無界域上非自治隨機反應擴散方程一致隨機吸引子的存在性

,

(河海大學理學院，江蘇南京210098)

本文研究定義在全空間Rn上具可加噪聲的反應擴散方程解的漸近行為:

du=(γΔu-λu-f1(u)-a(x)f2(u))+g(x,t)dt+h(x)dω,

(1)

初值為

u(x,0)=u0(x)，x∈Rn，

(2)

f1(s)s≥α1|s|p-β1|s|2,f′1(s)≥-c,

(3)

f2(s)s≥α2|s|p-β2,f′2(s)≥-c,

(4)

|f1(s)|≤α3|s|p-1+c1,|f2(s)|≤α4|s|p-1+c2，

(5)

其中αi>0,i=1,2,3,4,βi>0,i=1,2,c>0,c1>0,c2>0;α1>β1,λ>2β1。假設a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0。

系統(1)～(2)是一非自治系統，含有確定的非自治項和隨機項。隨機項的存在，對于未來信息具有不可知性，在研究隨機偏微分方程時，傳統吸引子的概念(見文獻[1-3])已無法應用。Flandoli等人在文獻[4-6]中將傳統吸引子的概念加以推廣，提出了拉回吸引子的概念，并給出了相應的存在性刻畫定理；之后，Wang在文獻[7-8]中對含有確定非自治項的隨機偏微分方程吸引子的存在性加以研究，通過引入2個驅動動力系統，給出了隨機吸引子存在的充分必要條件，且對吸引子的結構加以刻畫；對確定非自治系統一致吸引子的研究見文獻[9]；近期，源于文獻[9]中的思想，Cui等人在文獻[10]中研究含有確定非自治項隨機偏微分方程關于確定非自治符號一致拉回意義下吸引子的存在性，并給出相應的判定定理； 關于隨機偏微分方程的其他研究見文獻[11-15]。

本文應用文獻[6，13]中的方法，研究式(1)～(2)關于確定非自治符號隨機一致吸引子的存在性。由于式(1)～(2)是定義在全空間上，Sobolev嵌入缺乏緊性，本文采用空間分割的方法，通過在余空間中估計解一致性來得到緊性結果。

令‖·‖和(·,·)分別表示L2(Rn)上的范數和內積，‖·‖p表示LP空間上的范數，字母C表示一般的正常數，其值可以在不同行或同一行有所變化。

1 預備知識

本節給出隨機動力系統的一些概念和理論，詳見文獻[8,10,13,16]。

令(X,d)為可分的Banach空間，X上的非空集間的Hausdorff半距離定義為

對于任意度量空間M,定義B(M)為其上的σ-代數。令(Σ,dΣ)為緊的Polish度量空間，且在下面意義下是不變的：

θtΣ=Σ,?t∈R，

其中θ為光滑的平移算子，滿足：

①θ0是Σ上的恒等算子; ②θs°θt=θt+s,?t,s∈R; ③(t,g)θtg是連續的。

同時，定義(Ω,F,P)為概率空間，定義在其上的動力系統{?t}t∈R滿足：

①?0是Ω上的恒等算子; ②?tΩ=Ω, ?t∈R;

③?s°?t=?t+s, ?t,s∈R; ④(t,ω)?tω是(B(R)×F,F)-可測;

⑤P-保測：P(?tF)=P(F)，?t≤0,F∈F。

分別作用在Σ和Ω上的2個群{θt}t∈R和{?t}t∈R稱為基流。

定義1稱φ(t,ω,g,x):R+×Ω×Σ×XX為定義在X,(Σ, {θt}t∈R)和(Ω,F,P, {?t}t∈R)上的非自治隨機動力系統，如果

①φ是(B(R+)×F×B(Σ)×B(X),B(X))-可測的;

②φ(0,ω,g,·)是X上的恒等映射，?g∈Σ,ω∈Ω;

③對每個固定的g∈Σ,x∈X,ω∈Ω，有如下余圈性質成立:

φ(t+s,ω,g,x)=φ(t,?sω,θsg)°φ(s,ω,g,x), ?t,s∈R+。

令D是X中的隨機集族組成的集合。

定義2稱K=K{K(ω)}ω∈Ω為φ的一致D-吸收集，若對任意ω∈Ω和B∈D，都存在T=T(ω,B)>0，使得

φ(t,?-tω,Σ,B(?-tω))?K(ω)，?t≥T，

其中

稱K=K{K(ω)}ω∈Ω為φ的一致D-吸引集，若對任意ω∈Ω，有

定義3稱定義在Banach空間X上的連續隨機動力系統φ是一致D-漸近緊的，若對任意B∈D，ω∈Ω，{tn}，0

定義4稱隨機集A={A(ω)}ω∈Ω為φ的D-(隨機)一致吸引子，如果A屬于D，且是最小的緊一致D-吸引集。

定義5稱隨機有界集{B(ω)}ω∈Ω關于{?t}t∈R是緩增的，若對所有的β>0,ω∈Ω,滿足

定義6[10]假設φ是關于符號空間Σ和X連續的非自治隨機動力系統。若φ有閉的一致D-吸收集B∈D，且φ在X上是一致D-(拉回)漸近緊的,則φ有唯一的一致D-吸引子A={A(ω)}ω∈Ω∈DX,其中

(6)

②g的殼是平移不變的，即H(g)=θtH(g)，?t∈R；

⑤對任意σ∈H(g)，成立η(σ)≤η(g)。

(7)

2 式(1)～(2) 對應的隨機動力系統

為了定義式(1)～(2)所對應的隨機過程, 考慮概率空間(Ω,F,P)，其中，

Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0}，

F為Ω的緊開拓撲所誘導的Borelσ-代數，P為(Ω，F)下的雙邊Wiener測度。定義變換:

?tω=ω(·+t)-ω(t)，?t∈R,ω∈Ω，

則P是遍歷的且在?作用下具有不變性，見文獻[17]。定義

(8)

則z(ω)是一維Ornstein-Uhlenbeck方程

dz(?tω)+λz(?tω)dt=dω

(9)

的一個穩態解。此外對每個ω∈Ω，z(?tω)關于t連續，隨機變量|z(·)|是緩增的，即對每個ε>0，滿足

(10)

令v(t)=u(t)-hz(?tω), 其中u是問題(1)～(2)的解, 那么v滿足

(11)

初值為

v(x,0)=v0(x)=u0(x)-hz(ω)。

(12)

對每個t≥0,ω∈Ω,g∈H(g0)和u0∈H,令

φ(t,ω,g,u0)=v(t,ω,g,u0-hz(ω))+hz(?tω),

(13)

則φ(t,ω,g,u0)是問題(11)～(12)對應的非自治隨機動力系統。

令DH是H中的緩增集組成的集合,即

易知，DH是包含封閉的吸引域。

3 解的一致估計

為了證明對應于式(1)～(2)的隨機動力系統φ一致DH-吸引子的存在性，需要對式(1)～(2)的解建立一致估計。首先證明φ存在一致DH-拉回吸收集B。

φ(t,?-tω,H(g0),D(?-tω))?B(ω),

其中B(ω)定義為

(14)

C和η(g)為正常數,z(ω)為式(8)給出的緩增隨機變量。

證明在L2(Rn)中用v和式(11)作內積, 得

(15)

對上式進行逐項估計，應用式(3)、(5)和Young不等式，并由p>2，得

(16)

同理，應用式(4)、(5)可得

(17)

注意到

(18)

令λ1=λ-2β1，由式(15)～(18)可得

(19)

由h(x)∈H2(Rn)∩W2,p(Rn)∩L1(Rn)，得

(20)

對式(20)兩邊同乘eλ1t，將ω和g分別替換成?-tω和θ-tg，并在(0,t)上積分，得

(21)

因為v0∈D(?-tω)，由D的緩增性，存在T=T(ω,D)>1，使得

(22)

由式(13)知結論成立。證畢。

(23)

證明令vgn和v分別為方程(11)對應于gn和g的解，令ξ=vgn-v，則

(24)

由式(3)和Young不等式，式(24)右邊第1項可估計為

(25)

其中0<θ<1。由式(4)和Young不等式，式(24)右邊第2項可估計為

(26)

其中0<θ<1。式(24)右邊第3項可估計為

(27)

由式(24)～(27)，可得

(28)

用Gronwall不等式，可得

(29)

證畢。

(30)

證明令ρ為R上的光滑函數，且對任意s∈R+，有0≤ρ(s)≤1，

(31)

(32)

下面對式(32)逐項進行估計。首先有

(33)

注意到

(34)

由式(33)～(34)，可得

(35)

對于非線性項部分有

(36)

如同式(16)～(17)的推導，并應用式(3)～(5)可得

(37)

考慮式(32)右邊最后部分，有

(38)

由式(32)～(38)可得

(39)

對式(39)在(T1,t)上用Gronwall不等式(T1>T)，得

(40)

用?-tω和θ-tg代替ω和g，對所有的t≥T1，有

(41)

下面對式(41)中右邊各項進行估計。首先對右邊第1項，由引理1，存在T2>T1，使得對t≥T2，有

(42)

對于第2項，由式(22)可得，存在R1>0，當k≥R1，t≥T2時，

(43)

同樣，對于第3項，存在R2>0，使得對k≥R2，k充分大，t≥T2時，有

(44)

(45)

由h(x)∈H2(Rn)∩W2,p(Rn)∩L1(Rn)，存在R4>0，當k≥R4時，有

(46)

同樣，對式(41)右邊第5項，有

(47)

令R*=max{R1,R2,R3,R4}，T*=max{T1,T2}，對k≥R*，t≥T*，有

(48)

即

(49)

故

(50)

證畢。

4 一致隨機吸引子的存在性

證明由引理2知，式(1)～(2)的解關于初值Lipschitz連續，應用引理1～3及Aubin-Lions定理，如同文獻[18]中引理2.4的證明即得。

證明由引理1及引理3，并應用定義6即得結論成立。