一道不定積分考研題的解法及推廣

趙 科

（開封大學 信息工程學院，河南 開封 475004）

0 引言

如果在區間 I上，可導函數 F（x）的導函數為 f（x），那么函數 F（x）就稱為 f（x）在區間上的原函數．函數f（x）的帶有任意常數項的原函數稱為f（x）的不定積分，記作 ∫f（x）dx，并表示為 ∫f（x）dx=F（x）+C[1]．

不定積分是大學數學的幾個重要模塊之一，是很多專業課程的預備知識．學習不定積分能提升學生的計算能力、觀察能力，培養學生的發散性思維與創造性思維．2018年全國碩士研究生招生考試數學（三）第10題就涉及求不定積分．其具體內容如下：

本文擬給出問題（＊）的兩種解法，并針對一般形式的不定積分，介紹一種計算方法．在后面的計算中，會多次使用換元積分法和分部積分法．

換元積分法的內容如下：

設 f（x）連續，x=φ（t）及 φ'（t）皆連續，x=φ（t）的反函數 t=φ-1（x）存在且連續，并且 ∫f（φ（t））φ'（t）dt=F（t）+C，則 ∫f（x）dx=F（φ-1（x））+C[1]．

分部積分法的內容如下：

設函數 u=u（x）及 v=v（x）具有連續導數，那么∫udv=uv- ∫vdu[2]．

1 問題（＊）的兩種解法

2 問題（＊）的拓展

2．1 拓展一

2．2 拓展二

2．3 拓展三

3 結束語