活躍在高考數學中的權方和不等式

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春華南師范大學數學科學學院 (510631) 蔣紅珠

1.權方和不等式

權方和不等式是一種重要的不等式，在解決分數型高次不等式最值中占有重要的地位．它將向量不等式、柯西不等式及其變異形式統一起來，是一種結構對稱、形式優美的重要不等式．

注：此處不給出該不等式的證明方法，不再指出本文例題中不等式取等條件．

2.權方和不等式在高考數學中的應用

例1 (2013新課標理科卷Ⅱ第24題)設a，b，c為正數，且a+b+c=1，證明：

點評：該題形式簡單，但是具有豐富的內涵，如對稱的思想、循環的結構、簡明的條件等．可以有效的考查高考考生的數學運算能力和邏輯推理能力．

例2 (2019年高考數學理科卷Ⅰ第23題)設a，b，c為正數，且滿abc=1．證明：

(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．

思路分析：問題(Ⅰ)較為簡單，不等式兩邊同時乘abc=1，解決方法同例1的問題(Ⅰ)．對問題(Ⅱ)，這是一個含有輪換對稱結構的3階“齊次”式，可用問題(Ⅰ)進行整體代換證明不等式成立，但運算過程比較復雜，放縮技巧較高．注意到不等式的結構對稱，且全部的次數都是3次，故考慮恒等變形構造分母(同時乘以1的平方)，使其結構與權方和不等式結構相統一．

點評：利用權方和不等式的好處在于能夠有效的解決高次求和的最值問題，題目中提供的條件abc=1恰好可以與a+b+c建立起關系，所以用這個方法解決這類題目更加簡單有效．

例3 (2017年高考理科卷Ⅱ第23題)已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：

(Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4；

(Ⅱ)a+b≤2．

思路分析：問題(Ⅰ)略．對于問題(Ⅱ)，注意條件中有三次結構“a3+b3=2”，那么如何建立它與結論“a+b≤2”之間的關系呢？顯然可以使用3階權方和不等式來建立兩者之間的聯系．

解析：問題(1)略．

點評：該題充分的利用了式子“a3+b3”的恒等變形，將其恒等變形為一個分數結構，然后利用權方和不等式證明不等式．解決問題，就是要找到條件通往結論的路徑．此題表明要有效的解決問題，關鍵在于要充分的利用好已知條件和結論之間的結構及之間的關聯．

例5 (2019年高考數學理科卷Ⅲ第23題)設x，y，z∈R，且x+y+z=1．

(Ⅰ)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

思路分析：這道題的解決方案有很多種，如幾何法(球與平面相切)、向量法(構造向量不等式)、三元不等式法、柯西不等式法(配湊出對稱結構)、權方和不等式法等，此處只用權方和不等式法．問題(Ⅱ)為問題(Ⅰ)的逆向應用，此處不再分析和解答．

(Ⅱ)略.

點評：權方和不等式是中學數學中重要的不等式，是解決多元最值的有效工具，特別是在初等數學競賽中經常使用．

3.問題推廣

張景中院士曾經指出：“推廣是數學研究中極重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣．數學家總是在已有知識的基礎上，向未知的領域擴展，從實際的概念及問題中推廣出各種各樣的新概念、新問題．”[1]推廣的過程就是將一個問題一般化的過程，將一個問題進行適當的推廣，可以將這類問題搞清楚．同時也是培育學生發散性(創造性)思維的好方法．下面對例題5進行推廣，使這一類問題得到解決．

推廣1 設x，y，z∈R，且x+y+z=2，求(x-1)3+(y+1)3+(z+1)3最小值．

點評：將所求的目標函數的冪進行了推廣，求解的方法同思路1，此處不再給出具體解答過程，可得最小值為3．

推廣2 設x，y，z∈R，且x+y+z=m，其中n∈Z+，求(x-1)n+(y+1)n+(z+1)n最小值．

推廣4 已知x，y，z∈R，x+y+z=m，n∈Z+，且a，b，c為任意的常數，求(x+a)n+(y+b)n+(z+c)n的最小值．

點評：推廣6是在推廣5的基礎上進行的，將冪一般化處理，解決方法同推廣5．