由數學問題2268引發的研究

楊先義 賴源霞

(湖北省公安縣第一中學 434300)

《數學通報》2015年10月號問題2268[1]：

供題人柳冉同學給出的解答技巧性較強，過程曲折精彩．崔志榮老師在文[2]中從揭示問題的本質出發給出了另外一種解答，很有啟發性，并在文末提出了2個猜想．黃盛清老師在文[3]中另辟蹊徑，從方程的角度給出了又一個精彩解答，并在文末再次提出了能否將(1)式一般化的問題．本文首先給出一個更為直接的證明，然后將(1)式一般化，從而也證明了文[2]提出的猜想．

證明可證正弦的7倍角公式：

sin 7α=-64sin7α+112sin5α-56sin3α+7sinα．

-64x6+112x4-56x2+7=0．

下面考慮一般情形．

我們有如下結果：

sin 2α=2sinαcosα，

sin 3α=-4sin3α+3sinα，

sin 4α=2sinα(2cos3α-cosα)，

sin 5α=16sin5α-20sin3α+5sinα，

sin 6α=2sinα(16cos5α-16cos3α+3cosα)，

sin 7α=-64sin7α+112sin5α-56sin3α+7sinα，

sin 9α=256sin9α-576sin7α+432sin5α-120sin3α+9sinα．

這些結果似乎表明α的奇數倍的正弦展開式才是sinα的函數，而sin(4n-1)α與sin(4n+1)α的展開式又有很大不同．來看一般情形，

令x=sinα，y=cosα，由平方關系，有

y2=1-x2，以下n為正整數．

一方面，由棣模弗定理，有

(y+ix)4n-1=cos(4n-1)α+isin(4n-1)α，

另一方面，由二項式定理，有

因為i2=-1，i3=-i，i4=1，所以，比較虛部得

顯然這是一個關于x的4n-1次多項式，偶次冪的系數全為0，最高次的系數由各項的最高次系數合并得到：

=-24n-2，

x4n-3系數為

=(4n-1)24n-4，

因此，上述多項式可表示為

f(x)=-24n-2x2n-1+(4n-1)24n-4x2n-2-…+(4n-1)，

有sin(4n-1)α=0，

滿足關于x的4n-1次方程f(x)=0，

滿足2n-1次方程

f(x)=-24n-2x2n-1+(4n-1)24n-4x2n-2-…+(4n-1)=0

由根與系數的關系，有

用同樣的方法可得

sin(4n+1)α=24nx4n+1-(4n+1)24n-2x4n-1+…+(4n+1)x，

綜上所述，我們得到

這樣就完全證明了文[2]中的猜想1和猜想2.