基于目標參數最優的磁耦合諧振式無線能量傳輸系統頻率特性分析及仿真驗證

范興明，賈二炬，高琳琳，張偉杰，焦自權，張 鑫

(1. 桂林電子科技大學 機電工程學院, 廣西 桂林 541004;2. 廣州金升陽科技有限公司, 廣州 510700)

由于電線的裸露、老化以及尖端放電等因素，傳統的接觸式輸電會產生電火花，縮短設備的壽命.此外，接觸式輸電受到水下礦井和人體植入式等特殊場合的限制，用電設備的增多將會造成電線繁雜，影響線路布置和安全.而無線能量傳輸(Wireless Power Transfer，WPT)技術可以有效地彌補有線電能傳輸方式的弊端，具有更高的穩定性和可靠性，更加符合未來社會發展的趨勢[1].目前，常用的WPT技術主要包括電磁感應式、磁耦合諧振式以及微波輻射式[2].與電磁感應式相比，磁耦合諧振式的傳輸距離更遠；與微波輻射式相比，磁耦合諧振式的傳輸效率更高，因此表現出極大的應用潛力[3-7].

目前，國內外研究人員對磁耦合諧振式無線能量傳輸(Magnetically Coupled Resonant Wireless Power Transfer, MCR-WPT)技術進行了一系列的研究，并取得了一定的研究成果[8-15].文獻[8-9]對比分析了該系統的耦合模理論和等效電路理論，得到兩種理論模型具有等效性的條件.文獻[10]從電路角度對MCR-WPT系統的最大傳輸效率進行分析，得到系統最大效率條件及最大效率表達式.文獻[11]對盤式線圈的參數優化設計，解決了特定條件下的具體諧振器設計問題.文獻[12]從感性、容性和純阻性3個方面研究了系統的負載特性，提出電容補償和電感補償的方法可提高傳輸效率.文獻[13]分析了含有中繼線圈的系統特性，得到臨界耦合條件和最大功率傳輸條件.文獻[14]研究了系統的恒流補償網絡，證明電流增益與負載無關.目前多數文獻針對系統的頻率分裂現象[2,15-16]展開研究，指出距離和負載的變化會導致系統失諧，并提出了采用鎖相環、擾動分析法及自動阻抗匹配法等調頻策略可以提高系統的傳輸性能[17-20].盡管如此，導致系統失諧的具體影響因素有待深入研究，特別是在分析距離和負載的變化對系統最佳工作頻率的影響時，已有研究大多忽略了頻率對線圈內阻的影響，因此對分析結果趨勢的正確性造成不利影響，進而影響系統頻率控制策略的選擇和控制的精確性.

本文對系統頻率特性進行較全面的研究.利用阻抗反射理論研究負載和距離的變化對系統頻率穩定性的影響.基于互感理論對串串型拓撲結構進行建模，從理想和非理想狀態條件下分析距離和負載的變化對系統輸出功率和傳輸效率的最佳頻率的影響規律.利用MATLAB對WPT系統頻率特性分析相關理論進行系統建模，采用插值法和多項式擬合對系統最佳效率工作頻率進行求解和仿真驗證.本文研究結果可為MCR-WPT系統頻率特性分析提供理論和模型參考，并可進一步為MCR-WPT系統的精確頻率控制策略提供一定的理論指導.

1 系統頻率穩定性的影響分析

MCR-WPT系統常用的拓撲結構如圖1所示，具體包括串聯-串聯補償(SS)型，串聯-并聯補償(SP)型，并聯-串聯補償(PS)型和并聯-并聯補償(PP)型4種[21].圖中US為高頻電源；L1、R1、L2、R2、C1、C2、I1以及I2分別為發射線圈和接收線圈的等效電感、等效電阻、諧振補償電容和電流；M為兩線圈間的互感；RL為接收端負載.

圖1 MCR-WPT系統拓撲結構類型Fig.1 Topological structure types of MCR-WPT system

由于互感的存在，傳輸距離和負載的變化會對發射端的阻抗產生影響，導致發射端的等效電感發生變化，并可能導致系統失諧.接收端對發射端的影響可用反射阻抗Zr表示.將圖1進行簡化，得到發射端分別采用串聯和并聯補償的等效阻抗電路模型，如圖2所示[22].圖2中Z1為發射線圈的阻抗，Z1=R1+jωL1，阻抗往往由復數形式表示， j為阻抗的復部，ω為角頻率，ω=2πf，f為頻率.

圖2 發射端阻抗等效電路Fig.2 Equivalent circuit of impedance in sending terminal

(1)

MCR-WPT系統的關鍵特征是保持發射端和接收端同時共振，且線圈的自諧振頻率與系統的驅動頻率相同.通常假設接收端共振，研究距離或負載的變化對發射端等效阻抗的影響.系統共振時發射端需滿足的條件為：發射端阻抗ZP或導納Yt的虛部為0.在分析此問題時，目前多數研究忽略了線圈內阻的影響，將導致在計算諧振補償電容時出現偏差，進而降低了系統的實用性能.表1給出了4種不同電路拓撲結構情況下考慮線圈內阻的影響時負載或距離的變化對發射端諧振補償電容的影響，其中，RS為線圈內阻，ω0為考慮線圈內阻的影響時的角頻率.

由表1可知，在SS型拓撲結構中，傳輸距離或純阻性負載的變化不會導致C1發生變化；在SP型拓撲結構中，傳輸距離的變化會導致M變化，進而對C1的數值產生影響，純阻性負載的變化對發射端沒有影響.在PS和PP型拓撲結構中傳輸距離和純阻性負載的變化均會改變C1，并可能造成系統失諧.由此可得出結論：當發射端采用并聯補償時，傳輸距離或負載的變化都會造成系統的失諧.當采用SS型補償時，系統頻率的穩定性最好；當采用SP型補償時，系統的工作頻率不受純負載變化的影響.

表1 不同拓撲結構下的系統參數Tab.1 System parameters in different topological structures

注：∥為并聯符號.

2 系統理論模型的建立

圖3 MCR-WPT系統等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of MCR-WPT system

由于SS型拓撲結構的發射端和接收端相互獨立，接收端負載和傳輸距離的變化不會導致系統失諧，因此文下重點研究SS型拓撲結構及其特征.基于SS型拓撲結構的MCR-WPT系統等效電路模型如圖3所示.圖中D為兩線圈間的距離；IP和IS分別為發射與接收回路的電流.

根據基爾霍夫電壓定律，電路方程為

(4)

對式(4)進行求解可得IP和IS，進而可得到系統的輸入功率PS、輸出功率P與傳輸效率η的計算表達式[10]：

(5)

(6)

(7)

3 系統最佳工作頻率的分析

3.1 理想狀態下系統最佳工作頻率的影響分析

理想狀態下，發射端與接收端均發生共振，ZP與ZS的虛部為0.系統的輸出功率和傳輸效率的計算表達式為[11]

(8)

(9)

3.1.1理想狀態下系統輸出功率最佳頻率的確定 通常，由于線圈的內阻較小，研究者忽略頻率的變化對線圈內阻的影響.此時，對式(6)關于ω求一階導數并令其導函數的值為0，從而得到理想狀態下不考慮頻率對線圈內阻的影響時，系統的輸出功率最佳頻率：

(10)

然而，忽略線圈內阻會影響系統最佳工作頻率的精確性，尤其在實現控制策略時，參數的準確性對控制的精確性起決定性作用.在高頻狀態下，線圈的等效電阻主要包括歐姆電阻和輻射電阻，其中，歐姆電阻的影響更為明顯[23].所以，本文重點研究線圈歐姆損耗對系統工作頻率的影響.歐姆損耗的計算公式為[11]

(11)

式中：μ0為真空中的磁導率；σ為導線材料的電導率；Ni為第i個線圈的匝數；ri為第i個線圈的平均半徑；a為線圈的導線半徑；mi為擬合參數，

考慮頻率對線圈內阻的影響時，對式(8)求關于ω的偏導數并令其導函數的值為0，可以得到理想狀態下考慮頻率對線圈電阻的影響時，系統的輸出功率最佳頻率：

(12)

兩線圈間互感為[11]

(13)

3.1.2理想狀態下系統傳輸效率最佳頻率的影響 在理想狀態下，發射端和接收端同時諧振，且該諧振頻率與系統的工作頻率相同.當忽略工作頻率對線圈電阻的影響時，對式(9)求ω的一階導數：

(14)

式(14)中等號右端恒大于0，因此傳輸效率隨著工作頻率的增加單調遞增.當考慮工作頻率對線圈電阻的影響時，對式(9)關于ω求一階求導并令其導函數的值為0，可得理想狀態下考慮頻率對線圈內阻的影響時，系統傳輸效率最佳工作頻率滿足：

3RL+m1m2ω+

(15)

在高頻時，ω的數量級為106，因此式(15)難以進行求解，為了簡化分析，文獻[24]只考慮ω2項，得到傳輸效率最佳工作頻率：

(16)

比較式(14)和(16)可知，傳輸效率隨著頻率的增加呈非線性變化，存在最佳工作頻率點使系統達到最大傳輸效率.傳輸效率最佳工作頻率與負載近似成正比，與距離的3次方成反比.這說明在分析系統的傳輸效率最佳工作頻率時不能忽略頻率對線圈內阻的影響.可以在已知系統參數的條件下采用插值法、曲線擬合法等求式(15)的相對精確解.

3.2 非理想狀態下系統最佳工作頻率的影響分析

在非理想狀態下，發射端和接收端不同時諧振，且頻率未必與系統的工作頻率相同[15].此時，PS、P以及η的計算表達式為

(17)

(18)

(19)

3.2.1非理想狀態下系統輸出功率最佳頻率的影響 為了便于分析，假設發射和接收線圈的參數完全相同(L1=L2=L，C1=C2=C，R1=R2=R).在非理想狀態下，發射端和接收端阻抗的虛部相同(X1=X2=X)，定義廣義失諧因子ξ，ξ=X/R，引入負載系數KL,KL=RL/R，可得ZP和ZS的計算表達式為

(20)

定義耦合強度KC,KC=ωM/R，則負載兩端的電壓為

(21)

求UL的模并對其進行歸一化處理可得系統的輸出電壓增益：

(22)

(23)

ω=ω0時，發射端和接收端同時共振，此時稱系統工作在“全諧振”狀態；ω=ω2,3時，發射端和接收端均不共振，但系統整體工作在諧振狀態，稱為“部分諧振”狀態.假設系統工作在分裂的ω2,3處，即系統處于“部分諧振”狀態，此時系統的傳輸效率為

(24)

結合式(24)和(9)可得系統頻率為分裂的角頻率時傳輸效率與系統工作在全諧振狀態下的傳輸效率的比值ε：

(25)

滿足KL?1且KC?KL，即滿足式(26)時，ε的值無限趨近于1，即系統頻率為分裂的角頻率時傳輸效率與系統工作在全諧振狀態下的傳輸效率基本相等，且傳輸效率接近1:

R?RL?ZPS

(26)

式中：ZPS=ω2M2/R，可理解為初級回路對次級回路的反射阻抗.由此可得出結論：在滿足式(26)的情況下，將系統的工作頻率調整到分裂頻率，在幾乎不降低系統傳輸效率的情況下可有效地提高系統的輸出功率.

3.2.2非理想狀態下系統傳輸效率最佳頻率的影響 對式(19)進行變形可得

(27)

為了便于分析，同樣假設發射線圈和接收線圈的參數完全相同，記式(27)的分母為f(ω).結合式(11)，計算f(ω)關于ω的偏導數可得

(28)

對σ求關于ω的偏導數可得

(29)

經計算，m的值的數量級為10-4，為了便于分析，忽略m的影響，由此可判斷式(29)的右端恒大于0.由此可知，σ隨著ω的增加單調遞增，當ω趨于0時，σ趨于負無窮大；在ω趨于正無窮大時，σ趨于正無窮大，有且只有一個根使σ的值為0.因此可斷定，在整個工作頻率范圍內，f(ω)隨著ω的增加在一定區間內先單調遞減，后單調遞增.η隨著ω的增加呈現出先增加后減小的趨勢，有且只有一個工作頻率使系統的傳輸效率達到最大，這也說明了非理想狀態下系統的傳輸效率不存在頻率分裂現象[15].

4 仿真分析與驗證

為了證明理論分析的正確性，采用MATLAB對系統進行仿真驗證.仿真時系統的工作條件為：US=50 V,f=13.56 MHz,D=0.5 m,P=80 W,RL=605 Ω.線圈參數為：線圈最大外徑Dmax=0.439 5 m，線圈最小內徑Dmin=0.360 5，線圈匝數N=8，填充率β=0.098 75，線圈匝間距S=3 mm，線圈線徑W=2 mm.

4.1 理想狀態下系統最佳工作頻率的仿真分析

系統在理想狀態工作時，在忽略和考慮頻率對線圈內阻影響的情況下，改變系統的工作負載或傳輸距離，分別計算系統的輸出功率最佳頻率(記為理論值1，理論值2)，并利用MTALAB進行仿真，結果如圖4所示.由圖4可知，理論值1與仿真值的偏差較大；理論值2與仿真值有較好的吻合性.說明距離或負載發生變化時，考慮頻率對線圈內阻的影響能夠比較準確地反映系統頻率的實際變化規律.

針對忽略和考慮頻率對線圈內阻影響兩種情況，利用MATLAB建立分析模型得到系統的傳輸效率與工作頻率的關系(記為仿真值1，仿真值2)，如圖5所示.

圖5 傳輸效率與工作頻率關系圖Fig.5 Transmission efficiency as a function of working frequency

仿真值1隨著頻率的增加而增加，仿真值2隨著頻率的增加呈現出先增加后減小的趨勢，即存在最佳工作頻率使系統的傳輸效率達到最大.因此在分析傳輸效率最佳頻率時不能忽略頻率對線圈內阻的影響.

4.2 非理想狀態下系統最佳工作頻率的仿真分析

4.2.1輸出功率最佳頻率仿真分析 非理想狀態下，為了驗證距離和負載的變化對系統輸出功率最佳頻率的影響，先假定RL=605 Ω固定不變，改變系統的傳輸距離，得到系統電壓增益與傳輸距離和工作頻率的關系，如圖6所示.由仿真結果可得系統發生頻率分裂的臨界距離為0.28 m.由圖6可知，當D>0.28 m時，輸出電壓增益的最大值始終保持在系統的中心工作頻率13.56 MHz處.當D<0.28 m時，輸出電壓增益由單峰變成了雙峰，在中心工作頻率處系統的電壓增益變為局部最小值.

圖6 輸出電壓增益與工作頻率和傳輸距離的關系Fig.6 Output voltage gain as a function of working frequency and transmission distance

假定D=0.5 m固定不變，改變系統的工作負載，得到電壓增益與系統的工作負載和頻率的關系，如圖7所示.

圖7 輸出電壓增益與工作頻率和負載電阻的關系Fig.7 Output voltage gain as a function of working frequency and load resistance

由仿真結果可得系統發生頻率分裂的臨界負載為154 Ω.當RL>154 Ω時，輸出電壓增益的最大值始終保持在系統的中心工作頻率13.56 MHz處.當RL<154 Ω時，輸出電壓增益由單峰變為雙峰，在中心工作頻率處電壓增益由最大值變為局部最小值.

為了分析距離和負載的變化對分裂頻率的影響，分別固定RL=605 Ω，D=0.5 m，得到分裂頻率與距離或負載的變化關系，如圖8所示.由圖8可知，距離和負載越小，系統頻率分裂越嚴重.其中工作頻率低于13.56 MHz的模式被稱為“偶模式”，高于13.56 MHz的模式被稱為“奇模式”.傳輸距離或負載越小，系統的頻率分裂現象越嚴重，偏離中心頻率越多.比較圖8的縱坐標可知，距離對分裂頻率的影響更為明顯.

圖8 分裂的頻率與傳輸距離和負載的關系Fig.8 Splitting frequency as a function of transmission distance and load

由此可得出結論：傳輸距離或負載過小時，系統均會發生頻率分裂現象，且傳輸距離和負載越小，系統的頻率分裂越嚴重.在偏離中心工作頻率下，系統的輸出電壓增益下降越大，輸出功率越低.

圖9 工作在分裂頻率和中心諧振頻率時的傳輸效率比較Fig.9 Comparation of transmission efficiency between split frequency and central resonance frequency

為了對比分析系統工作在分裂頻率和中心諧振頻率時的傳輸效率，分別改變系統的傳輸距離和負載，得到系統工作在偶模式、奇模式與全諧振3種模式下的傳輸效率與距離和負載的變化關系，如圖9所示.為了能夠更好地對比說明圖9中傳輸效率的變化規律，根據式(26)將3種模式下距離和負載變化時比較阻抗值R、RL及ω2M2/R的變化情況列出，分別如表2和3所示.

圖9(a)中，偶模式、奇模式與全諧振模式下的傳輸效率基本上都保持一致，且接近100%，與文獻[16]得出的“過耦合時傳輸效率變化不大”的實驗結果相一致.這是因為D在0.1～0.3 m變化時，表4中的數據滿足式(26)，從而使系統的效率接近100%且基本保持不變.

圖9(b)中，RL在0～20 Ω時，系統工作在全諧振模式下的傳輸效率高于工作在偶模式和奇模式下的效率，且效率較低.RL在50～200 Ω時，3種模式下的傳輸效率基本上相等，接近100%.這是因為RL在0～20 Ω時，表3中的數據ω2M2/R?R成立，但RL?R不成立，致使系統效率偏低；RL在50～200 Ω時，表3中的數據滿足式(26)，曲線變化規律與理論分析一致，由此證明了式(26)的正確性.

表2 距離變化時阻抗與工作模式的關系

Tab.2 Impedance as a function of working modes with distance’s variation

工作模式比較阻抗/ΩRRLω2M2/R偶模式1.493～1.637605(1.194～0.122)×106奇模式1.993～1.682605(1.804～0.178)×106全諧振模式1.656605(1.433～0.082)×106

表3 負載變化時阻抗與工作模式的關系

Tab.3 Impedance as a function of working modes with load’s variation

工作模式比較阻抗/ΩRRLω2M2/R偶模式1.640～1.6520～200(7.235～7.320)×103奇模式1.672～1.6600～200(7.459～7.373)×103全諧振模式1.6560～2007.345×103

當系統發生頻率分裂時，系統工作在全諧振模式下的輸出功率較低，而奇模式下系統的工作頻率較高，輻射損耗較大，導致系統傳輸效率低于偶模式[19].因此當系統發生頻率分裂時，通過調頻策略將系統偶模式下的工作頻率調整到ISM(Industrial Scientific Medical)頻段[20]，能夠在基本上保持傳輸效率不變的條件下有效地提高系統的輸出功率.

4.2.2傳輸效率最佳工作頻率仿真分析 利用MATLAB對系統的傳輸效率進行仿真分析，結果如圖10和11所示.可以看出：無論距離還是負載發生變化，只有在f=13.56 MHz時，系統的傳輸效率達到最大，即距離和負載的變化對系統傳輸效率最佳工作頻率沒有影響.此外，從圖10和11中還可以看出，D和RL在較小和較大的范圍內變化時，系統的最大效率工作頻率始終保持在接收端的共振頻率處，不隨距離和負載的變化而發生變化，系統的傳輸效率不會發生頻率分裂現象，與理論分析的結果一致.

圖10 傳輸效率與工作頻率和傳輸距離的關系Fig.10 Transmission efficiency as a function of working frequency and transmission distance

圖11 傳輸效率與工作頻率和系統負載的關系Fig.11 Transmission efficiency as a function of working frequency and system load

4.3 傳輸效率最佳工作頻率的仿真計算

圖12 最大效率工作頻率理論值與仿真值比較Fig.12 Comparison of maximum efficiency working frequency between theory and simulation values

圖13 最大效率工作頻率值2～4次多項式擬合驗證Fig.13 Verification of maximum efficiency working frequency value by 2-4 polynomial fitting

由圖13可知，擬合曲線的變化趨勢與仿真結果有較好的吻合性，但是仍存在偏差.為此增加擬合次數并采用插值法對式(15)進行求解，結果分別如圖14和15所示，圖中er為頻率相對誤差.

圖14 擬合次數與頻率相對誤差的關系Fig.14 Relative frequency error as a function of polynomial fitting times

圖15 不同的函數插值法與頻率相對誤差間的關系Fig.15 Relative frequency error as a function of different interpolation methods

在圖14和15中，為了能夠清晰地反映出誤差的大小，限定縱坐標的取值范圍是[0, 3‰].由圖14可知，當選用8次擬合時，擬合的仿真結果偏差最小.由圖15可知，樣條插值法的頻率相對誤差較小.在實際計算中，可以在已知系統參數的條件下，采用樣條插值法或者是8次曲線擬合來得到式(15)的相對精確解.

5 結論

在MCR-WPT系統中，系統工作頻率的變化會對系統的傳輸性能產生較大的影響.分析了4種拓撲結構下距離和負載的變化對系統共振頻率的影響，表明串串型拓撲結構的穩定性最好.利用互感理論研究了系統工作在在理想狀態和非理想狀態下的最佳工作頻率，得出以下結論：

(1) 在分析最佳效率工作頻率時不能忽略頻率對線圈內阻的影響，考慮頻率對線圈內阻的影響能夠有效地提高分析的準確性;

(2) 在滿足一定的條件下，可以利用系統的頻率分裂現象在幾乎不降低系統傳輸效率的情況下，有效地提高系統的輸出功率;

(3) MCR-WPT系統中只有當接收端共振時，系統傳輸效率才最大，與發射端是否共振無關;

(4) 頻率分裂只發生在系統的功率特性中，系統的效率特性并不存在頻率分裂;

(5) 利用插值法和多項式擬合對理想狀態下的最佳效率工作頻率進行探索求解，仿真分析結果表明：樣條插值法和8次多項式擬合方法能夠比較精確地反映系統傳輸效率的最佳工作頻率.