具有不變直線的非Hamilton系統的極限環分支

張二麗，邢玉清

(1. 鄭州財經學院 信息工程學院,河南 鄭州 450044;2. 河南農業大學 理學院,河南 鄭州 450002)

實平面微分系統定性理論的一個主要問題是確定它們極限環的個數, 其中通過擾動具有中心的微分系統產生極限環是一種經典方式。一般來說, 研究從一個微分系統的中心周期環域分支出極限環個數有4種方法: Poincaré回歸映射法[1]、 Poincaré-Pontrjagin-Melnikov法或Abelian積分法、逆積分因子法[2]和平均法[3]，其中前2種方法在平面上是等價的[4]。在一定條件下平均法與Abelian積分法也是等價的[5]。平均法給出了非自治周期微分系統的解和其平均微分系統的解之間的定量關系, 平均微分系統是一個自治微分系統, 研究起來較簡單, 而且一階平均微分系統的雙曲平衡點的個數給出相應非自治周期微分系統極限環的最大個數的一個下界。當一階平均函數等于零, 極限環的個數依賴于二階平均函數, 依次類推[6]。更多相關的研究可參看文獻[7-11]。

文獻[2]研究了如下形式的擾動可積微分系統

(1)

式中h(x,y)=0是R2上使得h(x,y)≠0的圓錐曲線。當f(x,y)和g(x,y)都是3次多項式時, 他們應用一階平均法得到了系統(1)的極限環的最大個數。當f(x,y)和g(x,y)是任意n次實多項式時, 應用一階平均法：文獻[12]研究了h(x,y)=x+1;文獻[13]研究了h(x,y)=(x+a)(y+b), 其中ab≠0; 文獻[14]研究了h(x,y)=(x+a)(y+b)(x+c), 其中abc≠0; 文獻[15]研究了h(x,y)=y2+ax2+bx+c, 其中c≠0。應用二階平均法, 文獻[16]研究了h(x,y)=(a1x+a0)(b1y+b0), 其中aibi≠0(i=1,2)。

本文研究如下擾動可積微分系統

(2)

式中0<|ε|?1,

(3)

易知, 當ε=0時, 系統(3)有首次積分H(x,y)=x2+y2, 原點是該系統的一個中心, 且該系統有一對不變直線x=±1。本文主要結果如下:

定理1當0<|ε|?1時, 系統(2)恰好存在n個極限環。

1 平均法

本章介紹微分方程的平均法, 詳見文獻[17]。

定理2考慮如下微分方程的初值問題

(4)

其中F0(x,t)和G0(x,t,ε)是關于t的T-周期函數,x,x0∈U,T是不依賴于ε的常數,U是R中的開區間。定義平均函數

再考慮平均方程的初值問題

(5)

注1 由定理2可知, 如果方程(4)滿足定理中的條件, 則平均函數f 0(y)的每個簡單零點對應方程(4)的一個極限環，所以計算出平均函數f 0(y)至關重要。

2 平均函數

本章將計算平均函數的具體表達式。令

x=rcosθ,y=rsinθ,r∈(0,1),

則式(2)可化為

所以

(6)

其中

容易驗證, 方程(6)滿足定理2中的條件。根據定理2, 與方程(6)相對應的平均函數為

(7)

下面化簡平均函數f0(r)。由式(3)可得

(8)

其中λi,j=ai-1,j+bi,j-1, 這里假設λ0,0=a-1,j=bi,-1=0。因為ai,j和bi,j是可以任意選取的, 所以λi,j也是可以任意選取的。為了方便, 定義

(9)

易知, 當k是奇數時,M(k)=0; 當k是偶數時,M(k)≠0，且M(0)=1。

引理1下列關系式成立：

①rI0,j(r)=M(j-1)-I0,j-1(r);

③rJi,j+1(r)=Ii,j(r)-Ji,j(r);

由①知, 當j=1,2時, ⑤成立。假設當j=l時, ⑤成立，則當j=l+1時, 由①和②可得

rl+1J0,l+1(r)=rl[I0,l(r)-J0,l(r)]=

所以當j=l+1時⑤成立。證畢。

注2 令F(r)=rf 0(r), 則F(r)和f 0(r)在區間(0,1)上的零點個數相同。所以下面求F(r)在區間(0,1)上的零點個數。

對整數n，用[n]表示不超過n的最大整數。

引理2函數F(r)可以表示為

(10)

式中：

證明由式(9)、(10)和引理1可得

(11)

可得

I0,0(r)=(1-r2)J0,0(r)。

(12)

把式(12)代入式(11), 并注意到當k是奇數時M(k)=0, 即可得式(10)成立。證畢。

注3 由式(10)可知, β0=-α0。

證明如果n是奇數, 由式(10)可得

如果n是偶數, 可類似地證明。證畢。

3 主要結果的證明

為了證明本文定理1, 還需要下面引理。

引理5對于系統(2)，如下結論成立：

(13)

(14)

(15)

類似地可以證明結論②成立。證畢。

下面證明定理1。

由式(10)可知, 當n是奇數時,

(16)

令ξ=r2, 則式(16)變為

(17)

即可得定理1成立。證畢。