利用函數的不動點法求解數列的通項公式

盧良琦

【摘要】利用函數的不動點法求解數列的通項公式是高中數學常用的方法之一，該方法適用于數列中后一項與前一項存在關于項數的數量關系再求通項公式的情形，本文證明了在含有后一項與前一項的單項式中且兩者在次數相同（單調性函數的不動點問題）情況下的三種情形并給出了規律性的結論.把后一項與前一項都看成同一未知數再轉化成一元二次方程后，當Δ>0，通項公式既可能為常數列，也可能為分子與分母都有指數形式的分式，當Δ=0，通項公式既可能在某項中不存在，也可能是常數列，還可能是基于反比例函數的某種平移的結果，當Δ<0，通項公式既可能為周期數列，也可能是相對其他情況下最復雜的數列.通項公式在形式上的不同不僅取決于Δ，還取決于首項與一元二次方程的根的大小關系或一元二次方程的兩根的乘積是否為一.

【關鍵詞】高中數學;函數的不動點;通項公式;周期數列

結論一：

當Δ>0，通項公式會因首項與一元二次方程的兩個根是否相同而有形式的明顯不同！

當首項與一元二次方程的兩個根相等，通項公式全是與首項相等的常數列.

當首項與一元二次方程的兩個根不相等，通項公式是分子與分母都為指數函數的分式，且后一項的分母是前一項的分子（不通分的情況下）.

結論二：

當Δ=0，通項公式會因首項與一元二次方程唯一的根在大小的較量上不光有形式上的不同，還有不存在的可能！

當首項小于一元二次方程的根，通項公式在某項中不存在！

當首項等于一元二次方程的根，通項公式全是與首項相等的常數列.

當首項大于一元二次方程的根，通項公式是通過反比例函數偏移后的函數，且后一項的分母是前一項的分子.

結論三：

當Δ<0，通項公式會因兩根乘積是否為一有明顯形式上的不同！

如果兩根像兩個互為倒數的實數一樣的乘積是一，不區分因比較首項與一元二次方程的根的大小的情況，通項公式是分子與分母都為三角函數的分式且是最小周期為正整數的周期函數！

如果兩根乘積不是一，規律在三種結論中最不明顯.

【參考文獻】

[1]林國夫.利用函數的不動點求數列的通項公式[J].數學通報，2008（12）：44-45.

[2]司志本.關于基本初等函數不動點問題的一點探討[J].中學數學教學，2017（5）：13-15.

[3]陳永明.關于函數的不動點[J].高中數學教與學，2005（2）：48.

[4]王良成.關于單調函數的不動點問題[J].數學通報，1994（3）：32-34.