非對稱開挖砂性土基坑剛性支護結構解析解

范曉真，許海明，徐長節,，方 燾，譚 勇

(1. 浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心， 杭州 310058； 2. 浙江大學 新宇集團， 杭州 310058；3. 華東交通大學 土木建筑學院； 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室， 南昌 330013；4. 同濟大學 地下建筑與工程系， 上海 200092)

隨著我國地下空間建設的快速發展，非對稱開挖的基坑越來越常見(見圖1).對于非對稱基坑，現行《建筑基坑支護技術規程》[1]規定按最不利作用效應一側進行設計計算，但是該處理方法會造成投資和施工量的增大.在常用的基坑設計計算方法中，等值梁法因模型簡單、力學概念明晰、便于計算，被工程界廣泛采用，可直接求解得到支護結構的插入深度.盡管彈性地基梁法和有限元法日益受到國內外工程界的重視，但都需事先給定支護結構的插入深度.而對于工程上日漸常見的非對稱基坑，采用單邊等值梁方法進行受力計算時(圖1)，可證明當h1≠h2時，對兩側求得的支撐軸力有F1≠F2，與工程實際矛盾，因此在非對稱基坑的設計計算中，常用方法將不再適用.基坑兩側開挖深度的不同將導致基坑支護結構上兩側受到的土壓力分布不同，從而使得兩側支護結構內力分布不對稱，兩側所需的插入深度也將有所不同，需要對非對稱基坑的支護結構進行整體受力分析.

圖1 經典等值梁法不適用于非對稱開挖情況Fig.1 The inapplicability of equivalent beam method in asymmetric excavation

針對實際基坑工程中的非對稱開挖情況，目前已有一些研究成果.由于非對稱支護結構受力的復雜性，一般采用數值研究的方法.蔡袁強等[2]運用二維有限元軟件PLAXIS對挖深不同的深基坑支護結構進行了模擬，提出有必要對非對稱基坑進行優化設計.文獻[3]采用PLAXIS軟件對不同挖深差和挖深分界面位置下的非對稱開挖進行了模擬，分析了非對稱開挖情況下的基坑變形性狀.但數值模擬只能針對特定的工況進行，無法簡便地確定支護結構插入深度，不便在工程上推廣應用.文獻[4]針對支撐剛度較大的非對稱開挖情況，基于等值梁法對開挖較淺側支護結構的土壓力模式進行了改進，推導了兩側支護結構深度的計算公式.除此之外，通過理論方法對非對稱開挖的基坑支護結構進行研究的，仍少有文獻報道.

本文針對非對稱開挖情況下支護結構相對土體剛度較大的情況，通過變形控制設計，首先引入非極限狀態土壓力理論，考慮土體位移大小對作用在支護結構上土壓力的影響，對側向土壓力系數進行修正，提出一套較為簡便合理的土壓力修正計算方法，并與相關試驗結果進行了對比驗證.基于獲得的修正土壓力模式，在對支護結構受力體系進行整體分析的基礎上，獲得了可用于兩側挖深不同情況的樁(墻)撐式剛性支護結構設計計算的解析解，并進一步分析了土體內摩擦角、支撐剛度、基坑的非對稱開挖程度對支護結構插入比的影響.本文提出的方法簡便可行，可應用于非對稱開挖情況下支護結構的設計與計算.

1 支護結構上土壓力的計算

1.1 基本假定和簡化

計算模型如圖2所示，為便于工程應用，對推導過程進行了如下的假定和簡化：

(1) 基坑支護采用樁(墻)撐式支護，在支護結構頂端設一道橫向支撐，支撐與支護結構之間為鉸支.基坑較深側開挖深度為h1，較淺側開挖深度為h2.

圖2 計算模型Fig.2 Analytical model

(2) 針對土質較差，支護結構相對土體剛度較大，且支撐剛度相對較小的情況，可近似假定支護結構為剛性，并假定其繞坑底以下的點O轉動.在轉動點O以上為支護結構安全最小樁長L(文中樁長均指安全最小樁長)，通過本文方法計算確定，點O以下為安全嵌固深度t，為工程安全儲備.

(3) 假定開挖區域內土質為砂土，且土體單層均質.對實際工程中的多層土體采用分層總和法進行均一化處理：

(1)

1.2 支護結構上主動土壓力計算

經典等值梁法在進行支護結構上土壓力的計算時假定支護結構前后的土體均達到極限平衡狀態，但實際工程中支護結構的容許位移通常較小，支護結構前后的土體大多將處于非極限狀態.因此，經典等值梁法采用極限狀態的土壓力理論是不合理的.

對基于土體位移的非極限土壓力計算，有學者[5-7]從墻后土體應力應變關系的角度出發，也有學者[8-12]直接假定土壓力與位移滿足某種關系.然而，上述理論由于參數不易確定，無法簡便地用于支護結構的設計計算.針對實際工程中支護結構容許位移較小的情況，同時考慮公式的實用性，本文假定支護結構上的土壓力系數與位移呈線性關系[13]，對土壓力進行修正，以運用于非對稱開挖基坑支護結構的設計計算.

圖3 支護結構位移模型Fig.3 The deformation model of retaining structure

如圖3所示，假設支護結構與土體發生共同變形.在轉動點O處，由于位移s為0，側向土壓力系數取靜止土壓力系數K0.在s達到土體主動極限位移sa時，側向土壓力系數取Coulomb土壓力理論側向主動土壓力系數Ka.假定在主動極限位移sa和零位移之間，側向主動土壓力系數ka與土體位移s呈線性關系(圖4)，則可得轉動點O與樁頂之間任一處土體的位移對應的側向主動土壓力系數：

(2)

式中：k1為圖4中0至sa直線段的斜率；

(3)

δ為支護結構與土體間的外摩擦角.

圖4 側向主動土壓力系數與土體位移關系Fig.4 The relation between coefficient of active earth pressure and soil deformation

由式(2)可得對應任意土體位移的主動土壓力公式：

(4)

由圖3(a)位移模型可建立土體位移s與支護結構的關系：

(5)

式中：smax為樁頂位移.

對圖3(a)所示情況，將式(5)代入式(4)可得支護結構上的側向主動土壓力沿深度方向的分布：

(6)

對圖3(b)所示情況，則需根據式(4)對支護結構上的側向主動土壓力進行分段計算：

(7)

1.3 支護結構上被動土壓力計算

在基坑工程中，被動極限狀態所需的位移通常會大大超過支護結構的容許位移值.對此，常用的經驗方法是在主、被動極限土壓力達到平衡后，將計算得到的支護結構插入深度取一定的安全經驗系數，或者對被動土壓力取一個折減值，但這些方法均缺乏完善的理論依據.本文通過對被動土壓力系數進行修正獲得比較符合實際的樁前土抗力分布模式.

(8)

式中：Kp為Coulomb土壓力理論側向被動土壓力系數，

(9)

與前文主動土壓力同理，由圖6可得轉動點O與坑底之間任一處土體位移對應的側向被動土壓力系數為

(10)

式中：k2為圖6中0至sp直線段的斜率.

圖5 RB模式下被動土壓力分布[14]Fig.5 Distribution of passive earth pressure of RB mode[14]

圖6 側向被動土壓力系數與土體位移關系Fig.6 The relation between coefficient of passive earth pressure and soil deformation

由式(10)可得對應任意土體位移的被動土壓力計算公式：

(11)

將式(5)、(8)代入式(11)得支護結構上的側向被動土壓力沿深度方向的分布：

(12)

1.4 土壓力修正方法合理性的驗證

為驗證本文提出的土壓力修正方法，將計算結果與Fang等[14,16]RB模式下的主動土壓力與被動土壓力模型試驗結果(剛性墻，砂土)以及陸培毅等[17]針對單支撐支護的室內模型試驗結果進行對比.主動土壓力模型試驗當中，擋土墻高度H=0.96 m，重度γ=15.4 kN/m3，內摩擦角φ=34°，墻背與填土間的摩擦角δ=17°.被動土壓力模型試驗中，H=0.45 m，γ=15.5 kN/m3，φ=30.9°，δ=19.2°.根據試驗數據[14,16]，取sa=1.5‰H，sp=15%H.單支撐支護土壓力試驗中，支護結構深度L=195 cm，開挖深度H=90 cm，重度γ=16 kN/m3，內摩擦角φ=31°，sa、sp根據試驗數據[17]取sa=1‰L，sp=5%H.與Fang等[14,16]主動、被動土壓力的對比結果分別如圖7、8所示，與陸培毅等[17]單支撐支護土壓力試驗結果如圖9所示.可見，本文的土壓力修正方法由于考慮了墻體的變位模式，與Coulomb土壓力理論解相比可更準確地反映主動土壓力與被動土壓力的非線性分布以及土壓力的大小，對于單支撐支護的基坑也有較好的適用性.

圖7 本文主動土壓力解與模型試驗實測值對比Fig.7 Comparison of active earth pressure between the proposed method and test data

圖8 本文被動土壓力解與模型試驗實測值對比Fig.8 Comparison of passive earth pressure between the proposed method and test data

圖9 本文土壓力解與基坑模型試驗實測值對比Fig.9 Comparison of earth pressure between the proposed method and test data

2 非對稱開挖支護結構整體解析解

將本文提出的土壓力修正公式運用于兩側開挖深度不同的支護結構的整體受力分析，計算示意圖見圖10，圖中N為支撐軸力.

圖10 支護結構受力分析示意圖Fig.10 The force analysis diagram of retaining structure

通過在兩側支護結構轉動點O處分別建立力矩平衡方程，可解得橫向支撐軸力與兩側樁長L1，L2的關系，對圖3(a)情況有：

(13)

對圖3(b)情況有：

(14)

需要說明的是，由于實際工程中支護結構容許位移較小，當土體從靜止位置發生不大的位移時土壓力變化較快，而本文為了公式的簡單實用性考慮土壓力系數與位移呈線性關系，因此建議主動極限位移和被動極限位移取較小值，建議sa取(0.001～0.005)L，sp取(0.01～0.05)(L-h)，也可通過試驗結果測定[8,13]；樁頂位移smax為支護結構的容許位移值[Δ]，即

smax=[Δ]

(15)

又由于支撐位于樁頂，可得支撐壓縮量為左右兩側樁頂位移之和，即

Δs=2smax=2[Δ]

(16)

假設支撐為彈性變形，則由應力應變關系可得支撐軸力為

(17)

式中：B為支撐的計算長度；E為支撐材料的彈性模量；A為支撐的截面積；S為支撐的水平間距；b為模型的平面計算寬度，本文中假定為1 m.

由整體支護結構的受力平衡，

N1=N2=N

(18)

將式(13)或(14)、式(17)代入式(18)可解得非對稱開挖情況下基坑的兩側樁長L1，L2.具體計算流程如圖11所示.

圖11 計算流程圖Fig.11 The calculation flow chart

表1 土體參數Tab.1 Soil properties

3 支護結構算例分析

3.1 支護結構上土壓力的分析

以h1=8 m，h2=6 m為例，采用表1所示的土體參數進行算例分析.算例中支撐參數：EA=1.854×106kN，B=30 m，S=15 m.支護結構的容許位移值[Δ]取5 cm，實際工程中可參照當地行業規范中的最大水平位移限值選取.通過如圖11所示的算法，用Maple計算軟件求解得到支護結構淺側、深側樁長分別為10.4，17.0 m.以淺側為例繪出支護結構上土壓力的分布情況，并與Coulomb理論解進行對比，如圖12所示.

由圖12可見，采用本文計算方法所得支護結構上主動土壓力沿支護結構深度呈非線性分布.本文假定支護結構變位模式為繞坑底以下一點O轉動，樁頂附近的土體位移最大，主動土壓力系數最接近Coulomb極限主動土壓力系數，樁頂以下土體位移逐漸減小，主動土壓力系數逐漸增大，至點O處土體位移為0，土壓力為靜止土壓力.由于支護結構的位移值無法全部達到主動極限狀態所需的位移，所以本文計算結果略大于Coulomb極限狀態主動土壓力理論計算結果.同理，采用本文計算方法的支護結構上被動土壓力同樣沿支護結構深度呈非線性分布.在被動區內，由于坑底處支護結構位移最大，所以被動土壓力系數最接近修正后的極限被動土壓力系數.而在點O處由于支護結構位移為0，土壓力系數取靜止土壓力系數，土壓力為靜止土壓力，因此被動土壓力值遠小于Coulomb極限狀態被動土壓力理論值.由于支護結構的容許位移值遠小于被動極限狀態所需的位移，所以被動土壓力合力遠小于極限狀態理論計算結果.

圖12 開挖較淺側土壓力分布Fig.12 Distribution of the shallower side earth pressure

在完成對兩側的整體土壓力分析之后，可以得到整個體系的土壓力分布模式，如圖13所示，可見修正后坑底以上的主動土壓力分布情況與按Coulomb理論計算的土壓力分布模式相比土壓力值略有增大.但坑底以下兩者的分布有明顯不同，由于靠近支護結構底端處位移較小，被動土壓力和主動土壓力均接近靜止土壓力系數，主動土壓力值將大于被動土壓力值，所以支護結構靠近底端處會產生坑內方向的土壓力.由于支護結構的變位條件對土壓力的影響，使得實際的土壓力分布與傳統土壓力理論得出的結果有一定差距.對比文獻[18]歸納列舉的不同嵌固類型單撐式支護結構的土壓力分布示意圖(見圖14)，可見由本文提出的修正方法修正后的土壓力與圖14(c)單撐式支護下端固定的嵌固形式是相似的，且可以體現土壓力的非線性分布，更為合理.

圖13 整個支護結構體系的土壓力合力分布Fig.13 The whole system’s distribution of earth pressure

圖14 文獻[18]中4種類型支護結構土壓力示意圖Fig.14 Schematic diagram of four kinds retaining structures’ active earth pressure from Reference 18

3.2 支護結構插入比分析

在基坑工程的設計中，合理確定支護結構的插入比是關注的重點，過小的插入比會導致基坑失穩，過大的插入比將增加投資和施工難度，而傳統的基坑設計方法無法合理確定非對稱開挖基坑的插入比.基坑支護結構的插入比為基坑開挖面以下支護結構深度與基坑開挖面以上支護結構深度的比值，通過本文解析解獲得的兩側支護結構樁長，可得深側和淺側支護結構安全最小插入比分別為(L1-h1)/h1，(L2-h2)/h2(下文中插入比均指支護結構安全最小插入比).采用與3.1節同樣的土體及支護參數對支護結構插入比進行分析.首先將本文計算方法與基坑設計的常用設計計算方法等值梁法進行對比分析.

圖15 兩種方法計算支護結構插入比對比Fig.15 Comparison of insert ratio between the two methods

保持表1中其他參數不變，支撐剛度在(0.5～1.5)EA之間變化，可得兩側插入比與支撐剛度的關系如圖16所示.隨著支撐剛度的增大，兩側插入比不斷減小，這是由于在其他參數不變的情況下，支撐剛度的增大對應支撐軸力的增大，土體需提供的被動抗力減小，所以所需插入比減小.同時，深側插入比在支撐剛度變化的過程中始終大于淺側插入比，且深側插入比隨軸力增大時的減小速率略小于淺側插入比，可見在整體分析非對稱基坑支護結構受力的情況下，兩側的非對稱開挖將對淺側插入比造成更大的影響，而較深側由于在非對稱開挖的過程中相對起主導作用，所以受到的影響相對淺側較小.

圖16 支撐剛度對兩側插入比的影響Fig.16 Influence of bracing stiffness on the insert ratio of both sides

基于前文分析，非對稱開挖將對開挖較淺側造成更大影響，因此以淺側插入比為例分析兩側開挖深度的差異對插入比的影響，深側開挖深度h1分別取為8,9,10,11,12 m，取0,0.05h1,0.1h1,0.15h1,0.2h1,0.25h1,0.3h1,0.35h1,0.4h1作為兩側開挖深度差值(由此可得到淺側開挖深度h2).

由圖17可見，隨著基坑兩側挖深差(h1-h2)/h1的增大，按本文計算方法得到的淺側支護結構插入比不斷減小.對h1=8,9,10,11,12 m的5種深側挖深，當基坑兩側挖深差(h1-h2)/h1從0變化至0.4h1時，淺側插入比相較規范[1]規定的按深側進行單邊設計的情況減小約0.7～1.0，可見對兩側非對稱開挖的基坑進行整體設計可以有效減少插入比，節約工程造價，比規范[1]規定的僅按開挖較深側單邊設計經濟、合理.

圖17 基坑兩側挖深差對淺側支護結構插入比的影響Fig.17 Influence of excavation depth difference on the insert ratio of the shallower side

4 結論

本文基于工程中常見的非對稱開挖的情況，提出了一套土壓力修正公式，進一步推導了可用于砂性土基坑非對稱開挖，樁土相對剛度差異較大情況下的樁(墻)撐式支護結構設計計算的解析解.與模型試驗以及傳統理論計算方法的對比，驗證了本文方法的有效性.

(1) 引入非極限狀態土壓力理論，考慮支護結構的變形對作用在支護結構上土壓力的影響，通過對側向土壓力系數進行考慮土體位移的合理修正，提出了一套較為簡便實用的土壓力修正方法，較傳統土壓力計算方法更為精確.

(2) 推導得出了非對稱開挖情況下通過變形控制的基坑支護結構設計計算方法，能夠較經典等值梁法更為合理地設計非對稱開挖情況下的支護結構，計算方法簡便實用.經典等值梁法由于采用了極限平衡土壓力理論，計算得到的支護結構插入比偏于不安全，且計算結果的不安全程度在土體內摩擦角較小的情況下更為嚴重.

(3) 在非對稱開挖情況下，深側開挖區對整體支護結構的受力起主導作用，淺側支護結構插入比將對基坑的非對稱開挖更為敏感.

(4) 在深側挖深不變的情況下，兩側挖深差越大，淺側支護結構插入比越小，與規范[1]規定的僅按開挖較深側單邊設計相比，采用本文方法進行非對稱開挖支護結構整體受力分析淺側插入比可減小約0.7～1.0，可以有效節約工程造價，更加經濟、合理.