具有三角結構的不確定混沌系統的自適應神經網絡投影同步

劉鳳艷

混沌同步是非線性科學中的一個重要課題，在過去的20 年中得到了廣泛的關注［1-3］.混沌同步可廣泛用于物理學、工程科學、安全通信等領域［4-8］.投影同步作為一種同步方法，由于其具有比例特性，能夠獲得更快的通信速度，近年來得到了廣泛的研究.投影同步是指主驅動系統和響應系統可以同步到比例因子上.文獻［9］和文獻［10］提出了一類具有非線性輸入的混沌系統的同步控制系統，設計了一個具有死區和扇區非線性的蔡氏混沌系統在兩個限制性假設下的自適應投影同步系統.然而，在許多實際情況下，某些系統的模型并不能被事先準確地知道，并且由于這些不確定因素的影響，同步會被破壞.因此，研究具有系統不確定性的無序系統的投影同步是至關重要的.幸運的是，自適應控制對于未知參數混沌系統是一種有效的同步方法.

本文研究了一類具有三角結構和系統不確定性的主從混沌系統的一種實用的投影同步方法.在控制器的構造中，不需要知道系統不確定項的先驗知識.

1 預備知識

神經網絡是一種多層網絡，由于其強大的函數逼近能力，通常被用作非線性函數建模的工具，其表達形式如下：

其中：k=1,2,…,m，n,h和m分別是輸入層、隱藏層和輸出層中的神經元數目，則神經網絡可以表示為

引理1 設f(x)是緊集上定義的連續函數，那么對于任何標量ε＞0，存在一個神經網絡系統如（6）式，且滿足

2 問題陳述

考慮如下形式的主混沌系統：

其中：x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn為系統的狀態向量，f(x)為非線性連續函數.

其中：

對應的從系統為

其中：u∈R是控制器，d(t)是外部干擾.

本文的目的是構建一種自適應神經網絡控制器，使系統（1）和（2）能夠實現投影同步.所謂函數投影同步，指的是

這里γ≠0 是一個常數.

3 主要成果

將同步誤差定義為

通過同步誤差的

其中：λ＞0，H(s)=λn-1+(n-1)λn-2s+…+sn-1是Hurwitz多項式，方程（9）可以寫成（10）式的形式.

其中：Cλ=[λn-1,(n-1)λn-2, … ,(n-1)λ, 1]T.

這個動態量s可以寫成如下形式：

其中：C=[0,λn-1,(n-1)λn-2, … ,(n-1)λ]T.

基于主混沌系統（4）和從系統混沌（6），方程（11）可改寫為

其中：α(x,y)=f(x)-γf(y)-γd(t)是一個未知的非線性函數.因為α(x,y)是未知的，可以通過神經網絡系統（2）對其進行逼近，定義

這里δ是一個近似誤差.由引理1，存在常數ε＞0，使得 ||δ≤ε，通過化簡可以得到

其中：l是一個正常數.

根據上述討論，同步控制器可以寫成如下形式：

其中：k＞0 是設計參數，τ?未知模糊系統參數τ=‖ ‖θ2的估計.

參數適應律為

其中：m＞0 是一個常數.

定理1 對于主混沌系統（4）和從混沌系統（6），在（15）式定義的神經網絡同步控制器和（16）式定義的參數適應律下，可以得到：

（I）閉環系統中的所有信號將保持有界；

（II）同步誤差收斂到零的時間是有限的；

證明 由（12）式～（14）式可以得到

下面定義Lyapunov函數

將其對時間求導有

由（16）式、（18）式得到

進一步，我們有

然后，同步誤差將收斂到原點的可調區域.根據（23）式得到

因此，如果選擇足夠大的k,m和足夠小的l，能夠使得同步誤差趨于0.

4 仿真研究

考慮如下陀螺混沌系統：

選取a=10,b=1,c1=0.5,c2=0.05,?=25,d=35.5，則系統（25）有混沌出現，如圖1所示.

圖1 陀螺系統的混沌

其他參數選擇為λ=2,ki=1,i=1,2,則主系統、從系統和神經網絡的初始條件分別為x(0)=[1.6,0]，y(0)=[-4.9,6.5]，W=0.系統的不確定項選擇為4x2-3x32+7 sinx1.則仿真結果如圖2和圖3所示.圖2繪制的是同步誤差的收斂性曲線，圖3繪制的是控制輸入的時間響應曲線.從這些結果可以看出，同步誤差收斂于原點.

圖2 同步誤差曲線

圖3 控制輸入曲線

5 結論

本文提出了一種自適應神經網絡控制方法，用于求解一類三角結構混沌系統的投影同步問題，基于自適應神經網絡控制器實現投影同步，為了保證閉環系統的穩定性和同步誤差的收斂性，給出了基于Lyapunov 的分析，仿真結果證實了本文研究結果的正確性.