濾除旁瓣雜波，但是對主瓣雜波的抑制效果不好，對于K階自適應時域濾波器，根據第2節中的分析，引入加權矩陣Gt，可以得到的加權稀疏優化模型為：

(16)

式中：ωt表示時域濾波器的權向量；λt≥0表示時域約束系數；At表示重構后的旁瓣的導頻矢量的集合。下面給出加權矩陣的構造方法：將旁瓣矩陣分解成如下形式：

At=[AcAt-c]

式中：Ac表示主瓣雜波附近區域的導頻矢量；At-c表示除去主瓣雜波附近的導頻矢量的旁瓣導頻矢量集合。根據重構后的矩陣可以很容易給出加權矩陣：

式中：L1表示對主瓣雜波的加權值，一般根據經驗選??；It-c表示t-c階的單位矩陣，t表示旁瓣導頻矢量的秩，c表示主瓣雜波區域構成的導向矢量的秩。

3.3 空域自適應濾波器

空域處理與時空級聯的空域處理過程類似[22]，由式(6)可知，經過時域濾波器后輸出的數據變為：

(17)

將x(l)換成信號、干擾、雜波就可以得到該信號經過時域濾波器的輸出信號?？沼蛱幚淼脑瓌t是使雜波和干擾輸出的能量最小并保持期望信號的能量不變：

(18)

其最優解為：

(19)

式中：wm(m=1,2,…,M) 表示空域濾波器的權值；Rk表示通過多普勒濾波器后的噪聲加雜波協方差矩陣；ψ0表示空域錐角。

3.4 算法步驟與計算量分析

Step1構造自適應時域濾波器，根據主瓣雜波的頻率構造主瓣雜波區域導頻矢量矩陣，并構造雜波區除去主瓣雜波區后的導頻矢量矩陣，并根據3.2節中重構導頻矢量矩陣，根據重構的導頻矢量矩陣的結構引入加權矩陣，最后由式(16)計算出濾波器的復權值。

Step2由式(17)計算經過自適應時域濾波器的信號。

Step3計算空域濾波器的權值。

Step4根據自適應空域濾波器的權值計算輸出信號。

在實際應用中，主瓣雜波都是通過先驗知識估計并進行存儲，因此主瓣雜波的相關矩陣可以離線獲取，所以計算量主要集中在濾波器權值計算上，文中提到的方法與1DT法都屬于降維的方法[10]，并且與空域處理的過程類似，故只需要比較時域的計算量，設所需的樣本數為L，則有L≥2N。那么，時域加權稀疏約束的后多普勒空時自適應處算法的時域的計算量為LK2+2K3/3，1DT法時域的計算量為LK2+2K3/3?？梢娺@2種方法的計算量差異并不大。

4 仿真分析

在同樣的條件下，分析1DT法、自適應時域濾波法，稀疏約束時域自適應、加權稀疏約束時域自適應方法的性能。對于32×32的均勻面陣，按列合成陣元數為32 的均勻線陣，假設一個相干處理間隔處理的脈沖數K=32。載機平臺的高度為9 km,脈沖重復頻率fr=2 000 Hz，天線陣元間距取半波長，雜噪比CNR=60 dB，信噪比SNR=0。按照經驗值[13]，2個時域約束系數都取λt=0.004。雜波取樣數主瓣雜波相對其它副瓣的相對加權值L1=10 dB，雜波功率譜方差δ2=40。假設歸一化主瓣雜波的范圍為[fc-0.05,fc+0.05]，在該頻率范圍內按照0.005的歸一化頻率間隔進行取樣，假設主瓣的歸一化頻率范圍為[f0-0.05,f0+0.05]，其他頻率范圍則為副瓣頻率，同樣按照0.005的歸一化頻率間隔進行取樣。

文章中涉及到得方法在空域處理的方法都是一樣的，所以只需要對不同方法的時域性能進行分析。當歸一化主瓣雜波的頻率為fc=0.15，f0=0.4時，雜波頻率距離主瓣中心頻率較遠，常規的自適應方法能夠在保持較低副瓣的前提下保證較深的具有一定寬度的深零陷，見圖2。

當歸一化主瓣雜波頻率fc=0.3，f0=0.4時，主瓣雜波距離主瓣頻率較近，如圖3所示，此時常規的自適應方法雖然仍然能生成較低的零陷，但是其旁瓣也發生了嚴重的畸變，此時該方法顯然已經不適用了。對于稀疏約束自適應濾波器后，該方法具有與1DT法相似的旁瓣，但是其在主瓣雜波處的零陷深度顯然不如常規自適應方法。對于加權稀疏約束法而言，該方法不僅能夠保持較低的旁瓣，而且能夠形成比上述2種方法更好的具有一定寬度的深零陷。

圖2 1DT法與常規自適應頻率響應圖

圖3 4種方法的頻率響應圖

通過輸出時域濾波器的信雜比(Signal-to-Clutter-noise Ratio,SCR)衡量濾波器的性能，其定義為

式中：ω表示時域濾波器的權值；Rs表示期望信號時域自相關矩陣；Rc+i表示噪聲加雜波的時域自相關矩陣。

根據圖4可以看出，加權稀疏約束的空時自適應處理方法的輸出信雜比優于1DT法、常規自適應方法和稀疏約束的方法，表明該方法能夠有效抑制雜波，尤其是對主瓣雜波的抑制具有非常好的效果。

在實際情況中天線陣元難免存在陣元幅相誤差，由文獻[23]可知幅相誤差均滿足零均值的高斯分布，在本文中取幅相誤差均服從均值為零，方差為5%的高斯分布，與文獻[23]分析方法一致，可以得到4種算法的輸出信雜比的對比圖，見圖5。

由圖5可知當存在幅相誤差時，在時域處理中加權稀疏約束自適應的方法性能仍然優于1DT的方法和時域自適應處理方法，并且與圖4對比，加權稀疏約束的空時自適應方法輸出信雜比損失較小，抗幅相誤差的性能較好。

圖4 4種方法的輸出信雜比

圖5 存在幅相誤差時4種方法的輸出信雜比

5 結語

文中提出基于加權稀疏約束的時域自適應空時處理方法，將陣列信號處理中的自適應波束形成的思想引入時域自適應處理，設計的時域濾波器不僅有較低的旁瓣而且能夠在主瓣雜波頻率形成具有一定寬度的深零陷，能夠有效提高對雜波的抑制性能，并且在存在幅相誤差時具有較好的穩健性，最后仿真實驗證了算法抑制雜波的性能較好。