關于機械橫波反射與折射的演示實驗

路峻嶺 顧 晨 秦聯華 任乃敬 馬泊一

(清華大學物理系，北京 100084)

1 筷波儀簡介

圖1 筷波儀照片圖

圖2 筷波儀振子鏈的示意簡圖

筷波儀的照片如圖1所示，它由用以演示機械橫波的振子鏈、激勵電機(上游源頭)、阻尼器(下游尾端)和激勵電源、止動電源等幾部分組成[1]。振子鏈由一串可繞一根水平細軸轉動且相互彈性連接的振子串組成，示意圖如圖2所示。每一個振子都可以繞水平細軸作微幅轉動振動，振子鏈上可以產生以振子轉動角度為參量的機械波。從儀器的側面觀察，振子的端部則表現為橫波波動。由于每一個振子都像一根筷子，所以這種儀器又稱為筷波儀。開啟激勵電源，上游源頭(x=0)開始振動，由于振子之間的彈性連接，于是在振子鏈上出現波動。如果調節阻尼器使下游尾端(x=L)的阻尼適當，波動傳播過來的能量被完全吸收，則振子鏈上的波就是行波。如果除去阻尼器使下游尾端固定或自由，則在振子鏈上將出現駐波。如果想瞬時固定住波列波形，就開啟止動電源，此刻波列就會被突然凍住。不過，這一操作只能在幾秒內結束，否則容易損壞儀器。本文所涉及的實驗是改變部分區段(如下游區段)振子的轉動慣量，以使振子鏈的波阻抗發生改變，演示波阻抗改變對機械波傳播的影響。

2 筷波儀振子鏈上的機械波

筷波儀振子鏈的結構如圖2所示，設諸振子結構均勻一致，振子端部小圓柱體的質量皆為m，其質心離水平細軸的距離皆為l，相鄰振子之間的距離為a，則每一個振子的轉動慣量約為2ml2，沿軸向單位長度上振子鏈的轉動慣量即轉動慣量密度2ml2/a，設振子鏈的總長度為L。沿水平軸方向建立x軸，如圖2所示。

2.1 筷波儀上振子鏈的波動方程及其解[2-3]

設筷波儀振子鏈在自然狀態(不受任何外力)時，處于水平位置，操作者撥動最右端(x=L)的振子，施加力矩M使它偏離水平位置的角度(扭轉角)為θ，并設振子鏈的力矩彈性系數為K，則根據胡克定律，有

M=-Kθ

(1)

這是在振子鏈均勻扭轉形變的情況下，得到的力矩-形變的關系式。若振子鏈中有波存在，整個振子鏈就不會處處形變均勻了?，F在考察振子鏈中某一點兩側振子鏈元段之間的相互作用力矩。上例表示整個振子鏈在力矩M的作用下扭轉角為θ，整個振子鏈扭轉應變為θ/L。由于振子鏈均勻，扭轉應變處處相同，而且振子鏈中任意一點兩側元段之間的相互作用力矩均為M，因此有

(2)

圖3 振子鏈元段的應變與力矩

振子鏈元段Δx上的所受合力矩為

由定軸轉動定律,得

即

(3)

(4)

其中A為振幅，ω為波的圓頻率，c為波速，k為波數，波數k前面的符號±表示波的傳播方向，正號表示往負x方向傳播的行波，負號表示往正x方向傳播的行波。一般來說，波動方程在具體條件下的解是這兩種行波的線性疊加。易證明上述波動函數θ(x,t)確實是波動方程的解，但ω與k這兩個參數并不獨立，它們必須滿足下列方程式：

(5)

在具體問題中，例如振子鏈兩端固定，這些物理邊界條件必然限定了k不能任意取值，只能取一些分立值，由此定出頻率ω也是分立的，這些我們在柔弦振動實驗中已經知道了。

2.2 筷波儀上機械波的波阻抗

日常生活中人們有一個直覺，就是騎自行車遇到逆風或爬坡時，盡管可以慢登，但依然覺得很吃力。如果自行車裝上了加快軸(齒輪變速裝置)，換一個擋，加快登車的速度，即使功率不變，也會覺得輕松得多。又例如游泳時，由于人的手掌腳掌面積不夠大，盡管很快劃水，但總覺得使不上力，若在腳上穿上蛙蹼，用力大一點，即使劃慢一點也能得到同樣的功率，游得很快，人會覺得很自在。這里涉及一個概念，就是阻抗匹配問題[2]。

力學中的功W=f·s;W=M·θ；

=f·(恒力時)；

電學中的功率p=VI。

θ0(x,t)=Acos(ωt-kx)

(6)

在振子鏈上選一點x，我們計算x點負側(上游側)對正側(下游側)的作用力矩，以及x點處振子振動的角速度。

(7)

定義波阻抗Zc為力矩除以角速度。則有

(8)

若振子鏈中存在負向行波θ1(x,t)=Acos(ωt+kx)，x點正側(上游側)對負側(下游側)的作用力矩和角速度為

圖4 兩種阻抗的振子鏈

(9)

可見波阻抗只與載波介質的物理特性有關，而與波的傳播方向、波的頻率、波的波數等波動參量無關。若載波介質在某一點上的物理特性有突變，即波阻抗有突變，對波的傳播有何影響呢？

2.3 筷波儀振子鏈上的機械波在阻抗突變點的反射與折射

設入射波為θ0(x,t)=Acos(ωt-kx)(-L/2≤x≤0);反射波為θ1(x,t)=RAcos(ωt+kx)(-L/2≤x≤0);折射波為θ2(x,t)=TAcos(ωt-k′x)(0≤x≤L/2)，其中R為振幅反射率，T為振幅折射率。在上游區段(x≤0區段)，振子鏈中存在著兩個波,即θ上(x,t)=θ0(x,t)+θ1(x,t)。在下游區段(x≥0區段)，振子鏈中存在著一個波(不考慮尾端的反射),即θ下(x,t)=θ2(x,t)。

x=0點為兩種阻抗區段的邊界點，邊界條件是：兩邊介質在邊界點的相互作用的力矩大小相等方向相反;兩邊介質振動在邊界點的角位移相等。其數學表達式(邊界條件方程)如下。

(10)

具體到本問題, 邊界條件方程即:

根據邊界條件方程(11)，兩邊介質扭轉振動在邊界點的角位移相等,即

θ上(0,t)=θ0(0,t)+θ1(0,t)=θ下(0,t)=θ2(0,t)

即

即

Acosωt+RAcosωt=TAcosωt

(13)

由此解出

T=1+R

(14)

由式(13)亦可知，兩種阻抗的區段的扭轉振動在邊界點不僅角位移相等，角速度也相等。為了計算波阻抗，只要用式(12)的兩邊之一除以角速度即可。不過用左邊和用右邊除以角速度計算波阻抗的物理意義不同。若用式(12)的右邊除以角速度得到波阻抗,就是通過一列行波計算振子鏈波阻抗的過程,也就是類似式(7)、式(8)的計算過程。這如同電學中,由負載電阻兩端的電壓和通過負載電阻上的電流來計算負載電阻的值。若用式(12)的左邊除以角速度得到波阻抗,就如同用電池的輸出電壓除以輸出電流來計算負載電阻的電阻值。后者的優點在于它能夠幫助把負載阻抗ZL、振幅反射率R和振幅折射率T都聯系起來。以下按這種方法進行計算。

(15)

所以，負載阻抗

(16)

即

(17)

由此可見，振幅反射率R與負載阻抗ZL和源段阻抗Zc有關。把式(17)代入式(14)可以得到振幅折射率T。

即

(18)

這樣，我們就通過源段波阻抗Zc、負載阻抗ZL把振幅反射率R，振幅折射率T都表達出來了。由式(17)式(18)，我們可以看出: 振幅折射率T總是大于零的，表示在阻抗邊界點，折射波的相位與入射波的總是相等的；而振幅反射率R卻不同，它可正可負。在低阻抗邊界(ZLZc)反射時，R小于零，表示反射波的振幅即有符號的變化，正號變為負號，相當于相位有180度的變化，如同波列突然減少了半個波長一樣，稱為半波損失。

2.4 筷波儀振子鏈上的機械波在阻抗突變點的反射波與折射波的能量分析

我們知道，根據能量守恒定律，入射波的能流密度應該等于反射波的能流密度與折射波的能流密度之和。首先我們先要看一個行波的能流密度如何表示[4]。

由此可得

(19)

這就是通過波阻抗、振幅反射率和振幅折射率表示的能量守恒定律。

由式(17)(18)

進而反射波與入射波的能流密度之比σ反

(20)

折射波與入射波的能流密度之比σ折

(21)

圖5 R、T、σ反及σ折與阻抗之間的關系圖

由圖5可見，反射波的能流不會大于入射波的能流，只有在ZL=0，即邊界為自由端、或ZL=∞即邊界固定時才為1；其它情況下能流的反射系數均小于1。由于反射波能流與折射波能流二者之和總是等于1，兩者各自所占比率亦如上圖所示。振子鏈上波的特點是：在接近阻抗匹配時以折射波為主。在遠離阻抗匹配時以反射波為主。

3 筷波儀振子鏈上的機械波在阻抗突變點的反射與折射演示實驗

本實驗欲演示振子鏈上機械橫波在阻抗突變點x=0處的反射與折射(參見圖4)。為了觀測方便，我們在下游(折射區段)尾部設置阻尼器,調整阻尼使下游折射區段波動傳輸來的能量剛剛能被完全吸收。這樣,在下游折射區段(x≥0)就只有一列正向行波; 而在上游區段(x≤0)就有兩列行波: 入射正向行波和反射負向行波。本實驗就是通過觀察這三列行波組合的實驗現象來了解機械波在阻抗突變點的反射與折射的。

設入射波為θ0(x,t)=Acos(ωt-kx)，反射波為θ1(x,t)=RAcos(ωt+kx)，折射波為θ2(x,t)=TAcos(ωt-k′x)，則在上游區段(x≤0區段)，其波列是兩個行波的疊加,即θ上(x,t)=θ0(x,t)+θ1(x,t)；在下游區段(x≥0區段)，其波列是折射行波,即θ下(x,t)=θ2(x,t)。以下將按照高阻抗反射(ZL>Zc)和低阻抗反射(ZL

在高阻抗反射(ZL>Zc)時，由圖5可知：-1

式(23)的推導中用到式(14)T=1+R=1-R′?？梢?，高阻抗反射時，在上游區段(x≤0區段)，入射波與反射波的疊加等效為一列駐波和一列行波的疊加。駐波的波節在波阻抗突變點x=0點；駐波波腹的振幅與振幅反射率的絕對值R′成正比；行波的振幅與折射行波的振幅相等；行波在阻抗突變點x=0點的位相與折射行波在阻抗突變點x=0點的位相完全相等并同步。在構成駐波的各振子作簡諧振動都回到平衡位置的時刻，振子鏈上機械橫波將表現為像是一列在阻抗突變點x=0處波數突變的行波。

在低阻抗反射(ZL

式(25)的推導中用到(14)式T=1+R?？梢?，低阻抗反射時，在上游區段(x≤0區段)，入射波與反射波的疊加等效為一列駐波和一列行波的疊加。駐波的波腹在波阻抗突變點x=0點；駐波波腹的振幅與振幅反射率R成正比；行波與駐波波腹的振幅之和與折射行波的振幅相等；行波在阻抗突變點x=0點的位相與折射行波在阻抗突變點x=0點的位相完全相等并同步。由于駐波在振子鏈上的位置是固定不變的，而行波的波峰是向x正方向運動的，在構成駐波的各振子作簡諧振動都達到其振幅位置(偏離平衡位置最大)的時刻，振子鏈上機械橫波將表現為像是一列振幅為入射波與反射波振幅之和且在阻抗突變點x=0處波數突變的行波。

由于增加振子鏈上振子的轉動慣量較容易操作，我們只做了高阻抗反射(ZL>Zc)實驗，就是只把下游區段(x≥0區段)每個振子端部的小圓柱體都增加了相同的質量。從實驗現象看，將看到入射波的振幅經過阻抗突變點時一分為二，一部分為反射波的振幅，另一部分為折射波的振幅。這樣，我們可以設想，把一束入射波分解為同步的兩束波，一束振幅的大小等于反射波的振幅(甲波)，另一束的振幅等于折射波的振幅(乙波)。甲波與反射波的振幅相等，傳播方向相反，兩者的疊加形成駐波，阻抗突變點即為波節；乙波與折射波的振幅相等，傳播方向相同，在阻抗突變點乙波突然變為相位相等但波數不同的折射波,如圖6所示。

如果我們精確調節振子鏈尾端的阻尼器使阻尼適當，使折射波的能量被完全吸收，則振子鏈上高阻抗段的波就只有折射波行波。而低阻抗段的波則是振幅等于折射波的一列行波和一個振幅等于2倍反射波振幅的駐波的疊加。在駐波上各點都到達平衡位置的時刻，我們就可以看到像是上游低阻抗段的一列行波經過阻抗突變點突然變為幅度相同但波長不同的另一列行波。這一現象可以在筷波儀上觀察，這就是振子鏈上機械波在阻抗突變點反射與折射時有趣的物理圖像，如圖7照片所示。

4 小結

本文對筷波儀振子鏈上的扭轉振動波的傳輸過程進行了分析，得到了機械波振幅反射率、振幅折射率、反射波及折射波能流密度隨波阻抗變化的關系式。在此基礎上，詳細分析了在高阻抗和低阻抗反射時此扭轉振動波的反射和折射的規律。特別是在高阻抗反射條件下，上游低阻抗區段反射波和入射波的疊加等價于一列駐波和一列

圖6 振子鏈上的波在高阻抗界面上的反射與折射

圖7 振子鏈上的波在高阻抗界面上的反射與折射波形照片

正向行波的疊加，在駐波諸振子作簡諧振動通過平衡位置的時刻，低阻抗區段正向行波像是在波阻抗突變點突然改變了它的波數而變成了等振幅折射行波。這一結果也通過實驗演示了出來。