G-布朗運動環境下歐式期權價格數值模擬

陳毛毛,薛紅,王琪

（西安工程大學理學院,陜西西安710048）

期權定價一直是金融數學的核心問題之一,最早可以追溯到1973 年,Black 和Scholes 發表了一篇題為“期權定價與公司債務”的論文,同時提出了著名的Black-Scholes 期權定價模型[1],得到了Black-Scholes 期權定價公式.但是Black-Scholes 公式中假設波動率為常數,這與實際金融市場并不相符,1985 年Rubinstein[2]首次發現實指和虛值期權的隱含波動率比較高,兩平期權的隱含波動率比較低,并將此現象稱為波動率微笑.為了解決這一問題,學者們提出了一系列隨機波動率模型,假設波動率是隨機過程,其中Scott[3]假定波動率服從指數過程,Hull 等[4]假定波動率服從平方根過程,Shanno[5]提出了不確定波動率模型.另一種對Black-Scholes 模型的修正是以Cox 等[6]、Geske[7]、Rubinstein[8]和Bensoussan 等[9]為代表,利用具有價格依賴型波動率的擴散過程來描述股票價格,認為波動率是股票價格和時間的函數.彭實戈[10]在2006 年引入了次線性期望空間,在G-框架下構造了相應的G-布朗運動.且得到了一系列重要結果,參見[11-14].文獻[15]討論了G-正態分布和G-布朗運動的數值模擬,文獻[16]討論了G-布朗運動二次變差的模擬,徐靜等[17]給出了G-框架下的歐式期權定價公式.但是并沒有學者利用G-布朗運動進行期權價格的模擬計算,上證50ETF 期權在2015 年2 月上市,研究其對于中國發展金融衍生品市場具有重要借鑒意義.本文在G-布朗運動環境下建立金融市場模型,假設股票價格服從由G-布朗運動驅動的隨機微分方程,利用蒙特卡洛方法以及保險精算方法數值模擬計算期權價格并用50ETF 進行實證分析.

1 預備知識

定義1（G-正態分布[12]）在次線性期望空間中,如果一個隨機變量滿足

定義2（G-布朗運動[12]）次線性期望空間上的實值隨機過程稱為G-布朗運動,如果對每一個,有,且滿足兩條性質：

（1）B0=0；

（2）對每一個t,s＞0,增量Bt+s-Bt服從,并且對每一個,增量

定義3（二次變差過程[13]）G-布朗運動的二次變差過程定義為

引理1假設U 服從上的均勻分布,F 是一個嚴格遞增的連續分布函數,那么F-1（U）服從分布F[18].

算法1模擬G-布朗運動及其二次變差過程的步驟如下：

Step1：在方程

Step2：生成n 個在區間[0,1]上服從均勻分布的隨機數

Step4：由于G-布朗運動的增量 Bti-Bti-1服從分布,且對每一個 i = 1,2,…,n,均獨立于把Step3 得到的xi, i = 1,2,… ,n 逐項累加就得到一條G-布朗運動的軌道；

圖1 G-正態分布的分布函數 Fig.1 G-normal distribution function

圖2 G-正態分布的密度函數Fig.2 G-normal density function

G-布朗運動及其二次變差的軌道見圖3 和圖4.

圖3 G-布朗運動的樣本軌道 Fig.3 Sample path of G-Brownian motion

圖4 G-布朗運動二次變差的樣本軌道Fig.4 Sample path of ＜B＞t

2 基于G-布朗運動的歐式期權數值模擬

2.1 股價基本模型

假設股價滿足隨機微分方程

式（2）中：St代表t 時刻股價,μ 為期望收益率,Bt為G-布朗運動,

式（3）中：＜B＞t為G-布朗運動的二次變差過程.

2.2 參數估計與數值模擬

隨機微分方程（1）的離散形式為

故有

即

計算每個窗口的方差,取其中最大值為總窗口中的方差上界,即,取其中最小值為總窗口中的方差下界,即.在μ 已經被確定的情況下可以獲得關于下方差和上方差的最優漸進無偏估計

式（6）、式（7）中：風險資產按其期望回報率貼現,期望收益率無風險資產按無風險利率r 貼現.

圖5 基于布朗運動的股價3 條樣本軌道 Fig.5 Three sample paths of stock prices based on Brownian motion

圖6 基于G-布朗運動的股價3 條樣本軌道Fig.6 Three sample paths of stock price basedon G-Brownian motion

圖7 不同模擬次數下的歐式看漲期權價 Fig.7 European call option price with different simulation times

圖8 不同模擬次數下的歐式看漲期權價格Fig.8 European put option price with different simulation times

3 實證分析

選取50ETF 期權（標的物代碼為510050）來進行實證分析.選擇2018 年10 月23 日中到期日為11月28 日的全部合約,基本信息見表1.已知2018 年10 月23 日50ETF 的收盤價格為2.511 元,即S0=2.511,因此模擬接下來26 個交易日的股票價格走勢,無風險利率選取央行2018 年定期存款3 個月的利率,為1.1%,故r=0.011.所用到的數據來源于交易所行情數據借接口.

表1 上證50ETF 的基本信息Tab.1 Basic information of SSE 50ETF

3.1 參數估計

對G-布朗運動的參數進行估計時選取滑動窗口法, 根據2018 年1 月2 日至2018 年10 月23 日50ETF 數據,將對數收益率序列看作總窗口M,子窗口長度N 設為24,共有171 個窗口,計算出上方差和下方差分別為

同樣,對數收益率序列的均值

即

在布朗運動環境下進行參數估計時計算得到對數收益率序列的均值μ 和波動率

故

即

3.2 結果分析

表2 為分別利用Black-Scholes 公式所計算的看漲、看跌期權價格與布朗運動環境下和G-布朗運動環境下的模擬計算的看漲、看跌期權價格對比分析.

利用表2 數據,可得3 種方法計算結果與實際價格的均方誤差：

（1）Black-Scholes 公式下均方誤差

（2）布朗運動環境下均方誤差

（3）G-布朗運動環境下均方誤差

通過上面的分析可以看出,MSE3＜MSE2＜MSE1,G-布朗運動下模擬的期權價格較Black-Scholes 公式以及布朗運動環境下模擬的期權價格而言,能更好地刻畫市場運動,并得到較精確的市場定價,再次說明了G-布朗運動比布朗運動更適合描述復雜的金融市場.

4 小結

本文通過假設股票價格隨機微分方程由G-布朗運動所驅動,模擬股票價格軌道,利用保險精算方法模擬計算期權價格,同時用50ETF 真實數據進行實證分析,利用一系列模型進行對比,得出G-布朗運動環境下的期權定價模型比布朗運動環境下的期權定價模型偏差小, 故G-布朗運動能得到較合理的市場期權定價的結果.總體而言,G-布朗運動環境下的數值方法比布朗運動環境下的數值方法更具有優越性.