一個分式不等式的進一步探究

重慶三峽學院數學與統計學院 (404000) 蘭晨曦 黃 浩 陳曉春

文[1]利用柯西不等式和冪平均不等式給出了(2)的證明，本文將利用廣義權方和不等式的特例.，即下述不等式(*)和冪平均不等式對(2)給出更簡捷的證明，并對(2)作進一步的探究.

為證明不等式(2)，引用不等式(其證明見文獻[3]中定理3)：

從而，不等式(2)成立.

上述證明的思路是：直接應用不等式(*)，因而不需任何技巧，同時從證明過程可以看出，只要(x+y+z)-(xn+1+yn+1+zn+1)不變，其證明過程是一樣的，因此有：

探究1 將分母的順序適當重排，其結論仍然成立，于是可得到如下與不等式(2)結構類似的不等式.

探究3 若將分母的每一項添加系數，則有如下推廣的不等式.

探究4 若將分子疊加，則有推廣的不等式.

顯然，對分母項的擴充及順序重排不止上述幾種，進一步擴充及重排將得到更多的不等式，有興趣的讀者不妨一試.另一方面從不等式(2)的證明可以看出，利用不等式(*)可將不等式(2)進一步推廣.

特別地，當p=3時，有不等式:已知x,y,z,n∈R+，m≥2，且x+y+z=S，求證：

同前面不等式(2)的探究一樣，如果對不等式(3)，(4))的分母的項進行適當的重排及變式，可得到許多新的不等式，在此不再贅述.