數學學科核心素養導向的教學設計

【摘 要】 數學教學要在核心素養指導、引領下實現學科育人根本任務.在“方程的根與函數的零點”教學設計中，聚焦數學核心素養，通過創設真實的問題情境、設置三個學習任務、設計課堂提問和學習活動等手段幫助學生開展探究活動，凸顯了概念形成過程，實現了方程的根與函數的零點知識對學生學科核心素養發展的價值.

【關鍵詞】 數學學科核心素養;教學設計;方程的根;函數的零點

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標（2017年版）》）指出，數學核心素養是數學課程目標的集中體現[1].在教材編寫、教學實踐和學業評價中，如何處理數學知識與核心素養的關系，達成兩者的有機融合，是實現課程目標的關鍵[2].《課標（2017年版）》在“實施建議”中提出的五條“教學建議”為教師開展以發展學生數學學科核心素養為導向的教學設計研究指明了方向：教學目標制定要突出數學學科核心素養;情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養;整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展;既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習;重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合[1].教學中，如何根據上述要求進行教學設計？筆者以人教A版數學必修1課程中“方程的根與函數的零點”[3]為例闡述相應的教學設計與實踐.

1 數學核心素養導向的教學設計思路

如圖1所示，結合章建躍先生提出的“三個理解”，數學核心素養導向的教學設計可以按照如下的思路展開：首先，分析《課標（2017年版）》的要求和教材編寫意圖，挖掘教學內容對培育學生數學核心素養的價值，旨在使教師理解數學知識的本質，了解新授知識在數學系統中的來龍去脈;其次，分析學生已有的認知經驗，圍繞學科素養目標設計多個學習任務并確定課時目標，學習任務的設計本質上是在將知識和認識思路結構化，展現知識和思維發生發展的雙過程[2];第三，圍繞學習任務和課時目標創設情境設計問題，設計課堂提問和學習活動.設問是引導學生獨立思考，展現思維過程的重要手段[2].通過元認知提問引導學生進行反思，教師的提問應“問過程”，而非“問結果”，要“問思考”，而非“問知識”;學生的“說”，不是“亂說”，而是在教師引導下進行有效的思辨后，結合自己的經驗、思考，獨立提出觀點.

1.1 挖掘教學內容對學生數學核心素養發展的價值

數學核心素養的發展需要深度運用教育基本原理，深刻揭示教與學的關系、深刻領悟數學教學的本質不是知識符號的教學而是知識內在的邏輯形式和意義領域[4].數學教科書是數學教學的主要依據，是學生數學學習的核心資源.基于“理解數學”，把握數學知識的意蘊和本源，以數學知識為載體，以數學概念的內在邏輯為線索，設計符合學生認知規律的數學活動，在問題解決的過程中形成思維能力和創新精神，從而實現核心素養的發展目標[5].在“方程的根與函數的零點”教學中，基于知識的發生發展，思考以下本源性問題，有助于學生通過課堂學習實現對知識的從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，對學生數學思維發展具有重要意義.

1.1.1 函數零點概念是怎么提出的

思考這一問題，有助于了解研究對象的背景.教材與實際相聯系一般從生活相聯系和與數學相聯系兩個方面解釋學習新知的必要性[6].“理解數學”是教好數學的前提（章建躍語）.從學生學習角度看，核心概念是一個“綱”，綱舉目張，是一個“組織者”.在教學中，教師要了解知識產生的合理性和必然性，讓學生知道學習該概念的必要性和重要性.教材第87頁指出：“二次函數的圖象與x軸交點和相應的一元二次方程根的關系，可以推廣到一般情形.為此，先給出函數零點的概念”[3].這就表明，從數學背景來看，函數零點是基于學生已經學習的函數的圖象與x軸交點和方程的根這一數學內部的聯系而提出的，學習任務在學生思維的最近發展區內.教學時應將函數零點概念的背景展現出來，讓概念自然呼出，引導學生體會知識的自然發展過程.

1.1.2 函數零點概念是怎么構建的

思考這一問題，有助于認識研究對象是如何獲得的.做研究，研究對象、研究內容、所有的關鍵詞都要有明確的定義[7].教材第86頁首先給出思考問題：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象有什么關系？”[3]緊接著提出研究思路：“先觀察幾個具體的一元二次方程及其相應的二次函數”[3].教學時引導學生通過探究，會用函數圖象與x軸的交點解釋方程根的意義，感受函數零點概念產生的自然性和必要性;結合二次函數的圖象與x軸交點的個數，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，使方程的根與函數的零點的關系自然地凸顯，從而抽象出函數零點概念，并且可以開始進行下一步的學習.

1.1.3 函數與方程之間是怎樣聯系的

思考這一問題，有助于了解數學對象的發展（如何發揮作用的）以及函數零點概念下的數學思想.函數是中學數學的核心概念，是貫穿高中數學課程的主線.一個重要的原因就在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，函數的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同角度將數與形、函數與方程等有機地聯系在一起，這是數學知識的聯系性與整體性的體現，有利于學生學習遷移的發生，從整體上把握數學，構建一個具有強大思維功能的知識體系，從中感受到對立統一、化歸與轉化的思想，能用相互聯系的觀點辯證地看問題，培養他們數學地分析問題的意識.

1.1.4 為什么采用這樣的方法

思考這一問題，有助于發展學科一般觀念，實現教學目標的全面落實.教師通過教學揭示函數零點的背景、構建函數零點概念、探究函數零點存在定理以及函數零點的應用，把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，孕育學科一般觀念，幫助學生奠定研究數學概念的一種基本方法，讓學生親身體驗數學發現和創造的過程，在“學會”的同時，逐步做到“會學”，進一步體會用函數觀點統一方程和不等式的數學思想方法，最終形成一個研究數學問題的思維體系，培養和提升創新能力.1.2 教學目標

（1）結合一次函數、二次函數的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方程根的聯系.

（2）觀察具體函數圖象在零點附近的函數值變化情況，發現并概括出函數零點存在的條件，探究得出“零點存在定理”.

（3）通過“零點存在定理”的探究，讓學生體驗特殊到一般、數形結合、函數與方程等數學思想方法.

1.3 設計學習任務，整體把握教學內容

學習任務是連接核心知識與具體知識點的橋梁和紐帶，是實現知識結構化的重要環節[8].基于教學內容發展價值分析的研究，本節課的三個核心任務是“怎樣判斷方程是否有實根？有幾個實根？”“方程的根與函數的零點的關系是什么？”“怎樣判斷函數零點的存在性？”.“學習任務1”為觀察、探究創設情境，重在引發認知沖突，充分激活學生思維，為積累更多的經驗提供寶貴的思維空間;“學習任務2”引導學生結合函數圖象，了解函數零點與方程的根的關系，重在構建函數零點概念;“學習任務3”突出通過直觀引導學生開啟想象之門，結合具體函數及其圖象的特點，能用代數運算和函數圖象表征函數零點存在的充分條件，“發現”函數零點存在定理.

1.4 創設合適的問題情境

合適的問題情境有助于引發學生思考與交流，形成和發展數學核心素養，也為學生數學核心素養提供了真實的表現機會.教師提問的質量決定了教學的質量，而問題的質量主要體現在“啟發度”的把握上[9].啟發度可以從兩個方面衡量：是否反映數學本質和是否在學生思維最近發展區內.教學中通過在數學對象發生發展的關節點上提出問題，不僅能夠激發學生探究興趣，使“知識的發生發展”成為學生自己主動思維的結果，更關鍵的是其具有豐富的素養發展價值，能夠引導學生的直觀想象、抽象、概括、比較、歸納、分析、綜合[2].

2 教學策略

概念教學強調追本溯源，前后聯系、邏輯連貫的概念形成過程.依據數學知識的內在邏輯和學生的認知規律，函數零點概念的教學可以采用概念形成教學.在學習素材上，選取“求方程的根”和“畫函數圖象”活動，引導學生抽象建模，通過“從圖象上看”，抽象出方程的根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標這一“本質”屬性（數形結合地思考問題），從而建立新的認知結構（三個“等價關系”），既增加了函數零點這個“新知”，又學會了確定函數零點的相關技能（求方程的根或函數零點的三種方法——通過求解方程解出來，通過畫函數圖象畫出來，利用零點存在性定理進行判斷），更重要的是，積累了數學建模的經驗，經歷了數形結合和對應思想的體驗過程，使抽象建模素養得到了發展.零點存在性定理體現了數形結合的思想，教學中應讓學生充分經歷由圖形連續變化的趨勢來判斷零點的存在與否過程，體會和感悟函數與方程之間的關系，以及化歸與轉化的思想，體會函數性質在研究函數問題中的作用.

從數學知識的發生發展過程認識核心素養，抓住本源性問題，設計數學教學活動，賦予學生更多的思考、動手、動腦和交流的機會，讓學生在活動中經歷概念的形成過程和應用過程，有助于體現數學的思維方式，促進學生理性思維的發展，發揮一般觀念的引領作用.3 教學過程

3.1 創設情境，激發興趣

問題1 判斷下列方程是否有根？若有，有幾個根？

（1）3x-2=0;

（2）x²-2x-3=0;

（3）lnx+2x-6=0.

設計意圖 （1）（2）中的方程可以直接求解，（3）中的方程不能直接求解，引發學生產生疑問，激發學生學習興趣和探究熱情，通過后繼學習，進一步領會將方程問題轉化為函數問題處理的必要性.

3.2 問題探究，建構概念

問題2 畫出函數f（x）=3x-2的圖象，觀察方程3x-2=0的根與函數f（x）=3x-2的圖象和x軸的交點，你有什么發現？

設計意圖 通過簡單函數“引”零點，在學生困頓之處用問題點明想法的源頭和實施方法，旨在以學引思.正如著名數學家華羅庚所言：“要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的訣竅.”

追問1 問題2中，你是怎么看2/3的？

設計意圖 通過代數運算和函數圖象揭示2/3的“雙重身份”——既是方程3x-2=0的根，也是函數f（x）=3x-2的圖象與x軸交點的橫坐標，初步感知方程與函數的聯系，“使新知識與原有知識形成聯系”.問題3 完成下表，觀察方程的根與函數圖象和x軸的交點，有什么發現？

設計意圖 通過函數圖象，直觀感受方程的根與函數圖象和x軸交點的橫坐標之間的關系，進一步體會方程與函數的內在聯系.

問題4 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象有什么關系？問題5 上述關系能否推廣到一般情形？

師（總結）：我們把問題推廣到一般情形，函數圖象與x軸交點的橫坐標就是相應的方程的根，就是函數的零點.

設計意圖 問題4和問題5關注“表明想法”和“明確道理”[2]，引導思維發展方向和深度理解，讓學生充分應用直觀想象、觀察分析、抽象概括等思維方式，構建函數零點的概念，使新知識與原有知識形成聯系，凸顯了概念的形成過程，體現了從特殊到一般、從簡單到復雜、從感性到理性的思維過程.

3.3 質疑思辨，完善概念

問題6 由函數零點概念，你認為“方程f（x）=0有實數根”“函數y=f（x）的圖象與x軸有交點”“函數y=f（x）有零點”之間有什么關系？

設計意圖 引導學生明確求方程f（x）=0的實數根，就是確定函數y=f（x）的零點.如果方程f（x）=0不能用公式法求根，就可以將它與函數y=f（x）聯系起來，利用函數的性質找出零點，從而求出方程的根.讓學生在對比與聯系中理解數學，進一步讓函數與方程的內在聯系自然地凸顯出來，利用這種聯系可以更好地解決相關問題.

問題7 回看問題1中的方程lnx+2x-6=0，你能判斷這個方程是否有實數根？

生：“方程lnx+2x-6=0是否有實數根”可以轉化為判斷“函數f（x）=lnx+2x-6是否有零點”.

追問2 怎樣判斷函數f（x）=lnx+2x-6是否有零點？

設計意圖 引導學生用函數研究方程的問題，讓思路和方法自然地暴露.用函數觀點研究方程，本質上是將局部問題放在整體中研究，將靜態結果放在動態中考察.

問題8 觀察二次函數f（x）=x2-2x-3的圖象，發現函數在區間[-2，1]上有零點.計算f（-2）與f（1）的乘積，你能發現這個乘積有什么特點？在區間[2，4]是否也具有這種特點呢？

追問3 函數f（x）=x2-2x-3在零點-1和3的附近函數值的變化有什么共同點？

設計意圖 通過觀察和分析（一是觀察和分析函數圖象變化特點，二是觀察和分析數據）、計算和比較，得出函數在區間端點處函數值乘積的情況與函數在該區間內是否存在零點之間的關系，引導學生把零點附近函數值的變化情況用數學符號語言表達出來（把“圖象特征”轉化為“代數表示”），并對所得結果進行辨析，逐步完善函數零點存在的條件，在交流、辨析中構建函數零點存在定理（在具體的例子中抽象概括出共同的本質特征，得到一般性的結論）.

問題9 判斷下列說法是否正確，如果不正確，請舉出反例.

（1）若函數y=f（x）在區間[a，b]滿足f（a）f（b）<0，則y=f（x）在區間（a，b）內一定有零點;

（2）若函數y=f（x）在區間（a，b）內一定有零點，則f（a）f（b）<0;

（3）若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且f（a）f（b）<0，則y=f（x）在區間（a，b）內一定存在零點;

（4）若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且f（a）f（b）<0，則y=f（x）在區間（a，b）內有唯一零點.

設計意圖 通過舉例辨析進一步理解函數零點存在定理，教師通過提問等方式讓學生多舉些例子以加深認識.

問題10 若函數f（x）在[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且f（a）·f（b）<0，那么函數f（x）在（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是f（x）=0的根.那么“函數f（x）在（a，b）內有零點”，你能確定f（x）有多少個零點嗎？[10]

生：不能確定，但至少有一個！

追問4 你能不能畫圖說明滿足條件的函數f（x）在區間（a，b）內恰有一個，兩個，三個，…，無數個零點的情形？

設計意圖 ? 合適的情境和問題是學生思維爬升的臺階，以“恰時恰點”的問題引導學生參與學習過程，參與發現，就能點燃學生的熱情，培養學生的創新能力[10].

3.4 數學應用，鞏固理解

例1 判斷函數f（x）=lnx+2x-6是否有零點？

（學生嘗試用函數零點存在定理進行解答，教師巡視，及時掌握學生的情況.）

師 （用幾何畫板畫出f（x）=lnx+2x-6的圖象）從函數圖象上看f（x）只有一個零點，這個結論正確嗎？怎么說明？

設計意圖 引導學生借助計算機或計算器畫函數的圖象，探索判斷函數零點存在的方法.結合函數圖象對函數恰有一個零點形成直觀認識，進一步引導學生結合函數的單調性證明函數零點的唯一性，突出數學的邏輯嚴密性和方法的簡潔美妙.形成“圖形判斷——直觀，性質判斷——嚴謹”的辯證思維.

追問5 你能將函數f（x）=lnx+2x-6的零點所在區間的范圍盡量縮小嗎？

設計意圖 在數學對象發展的關節點上提出問題，為后繼學習“用二分法求方程的近似解”打下伏筆，使學生的整個學習過程形成一個有機的整體.

練習 判斷下列方程是否有根？有的話，有幾個？

（1）x⁵-3x+1=0;（2）e^x-1+4x-4=0.

設計意圖 理解鞏固方程與函數的關系，進一步體會數形結合思想的應用.

3.5 課堂回歸，總結提高

（1）這節課我們學習了哪些知識？（2）這些知識能解決什么問題？

3.6 作業布置，鞏固發展

（1）課本88頁：練習1（1）、（4），2（2）、（4）;

（2）研究性作業：畫出本節課你理解中的知識樹.

4 結束語

數學核心素養導向的概念課的教學研究要從整體上把握概念，突出概念之間的相互聯系，注重本質，精心設計好思維的導航圖和生長鏈，從微觀上把握好概念獲取的生長路徑和關鍵節點[11].關于“方程的根與函數的零點”的教學設計，構建函數零點概念可謂“雙管齊下”：第一，通過函數圖象觀察并通過計算獲得確認，這是“賦形以數”;第二，通過探究方程的根與函數零點之間的關系，讓學生經歷“為數配形”的過程，讓函數零點的本質自然地揭示，發展了直觀想象等數學核心素養.在零點存在定理的探究中，讓學生經歷觀察函數圖象、探索圖形特征、抽象辨析結論這一過程，強調的是一種數學觀念，突出的是一種數學直覺，培養的是理性思維能力，展現的是一種內在素質和綜合能力.學生積極地參與到教學活動中，在思考和交流的過程中掌握知識技能、感悟數學本質，使知識和思維的發生發展過程自然地推進，自然地構建函數零點概念網絡體系.上述教學設計和實踐實現了方程的根與函數的零點知識對學生學科核心素養發展的價值.這一學習過程也符合對事物的認知過程：從感性到理性、從定性到定量、從具體到抽象、從方法到觀念、從工具到模型等[12].

參考文獻

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作者簡介

林運來（1975—），男，高級教師，中國數學會奧林匹克高級教練，福建省十三五中學學科教學帶頭人培養對象，研究方向：中學數學教學.