含磁場耦合憶阻神經網絡放電行為研究

李雅岱，韋篤取

(廣西師范大學 電子工程學院，廣西 桂林 541004)

在過去的20年中，復雜網絡理論和應用研究在許多科學和技術領域(如化學、物理學、生物學、社會學等)受到人們廣泛關注[1-4]。一個典型的例子是小世界網絡，其特點是給定一部分所謂的遠程連接或捷徑連接系統的遠距離節點，而近鄰節點則以類似擴散的方式耦合[5]。近年來，大多數有關復雜網絡的工作都集中在如何理解小世界連接對系統動態特性的影響上。例如：小世界連接的引入，可以使二維Ising模型的二階相變轉變成一階相變[6]，也可以防止興奮Gray-Scott動力學網絡中時空混沌的崩潰[7]，還可以提高耦合神經網絡的同步性能[8]，等等。所有這些研究工作都表明，小世界連接對系統動力學有著至關重要的作用。近年來，復雜網絡中耦合強度的重要性也受到了廣泛關注。例如，Dhamala 等[9]探討了耦合強度對耦合Hindmarsh-Rose 神經元同步的影響，Kwon 等[10]和Li 等[11]分別研究了耦合FitzHugh-Nagumo 神經元內部的隨機共振和相干共振效應中耦合強度的重要性。

由大量神經元組成的生物神經系統一直以來都是一個有趣而又重要的研究課題。這些神經元通過突觸相互連接，形成一個非常復雜的網絡。因此，有必要采用復雜網絡理論來研究神經系統的動力學行為。當前, 對于神經網絡電活動研究主要是基于化學或電突觸耦合進行的。實際上, 除了突觸耦合, 神經元之間還存在場耦合。如：Guo等[12]發現磁場對最鄰近耦合神經網絡的整體動力學有重大影響； Ma等[13]研究神經網絡之間的集群響應，發現磁場耦合可以更快實現神經元之間的相位同步； Lv等[14]在場耦合下研究了神經網絡之間的信息傳播，發現場耦合比傳統的化學耦合更能促進神經元之間的同步；Xu等[15]發現場耦合會誘導神經網絡產生振蕩行為。 以上工作均表明，在傳統神經元模型中考慮場耦合對神經網絡放電行為的影響具有實際意義。另外，憶阻器是蔡少棠教授1971年在理論上預測出來的一種元器件, 其代表電荷和磁通量之間的關系[16-17]。2008年惠普公司在研究二氧化鈦時證實了“第4種電子元件”憶阻器的存在[18]。 由于憶阻器尺寸達納米級、具有存儲信息和掉電后非易失性的特點[19], 非常適合作為神經元的耦合突觸，因而成為神經網絡非線性動力學新的研究熱點[20-21]。

本文的主要工作是探討小世界連接拓撲p和耦合強度C對復雜生物神經網絡放電行為的影響。以含磁場耦合憶阻Hodgkin-Huxley(HH)神經元為節點,以神經元之間的連接為邊, 建立Newman-Watts(NW)型小世界憶阻神經網絡，并通過改變連接拓撲概率和耦合強度研究神經網絡放電行為。為了定量研究神經元網絡的放電活動程度，我們引入平均放電率衡量放電行為的強度。研究發現，對于一個給定的耦合強度，當連接拓撲概率較小時，神經網絡沒有放電行為；當連接拓撲概率大于閾值時，網絡中的神經元會出現放電現象，而且隨著連接拓撲概率p的進一步增大，放電活動的幅度變得更強。這表明連接拓撲概率p可以誘導和增強神經網絡的電活動。我們的研究結果可以為理解真實耦合神經元的集群動力學特性提供有益的見解。

1 含磁場耦合憶阻Hodgkin-Huxley(HH)神經網絡模型

1952年，Hodgkin和Huxley利用烏賊軸突的電壓鉗位實驗數據建立了經典的Hodgkin-Huxley(HH)定量模型[22]，第1次從物理學的角度導出描述神經興奮傳遞的數學模型，為生物神經元的電神經生理學的發展奠定了基礎。由于該模型可用來描述神經膜中所發生的非線性現象如自激振蕩、混沌及多重穩定性等行為，因而受到人們的廣泛關注。本文以含磁場耦合憶阻HH神經元為節點[23],以神經元之間的連接為邊, 建立NW型小世界神經網絡，其動力方程如下[24-25]：

(1)

(2)

βn=0.125φ(T)exp[-(Vi+65)/80],

(3)

(4)

βm=4φ(T)exp[-(Vi+65)/18],

(5)

αh=0.07φ(T)exp[-(Vi+65)/20],

(6)

(7)

φ(T)=3(T-6.3)/10。

(8)

式中：Vi是膜電位；Cm是膜電容；Iext是外部刺激電流；m、h、n是門控變量；gNa、gK分別為鈉通道、鉀通道的最大電導；gL為漏電導；φ(T) 為溫度因子；T為溫度。k1Vi定義了電磁感應的作用, 增益k1取決于介質,k2φi表示自感作用并考慮了磁通飽和。kρ(φ)V是感應電流, 描述了電磁感應和電場變化的影響,k為反饋增益。感應電流計算形式為

(9)

式中φ表示跨膜磁通量；ρ(φ)是磁控憶阻器的記憶電導,ρ(φ)=α+3βφ2, 被用來描述磁通量和膜電位之間的耦合。本文選擇參數為T=20、α=0.4、β=0.02、k=0.8、k1=0.001、k2=0.02。

2 數值結果及分析討論

下面的數值仿真是通過以步長Δp=2%改變拓撲隨機性進行的。對于每個p值，將會生成100個網絡實現。在每一個網絡實現中，200個神經元的狀態變量初始值是重新隨機選擇的：Vi=5.3×rand()，yni=0.05×rand()，ymi=0.5×rand()，yhi=0.32×rand()，φi=0.1×rand()，其中i為耦合網絡的節點序號，rand()表示[0,1]均勻分布的隨機數。我們采用四階Runge-Kutta法對微分方程(1)進行了數值積分，時間步長為ΔT=0.01，得到了下列結果。

固定取耦合強度為C=0.09時，對于不同的p值，HH神經網絡中任意單個神經元膜電位的時間序列如圖1(a)～(d)所示。對于p=0，即在最近鄰耦合網絡中，神經元處于靜息狀態沒有放電行為，如圖1(a)所示。當連接概率增大到p=0.06時，可以觀察到時間序列中的尖峰行為，即出現了放電的神經元，如圖1(b)所示。進一步增加連接概率到p=0.30和p=0.80時，尖峰的幅度和頻率也進一步增加，分別如圖1(c)和(d)所示。這些現象表明，連接概率的增加可以誘導和增強神經網絡的活動性。其潛在的機制是隨著連接概率p的增大，NW型小世界神經網絡中非近鄰節點的連邊增加，每一個神經元受到相連節點膜電位作用增大，因而活動性得到增強。

圖1 不同p值下，HH神經網絡中任意單個神經元膜電位的時間序列(C=0.09)Fig. 1 Time series of arbitrary neuron membrane potential in HH neural network with different p (C=0.09)

為了定量研究神經元網絡的放電程度，我們引入標準差衡量放電振幅的強度。標準差定義為：

(10)

(11)

圖2 在不同耦合強度下標準差δ隨連接概率p的變化Fig. 2 Variation of standard deviation δ with connection probability p under different coupling intensities

3 結論

本文研究了NW小世界場耦合HH神經網絡的放電行為。為了評估拓撲概率p對神經網絡活動性的影響，我們分析標準差作為活動強度的量度。結果發現，當概率p接近于零時，網絡中沒有激活的神經元。隨著概率p被增大到一個臨界值，激活的神經元就會出現。當p進一步增大時，放電的強度變得更強。這些現象表明拓撲概率p可以誘導和增強神經網絡的點活動。此外，還研究了耦合強度對神經網絡放電行為的影響，結果發現強耦合更容易誘導和提高放電行為。