對空間碎片近距隨遇懸停的控制方法及懸停燃耗分析

中國空間技術研究院 通信衛星事業部，北京 100094

對空間碎片的檢視、抓捕或操控需要使用“懸?！奔夹g，使任務航天器相對于空間碎片在指定坐標系中，長期穩定地靜止于某個固定點[1]。該固定點可能位于空間碎片軌道平面內，也可能位于軌道平面外。這種懸停不僅有利于開展類似于“鳳凰計劃[2]”的空間碎片再利用任務，還將有利于開展大規模航天器的在軌組裝。

對于定點懸停，林來興[3]等研究了衛星對空間目標懸停的軌道動力學與控制方法，主要解決了面內懸停的控制建模。程博[4]等推導了航天器多脈沖懸停速度脈沖控制量的計算方法，相比于近距檢視操控中的懸停要求，懸停精度仍有待提升。對于懸?？刂贫?，顯然更關心控制能量消耗[5]。另一方面，國內外的大多數研究主要集中在懸?？刂品椒ǚ矫?，通過控制所需速度增量計算燃耗量[6-9]，對于燃耗的數學模型、不同燃耗速率分布區域的分析尚不夠精準和直觀。如朱亞文、閆野[5,9]等研究了圓軌道或橢圓軌道條件下，對空間碎片任意位置懸停的非開普勒軌道開環控制方案及控制加速度，并給出了千米級距離上的懸停燃耗分析。

然而，在超近距離(15 m以內[10])高分辨率檢視或精細操控任務中，為建立嚴格相對靜止條件，要求任務星定點精度高(誤差不大于0.1 m)，定點的時間長，燃耗預測精度高。此外，考慮到任務星可能會從多種方位觀測或操控碎片本體，可定點的懸停位置具有全方位懸停要求和安全距離約束。因此，有必要整體研究任務星的懸停位置、懸停時長、懸停燃耗三者的耦合關系，并進一步研究在全方位懸停要求和安全距離約束條件下懸停的最省與最費燃耗問題。這一研究將可用于指導在軌操控任務星的總體設計，牽引多種在軌操作手段，提升在軌服務任務多樣性能力。

本文研究任務星采用連續推力作用下進行近距離(100～1 m)任意定點懸停(稱為隨遇懸停)的抵近控制模型及相應的燃耗數學模型。文章首先分析了近距定點懸?？刂频目尚行院涂刂品椒?。然后根據控制方法分析了懸停任務星的推控要求。接下來分析了近距隨遇懸停的可能的推控分系統配置，最后建立了長時近距隨遇懸停的燃耗的解析模型及燃耗速率變化的解析模型。

1 懸?？尚行苑治?/h2>

1.1 定點懸停的可行性分析

圖1 空間碎片軌道坐標系Fig.1 Illustration of hovering in close range to space debris

(1)

x(t)=cx,y(t)=cy,z(t)=cz

所需要的軌道保持力為[12]:

(2)

式(2)說明，隨遇定點懸停是可行的。關于定點保持所需的控制力，在不計擾動的情況下，可以得出結論：1)懸停星所需保持力沿兩正交方向，分別為軌道系下的X向和Z向；2)保持力的大小與質量、相對位置坐標值成正比。

1.2 近距隨遇懸停的控制方法設計[13-14]

(3)

式(1)、式(3)兩式相減，得到：

(4)

(5)

定常性含義為：僅與空間碎片的軌道高度和期望保持的相對位置有關。常值項推力可表述為：

(6)

(7)

則狀態方程演化為：

(8)

(9)

式中：K為反饋系數矩陣。則狀態方程演化為：

(10)

其中，

綜上，結合式(7)分析，任務星的推力控制需求為：1)長時連續推力；2)可變推力。相應地，控制量應由兩部分推控貢獻組成：反饋變推力和常值項推力。

2 近距懸?？刂频倪B續推力需求分析[14]

考慮橢圓軌道因素和攝動因素后，常值項推力和反饋變推力將相應發生一定變化，以下開展詳細分析。

2.1 常值項推力量級分析

以下分析常值項推力量級，以及考慮橢圓軌道因素后，常值項推力的需求變化。參照式(6)，空間碎片星上單位質量所需常值項推力具有如下形式：

(11)

很容易看出單位質量的常值項推力與懸停位置的X向、Z向距離的關系為線性相關，且相互獨立。單位質量的常值項推力隨空間碎片的地心距的關系如圖2所示。

從圖2可以看出：1)在一定軌道高度，Fxconst、Fzconst隨相對懸停的距離增大而線性增加；2)若要保持一定懸停距離，Fxconst、Fzconst隨著軌道高度的升高而降低?？紤]式(6)，有：

(12)

常值項推力僅分量Fxc、Fzc存在。Fxc、Fzc除具有與Fxconst、Fzconst一致的特性之外，還與任務星質量線性相關。

圖2 任務星單位質量所需的保持常值項推力Fig.2 Constant thrust for per kilogram of hovering satelllite

表1比較了不同任務星質量的條件下，Fxc、Fzc在近地軌道和同步軌道的量級變化。

這里應注意，所謂“常值項推力”意指質量不變、定點位置不變時推力保持常值。若考慮質量發生變化，如燃料消耗過程，該推力將發生變化。變化規律與質量呈線性關系，如式(12)所示。

2.2 橢圓軌道因素對常值項推力的影響分析

|Fxconst|min≤|Fxconst|≤|Fxconst|max

(13)

|Fzconst|min≤|Fzconst|≤|Fzconst|max

(14)

由前分析已知，Fxconst、Fzconst的大小在同步軌道高度達到最小值，在軌道高度的下限(如近地軌道)達到最大值，因此可認為：

(15)

表1 不同任務星質量的條件下，Fxc、Fzc在近地軌道和同步軌道的量級

(16)

因此，空間碎片軌道為橢圓軌道、且近地點高于300 km的情況下，Fxc、Fzc將分別在表1所示的每一項懸停位置的最大、最小值之間變化。

2.3 攝動因素分析

任務星受到擾動，會偏離需要的保持位置。在軌航天器受到的擾動力主要包括地球J2項攝動、月球引力、光壓力等，其中地球J2項攝動的影響較為明顯[15-17]。

對于近距懸停的軌道控制，任務星偏離期望保持位置的運動現象，主要由空間碎片受到的J2項攝動力和任務星受到的J2項攝動力的差造成[12]。由于任務星在空間碎片附近很小范圍內(100 m內)懸停，地球J2項攝動施加在空間碎片和任務星的差別,與近距懸停所需的控制力相比很小，故可認為在懸停保持時，引起任務星偏離某平衡位置的擾動力很小[12,15-17]。以下以ΔaJ2表示J2項攝動力在任務星和空間碎片上引起的加速度的差。

日、月對于同步軌道衛星的攝動力與地球中心引力之比分別是0.75×10-5和1.63×10-5 [15-17]。100 m近距域內，任務星的地心距和空間碎片的地心距的差達到最大值100 m時，有：rs=rm±0.1 km，此時太陽攝動力在任務星和空間碎片上引起的加速度的差為：

7.964 4×10-12m/s2

(17)

同理，100 m近距域內，任務星由于受到月球攝動力引起的、與空間碎片的加速度差最大為：

1.730 9×10-11m/s2

(18)

根據式(5)，可知在考慮攝動因素時的狀態方程為：

(19)

τ=Δamoon+Δasun+ΔaJ2

(20)

可見，由日月攝動力引起的相對加速度，與近距懸停所需的連續推力引起的加速度相比，具有較小的量級(以100 m處近距懸停為例，連續推力引起的加速度為10-6m/s2量級，見表1)，故研究動力學控制(式(8))時，將日月攝動力、J2項攝動力視作小量級的擾動予以忽略是合理的。

綜上，在進行近距懸停的動力學分析時，地球J2攝動和日月引力攝動可以視為小量級擾動予以忽略。

2.4 攝動因素對反饋變推力的影響分析

在不計擾動時，任務星在期望保持的懸停位置處，僅需常值項推力即可實現定點懸停。

考慮擾動因素影響，在任務星受到小量級的擾動(日月攝動及J2項攝動)之后，反饋控制推力糾正由擾動引起的位置偏差，在長時間的懸停過程中，反饋控制將體現出利亞普諾夫漸進穩定的效果[13]，任務星將保持在平衡位置附近小的臨域之內，由此可認為反饋控制推力與擾動力是處于同量級的。

綜上，定點懸停所需連續推力的主要部分為：常值項推力。常值項推力量級與懸停位置和空間碎片實時的軌道高度相關(見表1)。

3 近距隨遇懸停的燃耗分析

3.1 定點懸停的應用場景設想

定點懸停將會用于對空間碎片詳察檢視或抓捕操控任務中。根據前述的分析，采用狀態反饋，任務星需要具有測量相對位置坐標的能力。這一能力需求可以由具有測距、測方位角能力的相對測量系統滿足，通過測距、測方位角可以推算得出相對位置坐標。

相對位置坐標的精度將高于定點懸停的控制精度。如果定點懸停精度要求嚴苛，如誤差不高于0.1 m，則相對位置坐標的測量誤差將必須低于0.1 m， 由此，高精度定點懸停對相對距離和相對方位提出了高精度測量的要求。

相對距離可以由激光測距獲得，在100 m以內范圍，激光測距可以獲得厘米級的誤差。而要獲取相對方位信息，任務星可以通過單目高分辨率相機成像或雙目相機觀測[18]，獲得空間碎片視線方位信息，該視線方位信息在相機坐標系下表述，再進一步通過坐標變換可將視線方位信息轉換至任務星軌道系下。任務星軌道坐標系與空間碎片的軌道坐標系保持一致。通過任務星軌道系下空間碎片的視線方位信息可得出空間碎片軌道系下，任務星的相對方位信息。此外，任務星上光學系統單目或雙目相機還可兼顧對目標的監視觀測等任務[19]。

因此，任務星上配置激光測距儀和高分辨率相機或雙目相機是一種有效的工程方案。其中相機的分辨率指標要求源于視線方位信息的測量精度要求，將在后續工作中繼續開展研究論證。

3.2 長時懸停推控分系統配置

懸停燃耗由推力器長時點火引起。而推力的主要組成部分為常值項推力,故常值項推力引起的燃料消耗將占據懸停期間燃料消耗的絕大部分。

根據式(6)中的推力表述，懸停星需要沿軌道坐標系X向和Z向的常值推力。工程中可采用設計方案如下：沿X向、Y向和Z向分別布置推力器噴管，Y向噴管僅提供反饋變推力，X向和Z向噴管提供常值推力和反饋變推力。推控噴管配置示意如圖3所示。根據第2節的分析，長時定點懸停中，任務星將保持在平衡位置附近小的臨域之內，可認為反饋控制推力與擾動力是處于同量級的[14]。這一量級遠小于常值項推力。噴管推力的主要組成部分應為常值項推力，圖3中標示的常值項推力分量分別為Fxc、Fzc。

圖3 任務星推控噴管配置示意Fig.3 Illustration of nozzle configuration for close-range hovering satellite

實現連續可調小推力是懸?？刂品椒▽ν屏μ岢龅囊?。達到10-2～10-7N量級(見表1)的連續可調節推力將面臨一定工程難度。一種工程上較為成熟的方法是脈寬調制控制。在懸停時間內，脈寬調制的推力總沖量與連續可變推力的總沖量相等。因此，不論在工程中采用連續可調節小推力還是采用脈寬調制，均可以根據連續可變小推力計算懸?？倹_量。

噴管的連續可變小推力主要組成部分應為常值項推力，懸?？刂迫己闹饕沙Ｖ淀椡屏σ?。因此，可以根據常值項推力計算懸?？倹_量。

懸?？倹_量可表述為：

(21)

3.3 長時懸停燃耗建模

根據常值項推力計算懸?？倹_量實際為理想條件下的沖量需求。由理想條件下的沖量需求可以計算理想條件下的燃耗需求。懸停時長為t的懸停燃耗可表述為：

(22)

式中：ISP為推控發動機比沖；g為重力加速度。

考慮攝動等因素時，由于應對攝動的反饋控制推力遠小于常值項推力，應對攝動的燃料量將遠小于理想條件下的燃耗需求。因此，上式可近似作為任務星的懸?？刂迫己男枨?。

瞬時質量流量：

(23)

將式(6)代入式(23),得到：

(24)

隨著懸停時間的增加，燃料不斷消耗，整星質量ms(t)逐漸較?。?/p>

(25)

式中：m0為懸停開始時刻的總質量。于是得到：

(26)

初始條件：

(27)

對式(26)求導數得：

(28)

(29)

解微分方程得:

(30)

意味著：

(31)

式(31)具有解析形式，精確描述了燃耗速率的變化規律。求解該微分方程，并利用初始條件式(27)得：

Δm(t)=

(32)

懸停開始后，在t時刻消耗掉的燃料由式(32)計算得出。式(32)具有解析形式，精確描述了懸停期間燃耗的變化規律。式(32)可變換為以下形式：

(33)

式(33)表明，懸停星的燃料占比決定了在空間碎片附近某處的懸停時長。用于懸停的燃料占比越大，越有利于長時間懸停。

根據式(33)，如果設定任務星懸停位置為x0=-30 m,z0=10 m，則可得出10天時間跨度上的懸停燃耗趨勢，如圖4所示。其中，任務星在懸停初始時刻的總質量2 000 kg(參照美MEV飛行器)，控制推力器的比沖設定為300 s。

圖4 任務星懸停位置為x0=-30 m,z0=10 m時，在240 h內的燃耗分析Fig.4 Fuel consumption of a hovering satellite in the vicinity of a debris with x0=-30m,z0=10m

式(31)～(33)可用于指導近距懸停衛星的總體設計。

綜上，分析得出以下結論：

1)懸?？刂迫己闹饕沙Ｖ淀椡屏σ?；

2)懸?？刂迫己目捎山馕鰯祵W模型描述(式(32))；

3)用于懸停的燃料占比決定任務星在空間碎片附近某處的懸停時長(式(33))；

4)比沖越大，將使得懸停燃耗速率更低(數學關系見式(31))，有利于延長懸停時間；

5)減小懸停位置的X向和Z向距離，將使得懸停燃耗速率更低(數學關系見式(31))，有利于延長懸停時間；

6)軌道高度越高，懸停燃耗速率越低(數學關系見式(31))，越有利于延長懸停時間。

3.4 滿足安全距離和懸停方位要求的懸停燃耗

開展懸停星燃耗分析時，應主要分析在半徑為r0的球面之外的空間中，不同懸停位置的懸停燃耗速率。設：

P0=(|3x0|+|z0|)

(34)

則式(34)表征了軌道坐標系中的一簇等值面，等值面與Y軸平行，形成了四棱柱形態的包絡空間。根據式(31)，對于一定值的P0，在四棱柱與Y軸平行的4個平面上任意點懸停(見圖5)，具有相同的燃耗速率函數。4個平面與Y軸距離越接近，則燃耗速率函數值越低。以下稱與Y軸平行的4個平面為懸停燃耗等速面。

圖5 安全距離與四棱柱形包絡空間示意Fig.5 Illustration of safe distance and enveloping space of quadrangular prism

將懸停燃耗等速面上的懸停燃耗速率記為CH。根據式(31)，有：

(35)

在四棱柱內部、球面外部空間的任意點處懸停，懸停燃耗速率標記為CI，?t，必然有CI≤CH。相比于在四棱柱外部空間的任意點處懸停，懸停燃耗速率標記為CO，?t，必然有CO≥CH。

取四棱柱平面及其內部、球面及其外部空間為懸?？臻g，則懸?？臻g已經能都滿足安全距離約束和懸停方位要求。在懸?？臻g外部的點的懸停燃耗速率將大于懸?？臻g內部點的懸停燃耗速率。CH為安全距離約束和懸停方位要求同時得以滿足時，允許的最小燃耗速率函數。

綜上，考慮懸停星的燃耗需求，有理由以切點處懸停的燃耗速率CH為基準，結合懸停時長要求，分析安全距離約束和懸停方位要求同時得以滿足時，懸停燃耗需求的下限。

式(35)中，P0滿足以下幾何關系(見圖6)：

考慮到l22=l12+r02，可得：

(36)

進一步可得：

(37)

(38)

綜上，關于懸停位置的討論可得出以下初步分析結論：

1)懸停星檢視與操控，懸停星應設立安全距離約束；

2)懸停星檢視與操控，具有在空間碎片附近全方位懸停的需求；

3)安全距離約束和懸停方位要求同時得以滿足時，存在允許最小燃耗速率函數(式(37))，可用于指導分析懸停所需推進劑的下限值(式(38))。

圖6 安全距離與四棱柱形包絡空間截面Fig.6 Cross section of safe distance and enveloping space of quadrangular prism

4 結束語

本文分析了近距離隨遇懸停的控制方法，根據控制方法分析了近距懸停的推力需求：常值推力和反饋變推力。接著分析了近距隨遇懸停的應用場景、推控分系統可能的配置，建立了長時近距隨遇懸停的燃耗變化的數學模型，以及滿足安全距離和懸停方位要求的懸停燃耗模型。綜上，本文得出以下結論：

1)基于狀態反饋理論可設計空間碎片近距范圍內任意點的定點懸?？刂品椒?式(7)(9)),具有長時、連續、變推力等特點。所需控制量為常值項推力和反饋變推力控制量的和。

2)常值項推力引起的燃料消耗將占據懸停期間燃料消耗的絕大部分。

3)懸?？刂迫己募叭己乃俾士捎山馕鰯祵W模型描述(式(31)(32))。這兩項數學模型精確描述了懸停燃耗及燃耗速率受到：懸停時長、懸停開始時刻的整星總質量、發動機比沖、懸停位置、空間碎片軌道高度等要素的影響，可用于指導任務星燃耗預測和總體設計。

4)懸停星在安全距離約束和懸停方位要求同時得以滿足時，存在允許最小燃耗速率函數(式(37))，可用于指導分析懸停所需推進劑的下限值(式(38))。

后續將結合具體任務，研究懸停期間姿態軌道一體控制方法，結合具體案例分析懸停燃耗特性。