基于高等數學核心素養的教學設計
——以導數概念為例

曲元海，于梅菊，許 晶，索春鳳，陶玉杰，徐 姜

2016 年9 月13 日，中國學生發展核心素養研究成果發布會在北京師范大學舉行.會議介紹了歷時三年對學生發展核心素養的研究成果，對學生發展核心素養的內涵、表現、實現途徑進行了說明.所謂核心素養，主要指學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.中國學生發展核心素養，以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面.具體表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，每個素養內涵又細化為3個要點，共計18個觀察點.其后人們又提出正確價值觀、必備品格和關鍵能力，各個學科紛紛研究本學科在學生核心素養培育過程中所承擔的職能即學科核心素養.2017年高中數學課程標準修訂過程中，提出6個數學核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.這六個內容更像是從數學學科的關鍵能力這個角度來提出的.高等數學教育在核心素養方面也進行了理論上的一些探索，但在實踐方面還沒有具體實施.通過項目對高等數學核心素養進行深入的研究，將其概括為：以極限、微元法為核心思想，以微積分、極限運算為核心能力的素養，叫做高等數學核心素養［1］.如何在高等數學教學實踐中，圍繞數學核心素養進行設計實施，既要凸顯高等數學學科的素養又要滲透必備品格和正確價值觀，用課程思政這根主線把三者很好地結合.本文以高等數學導數概念一節為例來進行設計和分析，以期能給廣大同仁以啟示.

1 文化社會背景

數學教育家嚴士健說，應該從廣泛得多的角度向學生介紹數學思想、發生規律、背景.簡單說，就是要講來龍去脈［2］.為了達到這一點，就應該講清數學知識的背景.導數知識的歷史背景可以從文藝復興談起，文藝復興最先在意大利各城市興起，之后擴展到西歐各國，于16世紀達到頂峰，帶來一段科學與藝術革命，同時也帶來了經濟的復蘇與發展.人們也遇到了難以逾越的問題亟需解決.具體概括為：由距離和時間的函數關系，求物體在任意時刻的速度和加速度，及其反問題；曲線的切線問題；函數的最大值和最小值問題；曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等問題［3］.正是這些問題推動了新的思想方法的誕生——微積分.因此恩格斯說：“社會一旦有技術上的需要，則這種需要會比十所大學更能把科學推向前進.”簡單的幾句話，就把微積分的背景及數學來源于現實并服務于現實的觀點有理有據地表述清晰，數學思想方法的產生是有其特定的環境的，而本文要研究的導數恰恰可以用上面談到的問題來創設問題情境.

2 以極限思想助力導數概念的形成

2.1 創設問題情境

實例1 變速直線運動的瞬時速度.設質點沿直線運動，其位移s是時間t的函數s=s(t).求質點在運動過程中某一時刻t0的瞬時速度.

這是一個非常接地氣的問題，而且學生比較熟悉，但又似乎超出學生的知識范圍，能激起學生的思維火花.

實例2 曲線的切線問題.一條曲線，求其上一點的切線.

學生對切線的認識是中學接觸到的圓的切線，定義為與圓只有一個交點的直線叫圓的切線.這一定義僅僅對圓是適用的，對一般的曲線的切線，這樣定義就不科學了.如何定義曲線的切線，引起了學生認知的沖突.

2.2 抽象概括為共性的方法

在分析這兩個問題的處理方法時，瞬時速度是通過平均速度的極限；求切線的重點是求切線的斜率，然后通過點斜式即可求出切線的方程.在處理斜率所采取的方法是通過割線斜率的極限來獲得的.不同問題，但采取的方法是相同的，即都是通過一個極限完成的.通過物理和數學上兩個例子的分析，進而抽象出問題的本質是計算函數的增量與自變量的增量的比值，當自變量的增量趨于零時，比值的極限問題.再進行進一步概括就是函數在某一點的導數的概念.

在分析上述兩個例子的過程中，隱含著重要的哲學思想，從平均速度到瞬時速度，從割線斜率到切線斜率，包含著量變到質變的哲學觀點，也體現著概念之間的聯系的觀點［4］.教學時要讓學生感悟和體會，對學生形成正確的世界觀很有意義.

之所以通過不同學科的例子來抽象概括出導數的定義，是為了讓學生經歷比較分析抽象概括等思維過程，感受數學來源于現實，服務于現實，同時學生能從情境中體會數學概念的形成過程，并能更深刻地理解概念，能更好地應用概念.這樣做也符合學生的認知規律，也能更好地讓學生知道知識的來龍去脈，掌握學習概念的基本過程，學會學習.

2.3 運用極限思想定義導數

抽象概括導數定義：設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0取得增量Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內）時，相應地，因變量取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；若存在，那么稱函數y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數［5］，記為f′(x0)，即

2.4 剖析導數概念內涵

給出定義后，接著對該定義進行幾點說明：

（1）函數在某鄰域有定義，同時保證當自變量x在x0取得增Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內）.

（2）計算函數增量與自變量增量比值的極限.

（3）極限必須存在（當然在某點的導數是個具體的數值）.

關于導數的數學符號表示，牛頓的老師巴羅就曾在他的著作《微分三角形》中引用了a:e來表示，后來牛頓用x˙，y˙來表示，人們稱之為點主義［6］.后來萊布尼茲用不久又表示為而y′這種表示方法是由法國大數學家拉格朗日在1797 年第一個給出的，沿用至今.通過簡要的語言介紹導數的符號表示，可以讓學生感受數學符號發展的歷史，將數學文化的元素潤物無聲地浸透到數學課堂，使學生受到數學文化的熏陶，豐滿了數學教學的內涵.

2.5 拓展導數的思想文化

在講述導數概念的過程中，可以穿插關于微積分發明權之爭的歷史事實.牛頓從運動學的角度給出導數的定義，萊布尼茲從幾何學的角度給出導數的概念.歷史上關于誰先發明了微積分引起了一場曠日持久的論戰.牛頓、萊布尼茲以及他們的追隨者相互之間進行口誅筆伐，這一無為的論戰持續了二十多年.現在可以說，牛頓和萊布尼茲各自獨立地發明了微積分，這也印證了這句話，紫羅蘭在世界各地都能開放.牛頓更多地關心建立微積分的體系和基本方法，而萊布尼茲則致力于建立運算公式和創立微積分的符號.可惜，當時迷信牛頓的崇拜者，夾雜著狹隘的民族偏見，遲遲不接受萊布尼茲創造的符號及其方法，固步自封，不對外交流，阻礙了英國分析數學的發展，結果使得其本已領先的數學水平很快就落后于歐洲大陸.文明因交流而多彩，文明因互鑒而豐富，歷史證明盲目排外的做法是錯誤的.通過這個所謂維權之爭，讓學生明白道理，一個國家或個人離不開對一切先進科學技術、文化的學習和交流，培養學生的國際認同感，要有國際視野，本土情懷，這也是學生素養的一個重要組成部分.你吃的是豬，長出來的是你的肉，而不可能是豬肉；你喝的是牛奶，長出來的還是你的肉而不是牛肉.其中的道理值得人們思考.

3 通過極限運算強化導數概念的應用

學習概念的最終目的還是為了應用，在設計導數概念應用過程中，在注重計算之外（函數的增量與自變量的增量之比的極限），要重點圍繞導數概念的本質，在實際問題中，凡是需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題，即所謂函數的變化率問題，就是導數的用武之地.不管問題是物理上的或是數學上的以及其他方面的，這樣學生能清楚感受到導數概念應用的一般性，同時能更準確更深刻地理解導數概念的內涵.

首先，按照導數的定義計算常數函數、冪函數、三角函數、指數函數、對數函數的導數，鞏固訓練學生對定義應用及其計算能力，這也是數學核心素養的一個方面.選取這些函數也是為后面的導數法則學習奠定基礎.

其次，對導數的幾何意義也要重點探究.因為它是導數概念在數學上的一個重要應用，也體現著數學上的數形結合思想，因此值得關注.

最后，應該設計一些實際問題，讓學生體會導數概念應用的具體情境.如，物體繞定軸旋轉，如果旋轉是非勻速的，如何求物體在某時刻的角速度問題；物體的溫度高于周圍介質的溫度時，物體就不斷冷卻.物體的溫度與時間具有一種函數關系，如何求物體在某時刻的冷卻速度問題；工廠生產產品的成本函數已知，如何求邊際成本問題等.

4 以極限思想為核心建立概念間聯系

對數學概念的認知應該把它放到一個知識系統中去貯存，建立概念之間的聯系，這樣才能更好地認識概念、貯存概念、提取概念.

對導數概念的學習也要建立它與其他相關概念之間的聯系.如，連續這個概念是通過極限來定義的，是通過函數的增量在自變量增量趨于零時的極限為零來定義的；導數的定義也是通過一個極限來定義的.它們之間是什么關系呢？經過討論可以得出：對一元函數來說，可導必連續，但連續不一定可導.以及與后面要學習的可微的關系.這樣就建立起如下概念之間的聯系：極限、連續、可導、可微.

一元函數可微?可導?連續?極限存在；反過來不一定成立，這樣就形成了一個相關概念的體系.

綜上所述，在進行導數概念教學時，既要注重傳統意義上的概念的引入、概念的形成、概念的應用，也要注重在教學過程中植入數學文化的元素；既要圍繞數學學科的核心素養進行設計，也要隱含正確的價值觀和必備品格的要素.把課程思政的內涵自然巧妙的融入進課程內容，達到教書育人，讓學生全面和諧地發展.