重力場中豎直方向圓錐擺的“圓錐體高度”的分析與應用

王麗霞

摘 要：重力場中豎直方向的圓錐擺旋轉形成的“圓錐體的高度”貌似與擺長、角速度、擺球質量都有關系，想當然其中任何一個量的變化都會導致高度的變化.實際不是這樣，這個高度僅僅只與勻速圓周運動角速度的二次方成反比一項有關，與擺長、質量均無關，圓錐擺的高度只與勻速圓周運動的角速度息息相關.

關鍵詞：重力場;圓錐擺;圓錐體的高度;角速度

如圖1所示，重力場中豎直方向的圓錐擺，懸點為O、擺球質量為m、擺長為l、角速度為ω、擺角為α、擺球軌跡圓心為O′、圓錐體高為h，則軌跡半徑r=l2-h2.根據牛頓第二定律F合=mgtanα=mω2r=mω2l2-h2，又幾何三角形中tanα=r h=l2-h2 h，聯立以上兩式得gl2-h2 h=ω2l2-h2，即可得圓錐體的高度h=g ω2，可見圓錐體的高h僅僅只與角速度ω的二次方成反比，與擺長為l、擺球質量m均無關.因此重力場中豎直方向的圓錐擺，擺線旋轉形成的圓錐擺的高度由擺球旋轉角速度直接決定.

1 豎直方向的兩個圓錐擺，不論擺長、擺球質量如何，以同一角速度勻速旋轉時，形成圓錐擺的“高”始終一致

例1 （2018·南昌市摸底調研）如圖2所示，木質支架兩端通過長度相等的輕繩懸掛兩質量和大小相同的A球和B球，A球到中心軸線的水平距離比B球到中心軸線水平距離小，不考慮空氣阻力的影響，當旋轉支架讓其繞中心軸勻速轉動時，下列說法中正確的是（ ）.

A.A、B兩球的向心力方向始終保持不變

B.A、B兩球的向心加速度大小不可能相等

C.A球對輕繩的拉力比B球的小

D.增大角速度，兩輕繩最終可能轉到水平位置

解析 如圖3所示，A、B兩球在水平面內一起同軸旋轉，角速度大小一致，根據圓錐擺的高h=g ω2必相同，即h=O1O′1=O2O′2相同， 不難看出B球的軌跡半徑r2大于A球的軌跡半徑r1，B球的擺角θ2大于A球的擺角θ1.擺球的向心力F=mω2r與軌跡半徑成正比，方向始終指向軌跡圓圓心，選項A、B錯誤.擺線對擺球的拉力FT=mg cosθ與擺角的余弦成反比，所以B球的擺線拉力大，選項C正確.擺球在水平面內旋轉，擺線豎直方向的分力始終與擺球的重力平衡，tanθ=ω2r g=r h，不可能無窮大，擺角θ不可能為π 2，所以選項D錯誤.

析評 兩圓錐擺在水平面內同軸一起旋轉，旋轉角速度總是大小一致的前提下，兩圓錐擺的錐體高度隨角速度的增大而減小，擺角增大，擺長減小，但瞬時總相等，與旋轉角速度有關為切入點，進而推出擺角的大小關系是順利解決問題的關鍵所在.

2 點電荷的電場和重力場的復合場中，帶異種電荷的微粒在水平面內做勻速圓周運動，等效于庫侖力牽引下的豎直方向的圓錐擺

例2 （湖北黃岡模擬）真空中固定的正點電荷Q，其所形成的電場中有一帶電微粒在此點電荷附近以角速度ω=10rad/s做勻速圓周運動，取重力加速度g=10m/s2，且微粒的重力相對于電場力不能忽略，則下列判斷正確的是（ ）.

A.該微粒一定帶正電

B.該微粒一定帶負電

C.該微粒做圓周運動的圓心位置在固定的正電荷Q處

D.該微粒做圓周運動的圓心位置在固定的正電荷Q處正下方0.1m

解析 帶電微粒在重力和庫侖力共同作用下的勻速圓周運動，與如圖1所示的擺球在水平面內做勻速圓周運動的模型完全相同，如圖4所示，庫侖力與繩子拉力完全等效，是典型的重力場中豎直方向的圓錐擺模型.異性相吸，選項B正確，圓錐擺椎體高h=g ω2=0.1m，所以選項D正確，A、C選項錯誤.

析評 把電場與重力場的復合場中帶電微粒做勻速圓周運動的模型，等效成重力場中的圓錐擺模型，是順利解題的關鍵所在.繩子張力沿著繩子收縮的方向，異性電荷間的庫侖力沿著兩點電荷的連線向內，是能夠等效的根本所在.所以我們的教學中建構模型，與等效模型同樣重要，真正做到舉一反三，觸類旁通.

（收稿日期：2020-02-07）