對幾個數學問題的思考

張承宇

(深圳市中小學學科競賽學會 518001)

有幾個常見的數學問題流傳很廣，長期以來，有些老師以及某些數學參考資料對這些問題的分析與解答有的有誤，有的分析片面，對學生造成很不好的影響.筆者認為，現在有必要對這幾個問題予以澄清，以正視聽.下面談談筆者對這幾個問題的思考.

1.不久前，筆者看到一道有趣的“字謎”測試題：

(a+c+e+g)×(b+d+f+h)

的值是.

答案是280.

原標準解答是：如果有一個十位數字大于4，至少是5，則十位數字之和不小于1+2+3+5=11，因此個位數字之和將不超過18. 此時4個個位數最小和為4+6+7+8=25 ，矛盾！因此十位數字不能大于4，故4個不同的十位數字只能是1,2,3,4. 進而可知個位數字只能是5,6,8,9. 故

(a+c+e+g)(b+d+f+h)=(1+2+3+4)×(5+6+8+9)=10×28=280.

筆者認為，上述解答不夠完整，它只說明了必要條件，對這種解答，我們提出二個問題：一. 是否存在四個二位數，其和為128? 二. 符合條件的四個數，是唯一存在的嗎？

對學生進行問題講解時 ，必須講清楚上述兩個問題.

如果能舉出一個例子，這兩個問題都解決了.如：19+28+36+45=128.

這里舉出實例“19+28+36+45=128”很重要，因為，前面所述的推理只能說明答案有可能是280，但是，不代表一定存在結果等于128的算式.當然，作為填空題，我們看不到考生的解答過程.

2.小賣部規定4個汽水瓶可以換1瓶汽水，鵬程幼兒園大班小張阿姨買了21瓶汽水，喝完后再用空瓶去換……結果班上每位小朋友剛好每人一瓶，那么該班有______名小朋友.

筆者看到的解答是：先將21瓶汽水喝完，用其中20個空瓶換5瓶汽水，喝完；現在有6個空瓶，再用其中4個空瓶又可以換1瓶汽水，喝完；此時還有3個空瓶，然后借1瓶汽水喝完，將四個空瓶抵1瓶汽水還給店主.故班上共有21+5+1+1=28(人).

當下流行的這種解答，甚至上了電視娛樂節目，當主持人說道“先借一瓶汽水，喝完后還店主4個空瓶”，場下掌聲雷動.殊不知，這不應該是一個真正的數學老師的解法.

下面筆者給出一種更為合理，更有數學味的解答：

解： 4個空瓶換1瓶汽水，等價于3個空瓶可以喝1瓶汽水(不要店主的瓶)，那么，21個空瓶可以喝到7瓶汽水， 21+7=28，因此，班上共有28人.

3.筆者本人1996年原創的一道題目，發表在《數學通報》1996年第10期“數學問題解答”欄目，答案發表在第11期上. 即以下

題1038在正方形紙片上有1996個點，加上正方形的頂點共2000個點，且這些點中任意三點都不在一條直線上，現在以這2000個點為頂點，將正方形紙片剪開，問最多能剪成多少個三角形紙片？

題目慢慢傳開后，就出現了一種錯誤的解法(以下解法一)，大多數老師和學生都是這樣做的：

解法一：如圖，紙上有一個點，最多可剪4個小三角形，如果增加一個，則這個點必在某個三角形內部，不會在邊上，因為沒有三點共線，這樣，就把該三角形一分為三，增加了2個三角形，……，如此推知，最多可以剪出

4+2×(1996-1)=3994

個三角形.

為什么這個解答是錯的(盡管最后答案是正確的)？因為這種剪法只是千千萬萬種剪法中的一種，你怎么能證明別的剪法不會剪出更多的小三角形？若紙片上有兩個點，就會出現以下不同的剪法：

正確的解法應該是：

解法二： (刊于《數學通報》1996年第11期“數學問題解答”欄目)

易知，在剪成的三角形紙片上不應該再有點，否則三角形個數不是最多.現在計算所有這些三角形內角和.為此將它們重新拼成正方形，發現這些角分為兩類：一是以正方形的4個頂點為頂點的，再是以1996個內點為頂點的，對于前者，這些角拼成了4個直角，對于后者，這些角拼成1996個周角.所以總和為90°×4+360°×1996.因此三角形個數為

解法三： 設正方形紙片上有n個點時，最多可以剪出an個小三角形，則a1=4，an+1=an+2.從而有

a1=4，a2=a1+2，a3=a2+2，……，an=an-1+2，

將上述n個式子左右兩邊分別相加，得到

an+1=2n+2，

于是，有a1996=2×1996+2=3994.

解法三與錯解(解法一)的根本區別在于，an是n個點時所有剪法中剪出最多的小三角形的個數.

4.二十多年前，我來到深圳中學工作，教初一超常班，那時候市面上到處都是北京海淀區出的教學資料，上面有一道題：絕對值不超過100的全體整數之和是多少？答案為0.第二年該書再版，原作者把這道題改為：絕對值不超過100的全體有理數之和是多少？答案仍為0！殊不知，這一改就成了一道錯題了！

下面請聽我慢慢道來：

①

②

可見0

下面有點像變戲法：

由此得到

現在把將式③和式④左右兩邊對應位置上的數分別相加，得到

觀察式③和式⑤，只是運算順序不同(用了加法交換律)，但是，左邊卻明顯不相等，就是說，交換數的運算順序，所得結果變了！

這是什么原因？

現在回到前面，絕對值不超過100的全體有理數有無窮多個，運算的順序不同，其和就不一樣.如果我們把“有理數”改成“實數”，那就更錯了，因為實數是不可列的，根本無法相加！書的作者可能不知道黎曼定理，因此造成錯解.這里，我們建議師范院校數學課本涉及內容可以更寬更廣，但不必太深.