陜西省漢中市四〇五學校 (723312) 侯有岐
圖1
一般地,攻破反比例函數問題有兩條思路:①k的幾何意義:面積(轉化);②k的代數意義:積一定(圖像上點的橫縱坐標乘積)(設而不求).
此題首先想到:面積(轉化),因為SΔADE=8;其次想到:坐標原點O是AB中點,因為正比例函數與反比例函數的交點中心對稱;再想到:連結OE,因為AE⊥BE(直角+斜邊中點);接著利用角平分線:兩條線出擊,①角平分線+垂直,延長BE和AC,最終斷路;②角平分線+等腰(三者知二求一),得出OE∥AD.最后順著面積這條線索,利用等積模型轉化:SΔAOD=SΔADE=8,同時利用比例AC=3DC,易知SΔCOD=4,最后的關鍵在于如何利用面積建立方程求出k.
思路一:三角形AOD面積轉化為梯形巧設元.
圖2
如圖2,連接OD,OE,過點A作AN⊥x軸于點N,過點D作DM⊥x軸于點M,根據正比例函數與反比例函數的對稱性得出OA=OB,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OE=OA,根據等邊對等角及角平分線的定義得出∠CAE=∠OEA,根據內錯角相等二直線平行得出OE∥AC,根據同底等高的三角形的面積相等得出ΔAOD的面積=ΔADE的面積,根據反比例函數k的幾何意義及割補法得出ΔAOD的面積=梯形ADMN的面積,從而得出梯形ADMN的面積=8.為了避免分數參與運算,還可以改進設元.
思路二:利用AC=3DC求出ON、NM、MC的比.
思路三:利用相似導出四邊形ANMD與三角形CMD的面積關系.
反比例函數的壓軸題,常??蓮娜齻€方面考慮:
(1)翻譯:面積翻譯成k;中心對稱翻譯成中點;垂直翻譯成直角三角形.
(2)盯住目標k聯想學過的定理、性質、概念:比如,直角三角形斜邊上的中線得出等腰;角平分線+平行線(垂直)模型;平行聯想等積模型;面積聯想建立方程解k.
(3)目標的靈活性,建立關于k的方程的方法選擇是解決此類問題的關鍵,需要平時多積累,多思考等.