關于不定方程x2-pqy4=16的正整數解

管訓貴，潘小明

(泰州學院 數理學院，江蘇 泰州 225300)

設p,q為奇素數，m為大于1的整數，滿足q=p+2m。有一類典型的橢圓曲線是

y2=x(x+εp)(x+εq),ε∈{-1,1}

(1)

在確定式(1)的整數點時，曾分解出一種情形：

x=pqa2，x+εp=2spb2

x+εq=2sqc2，y=±2spqabc

此情形最終歸結為討論不定方程

的正整數解。當s=0,1時，此方程的討論比較簡單；而s=2時，則較為復雜?；谏鲜隹紤]，本文討論不定方程

x2-pqy4=16，gcd(x,y)=1，x,y∈N*

(2)

的解。當然，式(2)也是不定方程的基本類型之一[1-3]。本文用初等方法對式(2)的解進行了探究，獲得以下一般性的結果。

1 主要結論

定理設p,q為奇素數，m為大于1的整數，且q=p+2m。若不定方程

X2-pqY2=16，gcd(X,Y)=1，X,Y∈N*

u1≡3(mod 4)，v1≡2(mod 4)

或

u1?3(mod 8)，v1≡4(mod 8)

或

u1?7(mod 8)，v1≡0(mod 8)

則式(2)的解必滿足

y2=un+(p+2m-1)vn，n≥0

根據定理直接可得：

推論1不定方程

x2-33y4=16，x,y∈N*

(3)

僅有解(x,y)=(7,1)和(92,4)。

推論2不定方程

x2-209y4=16，x,y∈N*

(4)

僅有解(x,y)=(15,1)。

推論3不定方程

x2-65y4=16，x,y∈N*

(5)

僅有解(x,y)=(9,1)和(516,8)。

2 一些引理

X2-DY2=M，M∈N*

(6)

(ⅰ)un+2=2aun+1-un，u0=1，u1=a；vn+2=2avn+1-vn，v0=0，v1=b。

(ⅲ)u-n=un，v-n=-vn。

(ⅴ)un+2km≡(-1)kun(modum)；vn+2km≡(-1)kvn(modum)。

引理4[5]設D>0且不是平方數，則不定方程

x2-Dy4=1

(7)

由引理4即得引理5。

引理5不定方程x2-33y4=1僅有正整數解(x,y)=(23,2)。

證明因為33≠1 785,28 560，且v2=23×23為非平方數，故由引理4知，該不定方程至多有一組正整數解。又由232-33×24=1知結論成立。證畢。

類似可證引理6。

引理6不定方程x2-65y4=1僅有正整數解(x,y)=(129,4)。

引理7[6]設p,q為不同的奇素數，若p≡3(mod 4)，q≡3(mod 4)，則不定方程x4-pqy2=1沒有正整數解(x,y)。

引理8[7]設整數a>1，則不定方程

ax2-Dy4=1

(8)

引理9不定方程

x2-836y4=1

(9)

無正整數解(x,y)。

x+1=418r4，x-1=2s4

(10)

或

x+1=2s4，x-1=418r4

(11)

或

x+1=38r4，x-1=22s4

(12)

或

x+1=22s4，x-1=38r4

(13)

這里，s,r∈N*，gcd(s,r)=1，y=rs。

若式(10)成立，則得s4-209r4=-1。取模11，有s4≡-1(mod 11)，不可能。

若式(11)成立，則得s4-209r4=1。由于11≡3(mod 4)，19≡3(mod 4)，故由引理7知，不可能。

若式(13)成立，則得

11s4-19r4=1

(14)

vn=35xn+506yn

(15)

并且有序列：

xn+2=93 102xn+1-xn,x0=1,x1=46 551

yn+2=93 102yn+1-yn,y0=0,y1=3 220

(16)

利用式(16)對式(15)取模8，得v35≡5(mod 8)，即v35不是完全平方數。因此，式(14)無正整數解。證畢。

引理10不定方程

x2-209y4=1

(17)

無正整數解(x,y)。

x+1=1 672r4，x-1=2s4

(18)

或

x+1=2s4，x-1=1 672r4

(19)

或

x+1=418r4，x-1=8s4

(20)

或

x+1=8s4，x-1=418r4

(21)

或

x+1=152r4，x-1=22s4

(22)

或

x+1=22s4，x-1=152r4

(23)

或

x+1=88r4，x-1=38s4

(24)

或

x+1=38s4，x-1=88r4

(25)

這里，s,r∈N*，gcd(s,r)=1，y=2rs。

若式(18)成立，則得s4-836r4=-1。取模11，有s4≡-1(mod 11)，不可能。

若式(19)成立，則得s4-836r4=1。根據引理9知，不可能。

若式(20)成立，則得4s4-209r4=-1。取模11，有4s4≡-1(mod 11)，不可能。

若式(21)成立，則得4s4-209r4=1。取模4，有r4≡-1(mod 4)，不可能。

若式(23)成立，則得11s4-76r4=1。取模4，有s4≡-1(mod 4)，不可能。

若式(25)成立，則得19s4-44r4=1。取模4，有s4≡-1(mod 4)，不可能。

因此，式(17)無正整數解。證畢。

3 定理的證明

因為(p+2m-1)2-p(p+2m)·12=16，且不定方程

X2-pqY2=16,gcd(X,Y)=1,X,Y∈N*

(26)

僅有2個非結合類的解，所以根據引理2，式(26)的一般解可表示為

或

若式(2)有解，必有n，使得

y2=±(un+(p+2m-1)vn)

或

y2=±(un-(p+2m-1)vn)

=±(u-n+(p+2m-1)v-n)

當n≥0時，un+(p+2m-1)vn>0；當n<0時，un+(p+2m-1)vn<0。因此可歸結為：

y2=un+(p+2m-1)vn，n≥0

(27)

或

y2=-un+(p+2m-1)vn，n>0

(28)

由引理3的(ⅰ)知：

un+2=2aun+1-un，u0=1，u1=a

(29)

vn+2=2avn+1-vn，v0=0，v1=b

(30)

當u1≡3(mod 4)，v1≡2(mod 4)時，對式(29)取模4，得剩余序列的周期為2：1,3，…；對式(30)取模4，得剩余序列的周期為2：0,2，…。此時，式(28)成為y2≡3(mod 4)，不可能。

當u1≡1(mod 8)，v1≡4(mod 8)時，對式(29)取模8，得剩余序列的周期為1：1,1，…；對式(30)取模8，得剩余序列的周期為2：0,4，…。此時，式(28)成為y2≡7,3(mod 8)，不可能。

當u1≡5(mod 8)，v1≡4(mod 8)時，對式(29)取模8，得剩余序列的周期為2：1,5，…；對式(30)取模8，得剩余序列的周期為2：0,4，…。此時式(28)成為y2≡7(mod 8)，不可能。

當u1≡7(mod 8)，v1≡4(mod 8)時，對式(29)取模8，得剩余序列的周期為2：1,7，…；對式(30)取模8，得剩余序列的周期為2：0,4，…。此時，式(28)成為y2≡7,5(mod 8)，不可能。

當u1?7(mod 8)，v1≡0(mod 8)時，式(28)成為y2≡3,5,7(mod 8)，也不可能。

證畢。

4 推論的證明

先證推論1。若2|y，則有4|x。令x=4x1，y=2y1，則式(3)可化為

(31)

根據引理5，式(31)給出x1=23，y1=2。此時可得式(3)的解為(x,y)=(92,4)。

y2=un+7vn，n≥0

(32)

根據引理3，有

un+2=46un+1-un，u0=1，u1=23

(33)

vn+2=46vn+1-vn，v0=0，v1=4

(34)

v2n=2unvn

(35)

(36)

u-n=un，v-n=-vn

(37)

un+2km≡(-1)kun(modum)

vn+2km≡(-1)kvn(modum)

(38)

約定：下文中“T”表示取模所得剩余序列的周期。

利用式(33)和式(34)，對式(32)取模151，得T=8，且當n≡1,4,6,7(mod 8)時，y2≡51,150,71,146(mod 151)均為模151的平方非剩余，故排除，剩n≡0,2,3,5(mod 8)。

對式(32)取模7，得T=8，且當n≡3,5(mod 8)時，y2≡5(mod 7)為模7的平方非剩余，故排除，剩n≡0,2(mod 8)，即n≡0,2,8,10,16,18(mod 24)。

對式(32)取模433， 得T=24，且當n≡2,8,10(mod 24)時，y2≡180,344,231(mod 433)均為模433的平方非剩余，故排除，剩n≡0,16,18(mod 24)。

對式(32)取模1 153，得T=48，且當n≡16,40(mod 48)時，y2≡964,189(mod 1 153)均為模1 153的平方非剩余，故排除n≡16(mod 24)，剩n≡0,18(mod 24)，故n≡0(mod 6)。

若n≠0，可設n=2×3t(3k±1)(t≥1)，并取m=3t，則m≡3(mod 6)。

利用式(37)和式(38)，可將式(32)化為

y2≡±(u±2m+7v±2m)

≡±(u2m±7v2m)(modu3m)

(39)

矛盾。因此n=0。代入式(32)，得y=1。此時可得式(3)的解(x,y)=(7,1)。

綜上，方程(3) 僅有解(x,y)=(7,1)和(92,4)。證畢。

再證推論2。若2|y，則有4|x。令x=4x1，y=2y1，則式(4)可化為

(40)

根據引理10，式(40)無正整數解，故此時式(4)無解。

y2=un+15vn，n≥0

(41)

根據引理3，有

un+2=93 102un+1-un，u0=1,u1=46 551

(42)

vn+2=93 102vn+1-vn，v0=0,v1=3 220

(43)

v2n=2unvn

(44)

un+2km≡(-1)kun(modum)

vn+2km≡(-1)kvn(modum)

(45)

利用式(42)和式(43)，對式(41)取模59，得T=4，且當n≡1,2(mod 4)時，y2≡38，58(mod 59)均為模59的平方非剩余，故排除，剩n≡0,3(mod 4)，即n≡0,3,4,7,8,11,12,15,16,19(mod 20)。

對式(41)取模41，得T=40，且當n≡3,23,8,28,12,32,16,36,19,39(mod 40)時，y2≡14,27,12,29,6,35,30,11,27,14(mod 41)均為模41的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4,7,11,15(mod 20)。

對式(41)取模281，得T=40，且當n≡7,27,11,31,15,35(mod 40)時，y2≡21,260,104,177,278,3(mod 281)均為模281的平方非剩余，故排除n≡7,11,15(mod 20)，剩n≡0,4(mod 20)。

對式(41)取模601，得T=40，且當n≡4,24(mod 40)時，y2≡7,594(mod 601)均為模601的平方非剩余，故排除n≡4(mod 20)，剩n≡0(mod 20)。

利用式(45)，可將式(41)化為

y2≡±(u2m+15v2m)

≡±15v2m(modu2m)

(46)

考慮到2|m時，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)。令2s‖vm，結合式(44)，則式(46)可化為

(47)

綜上，方程(4)僅有解(x,y)=(15,1)。證畢。

最后證推論3。若2|y，則有4|x。令x=4x1，y=2y1，則式(5)可化為

(48)

根據引理6，式(48)給出x1=129，y1=4。此時可得式(5)的解為(x,y)=(516,8)。

y2=un+9vn，n≥0

(49)

根據引理3，有

un+2=258un+1-un,u0=1,u1=129

(50)

vn+2=258vn+1-vn,v0=0,v1=16

(51)

v2n=2unvn

(52)

(53)

u-n=un，v-n=-vn

(54)

un+2km≡(-1)kun(modum)

vn+2km≡(-1)kvn(modum)

(55)

利用式(50) 和式(51)，對式(49)取模29，得T=14，且當n≡1,2,3,5,6,8,9,10,12,13(mod 14)時，y2≡12,21,12,14,15,17,8,17,15,14(mod 29)均為模29的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4,7,11(mod 14)，即n≡0,4,7,11,14,18,21,25(mod 28)。

對式(49)取模43，得T=4，且當n≡2,3(mod 4)時,y2≡42,28(mod 43)均為模43的平方非剩余，故排除n≡7,11,14,18(mod 28)，剩n≡0,4,21,25(mod 28)，即n≡0,4,21,25,28,32,49,53(mod 56)。

對式(49)取模503， 得T=56，且當n≡25,28,32,49(mod 56)時，y2≡248,502,358,93(mod 503)均為模503的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4,21,53(mod 56)。

對式(49)取模4 817，得T=56，且當n≡4,21,53(mod 56)時，y2≡1 644,3 726,3 233(mod 4 817)均為模4 817的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 56)，從而n≡0(mod 14)。

對式(49)取模37，得T=3，且當n≡1,2(mod 3)時，y2≡14,22(mod 37)均為模37的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 3)。結合n≡0(mod 14)，可得n≡0(mod 42)。

(ⅰ)k≡1(mod 3)時，令

則m≡3(mod 12)。

利用式(55)，可將式(49)化為

y2≡±(u2m+9v2m)(modu3m)

(56)

(57)

(ⅱ)k≡-1(mod 3)時，令

則m≡9(mod 12)。

利用式(54)和式(55)，可將式(49)化為

y2≡±(u2m-9v2m)(modu3m)

(58)

(59)

(60)

因此n=0。代入式(49)得y=1。此時可得式(5)的解(x,y)=(9,1)。

綜上，方程(5)僅有解(x,y)=(9,1)和(516,8)。證畢。