鏡頭成像畸變的MTF像高測試法研究

于西龍，龔錢冰，周 驊，杜竹青

（上海市質量監督檢驗技術研究院，上海 201114）

引 言

成像畸變是鏡頭的一種基本不良屬性，是鏡頭品質的一項重要性能指標，每款鏡頭都要進行畸變測試。按畸變形態分類，畸變可分為桶形畸變和枕形畸變兩種。按畸變產生原因分類，畸變可分內部畸變和外部畸變，其中：內部畸變是由于成像系統本身的構造原因而引起的，外部畸變則是因為投影方式的幾何因素而導致的[1]。鏡頭畸變屬于內部畸變，鏡頭產生的畸變包括徑向畸變、離心畸變和薄棱鏡畸變。對于常規成像系統而言，徑向畸變已足夠描述非線性畸變。在采用非線性優化算法進行鏡頭檢測評價時，如果引入的非線性參數過多（如離心畸變參數和薄棱鏡畸變參數），不僅提高不了檢測精度，反而會導致方程解產生不穩定[2]。但對于精密機器視覺測量來說，由于是采用顯微鏡放大了物體的成像，小孔成像模型的無窮遠視場或大伸縮比假設已經不復存在，此時，如果再采用小孔成像模型假設并忽略成像鏡頭的離心畸變和薄棱鏡畸變，則會導致測量精度的大幅下降。

采用光學傳遞函數評價光學系統的成像質量，就是把物體看作由各種頻率組成，也就是把物體的光場分布函數展開成傅里葉級數（物函數為周期函數）或傅里葉積分（物函數為非周期函數）的形式[3]。光學系統可以看成是線性不變的空間頻率濾波器，物體經光學系統成像，可視為物體圖像經光學系統傳遞后，其傳遞效果是頻率不變，但對比度下降，相位要發生推移，并在某一頻率處截止，即對比度為零[4]。這種對比度的降低和相位推移是隨頻率的不同而不同，其函數關系稱之為光學傳遞函數。在現代光學領域，光學傳遞函數的方法已經普遍地應用于光學自動控制設計、光學成像系統設計的評價以及光學鏡頭質量的檢測等方面。在評價攝影鏡頭成像質量方面，光學傳遞函數的評價方法是目前公認的最全面、最客觀、最科學、最嚴格、最完善的方法。通過光學傳遞函數獲得目標像高計算成像畸變的方法，能夠準確地反映廣角鏡頭成像畸變，彌補傳統標板拍攝測試廣角鏡頭成像畸變不準確、復現性差的問題，同時，采用基于MTF測試成像畸變的方法易實現自動化，可以有效減少人為因素導致的不確定度[5]。

1 理論分析

1.1 MTF 原理方法分析

光學調制傳遞函數（MTF）能夠客觀地表述光學系統的成像質量，可以直接從透鏡的設計數據中計算得到[6]。利用這個方法從事光學系統設計的工作人員就可以預知光學系統的性能，同時制造廠商也可以將所生產透鏡的圖像質量與事先的設計效果對比，從而對產品生產線進行很好地控制。MTF為相對像對比度與相對目標對比度的比值，可以表述為MTF = Relative Image Contrast/Relative Object Contrast。在理論上，可以利用公式以較高的精度計算透鏡的空間截止頻率Rc和光學傳遞函數OTF。截止頻率Rc 可表示為

式中：D為有效通光口徑；R為出瞳中心到理想像點的距離（可以粗略地用焦距代替）；λ為設計使用的波長；F為視場光闌直徑。透鏡的光學傳遞函數（OTF）可表示為

式中 x 為相位傳遞函數（PTF），或為相位位置空間頻率函數[7]。光學傳遞函數實際上是一個復合變換的空間頻率，它的模為模傳遞函數，相位為相位傳遞函數。如果把相位傳遞函數表達為頻率的線性表達式，那么光學傳遞函數可表示為像的一個簡略的線性置換，就可用于描述像差，進而計算得到成像系統的幾何畸變[8]。

當目標物（照明目標或十字線）與光學系統同時觀察時，像會由于像差和衍射效應的原因稍微退化，此外，實物透鏡也不可能完全與設計數據一致。生產誤差、光機件中的裝配和校準誤差三個因素會大大降低光學系統的成像性能，在圖像上表現為原來物體被強光照射的部分和很暗或存有陰影的部分將不會同原物那樣呈現特亮與特暗的明顯亮度差別。通常目標物以空間頻率（每毫米內的亮、暗區域數）和對比度（圖像區亮暗條紋間的亮度差別）來定義[9]。將調制傳遞函數在空間頻率的零點進行規一化處理，目標像（十字線）亮度就會按照空間頻率函數以正弦曲線變化，水平和豎直兩坐標軸的空間頻率值決定正弦曲線的位置或相位變化[10]。

將透鏡與光學系統同時進行研究，由于像差和衍射效應的原因，會使被測圖像產生失真，精確的調配和光學元件誤差的校正，會減少圖像失真現象的發生。在圖像上，原來物體被強光照射的部分和很暗或存有陰影的部分，將不會如原物那樣呈現特亮與特暗的明顯亮度區別。樣品差異或調制可定義為

式中：Im為重復結構顯示的最大光強；In為在同一物體上發現的最小光強。

對于較低的空間頻率，調制傳遞函數接近于1（100%）。通常，MTF曲線隨空間頻率的增加而下滑，空間頻率越高對應的對比度值越低，如圖1所示[11]。隨著空間頻率的增加，MTF曲線逐漸下滑直到零點，此零點被稱為待測光學系統的分辨率極限或截止頻率，如圖2所示。當對比度值為零時，圖像變得有少許均衡的灰色，同時也不再隨空間頻率的增加而變化。

光學調制傳遞函數的變化不僅與空間頻率有關，而且還與視場區域的位置有關。沿光學系統對稱軸進行的MTF測量稱為在軸測量。為了形象地刻畫光學系統的成像性能，MTF必須在視場區域的不同位置進行測量，在視場區域的不同位置進行的MTF測量稱為離軸測量。為了完成MTF離軸測量，目標物需在視場區域內理想位置上移動且探測器應在相應的像位置。MTF測量只能在單一波長或覆蓋波長有限波段的光譜范圍內完成，測量結果由多色的MTF數值曲線中的單一色線得出。通常光學調制傳遞函數用于一維模式下，通過像面計算截面的方位。當狹縫或刀口延長部分順沿于參考軸方向時，物方下的方位稱為弧矢方位；當狹縫或刀口延長部分垂直于參考軸時，物方下的方位稱為子午方位[12]。

圖1 透鏡系統 MTF 原理圖Fig. 1 MTF of camera system

圖2 物像空間頻率響應圖Fig. 2 SFR of camera system

實際透鏡的MTF值開始于1的位置，并隨著空間頻率的不斷增大而逐漸衰減。由透鏡引起的圖像模糊導致振幅隨著空間頻率的增加而減少，性能優良的成像系統曲線（如圖2中的點劃線）要好于那些質量較低產品的曲線（圖2中的實線），并且能在更高的空間頻率下有更有效的傳遞對比度[13]。圖3為物像光的調制變化，左側的正弦波表示物方光，右側波表示經被測系統后的像方光。

圖3 物像調制變化示意圖Fig. 3 Image modulation variation

通常用線擴散函數（LSF）來描述調制傳遞函數。同時線擴散函數還可用于描述一元目標物（分劃板）的尺寸和強度分布。調制傳遞函數（MTF）是由線擴散函數經傅里葉變換得到，與空間頻率整個范圍內正弦波的積分和相等，如圖4（a）所示。由于MTF的傅里葉特性，它只能用于處理正弦頻率[14]。傅里葉數學分析使得任何描繪目標物（分劃板）剖面強度的函數都可以用來分析不同頻率的正弦波和不同相位關系。根據MTF在圖像系統的特性，首先需要將目標物經傅里葉變換轉化為它的頻譜，然后與系統MTF相乘，最后再經逆變換得到經過修正的像輪廓圖，如圖4（b）所示。

圖4 MTF 與 LSF 的傅里葉函數關系Fig. 4 Fourier relationship MTF and LSF

1.2 畸變測量原理

畸變是主光線的像差，由于球差的影響，不同視場的主光線通過光學系統后與高斯像面的交點高度不等于理想像高，其差別就是系統的畸變。通常用（a，b）表示圖像點的實際坐標值，εa與εb是水平和垂直兩個方向上的非線性畸變值，它們滿足如下關系式：

式中：μ1、μ2、η1、η2、λ1、λ2為線性畸變系數。式（5）的第一部分μa（a2+b2）稱為徑向畸變，第二部分η（3a2+b2）+2ηab稱為離心畸變，第三部分λ（a2+b2）稱為薄棱鏡畸變。本文采用的計算畸變的方法為計算實測有效焦距f和理想焦距f0的相對畸變δr，其表達式為

f可以通過測量近軸像高的變化量和視場角的變化量來獲得，即

式中：h′為像高；w為物方視場角。有效焦距的測量原理如圖5所示，首先將像方導軌移動到正方向，即像高向正方向偏離某一位置（像移），然后物方視場角移動到w1，探測器掃描像的光強信號，得到線擴散函數，給定線擴散函數的中心位置。將像移動到中心視場（0°），再將物方視場角移動到0°，掃描線擴散函數。像方導軌移動到負方向，即像高向負方向偏離某一位置（像移）。物方視場角移動到w3，掃描線擴散函數。有效焦距（EFL）的計算公式如下：

圖5 EFL 測試原理圖Fig. 5 The principle of EFL measurement

圖6 為畸變測試原理圖，首先要測量軸上的EFL，將物方視場角移動到軸上位置，通過掃描LSF獲得在此位置的像高h1，根據焦距公式計算此位置的EFL值。再將物方視場角移動到離軸位置，掃描計算過程同前所述。當完成最大視場角位置的測量后，物方視場角移動到反方向離軸的位置。測量過程同前，后續以此類推，直到測完最大視場角位置。

2 測試過程

本文分別對16款不同型號的照相機可更換鏡頭進行了標板（見圖7）拍攝法畸變測試和MTF方法畸變測試，并對測試結果進行了比較分析。測試鏡頭樣品中有9臺為變焦距鏡頭，7臺為定焦距鏡頭，焦距從5 mm到600 mm不等，均為市場主流品牌，測試環境符合國家照相鏡頭檢測標準。

圖6 畸變測試原理圖Fig. 6 The principle of distortion measurement

圖7 標準畸變測試圖Fig. 7 Distortion-checker chart

標板拍攝法的畸變測試過程如下：

a）被檢鏡頭光軸與畸變測試標板垂直，并使畸變測試標板充滿像面（標板與鏡頭物方主點的距離為鏡頭等效焦距的30倍）。用被檢鏡頭（變焦距鏡頭分別用長焦端和短焦端）對畸變測試標板進行正確拍攝。

b）將所拍攝的畸變測試標板圖像輸入計算機，用圖像處理軟件判讀在像面對角線上0.5y′和0.8y′處的像素數（以線寬的外側度量）。其中y'表示有效像場半徑（像高），等于像面對角線長度的1/2。測試結果見表1，表中δ1、δ2、δ3為畸變的三次測試結果。

MTF方法畸變測試過程如下：

試驗儀器為德國TRIOPTICS公司的光學傳遞函數測量儀ImageMaster?Universal，如圖8所示。在暗室環境下，將待檢鏡頭安裝在光學

傳遞函數測量儀正確位置，通過反復移動光學傳感器，找到不同焦距鏡頭的最佳像點，測量有效視場角內各物方視場角對應的MTF值，進而獲得f和f0，然后通過式（6）計算得到各對應物方視場角的畸變。為了便于和標板拍攝法畸變測試結果相比較，同樣選取0.5y′和0.8y′處的畸變值，各鏡頭采用MTF方法測得的畸變值見表2。

表1 標版拍攝法畸變測試結果Tab. 1 Distortion result of standard pattern image test

圖8 光學傳遞函數測量儀（型號：ImageMaster? Universal）Fig. 8 MTF measurement apparatus（Model: ImageMaster? Universal）

為進一步驗證兩種畸變測試方法的準確性，對7款定焦距鏡頭分別進行畸變檢測，并將標板拍攝法和MTF方法測得的0.5y′和0.8y′處的畸變值與該鏡頭出廠前測得的實際畸變值進行比較，結果見表3。

表2 MTF 方法畸變測試結果Tab. 2 Distortion result of MTF measurement

表3 畸變測試結果比對Tab. 3 Comparison of distortion test results

3 結 論

傳統標板拍攝法畸變測試結果表明，同一鏡頭在相同測試環境條件下，重復的測試結果之間存在偏差，最大偏差為2.9%，平均偏差為2.0%，偏差較大。而采用MTF方法進行畸變測試，測試結果之間最大偏差為1.1%，平均偏差為0.8%，特別是對于焦距在150 mm以上的中長焦距鏡頭的畸變，測試結果幾乎沒有偏差。由此可見，采用MTF方法進行鏡頭畸變測試的重復性比采用傳統標板拍攝法更好。將兩種方法測試結果與畸變實際值進行比對，兩種方法測試誤差均在國家標準要求范圍以內，但MTF方法更接近實際值。

在相同環境條件下，用兩種方法對同一款鏡頭進行畸變測試，并對結果進行比較。經計算，可得到兩種方法的最大測試偏差為4.0%，偏差較大，經對測量數據進一步分析，可以得到：兩種方法對100 mm焦距以上的鏡頭畸變測試結果的最大偏差為2.0%；兩種方法對150 mm焦距以上鏡頭畸變測試結果的最大偏差為0.1%。由此可見，兩種方法的測試結果差異主要集中在短焦鏡頭，究其原因，是采用傳統標板拍攝法進行畸變測試時，短焦鏡頭由于畸變偏大而導致邊緣形變嚴重，每次取景時拍攝位置都會有差異，這種位置的差異會造成拍出來的圖像不一致，進而圖像分析軟件讀出來的畸變數據會有差異。采用同樣的方法進行畸變測試，短焦鏡頭的測試結果比長焦鏡頭的測試結果重復性更差也印證了這一點。所以，采用MTF方法進行鏡頭畸變測試本身不會造成測試結果偏差，且理論上比傳統標板拍攝法測試的鏡頭焦距范圍還要廣。