歐文·卡普蘭斯基的數學人生

楊中明 王淑紅

摘 ? 要 ? ?歐文·卡普蘭斯基是美國著名數學家、數學教育家、音樂家和科學組織者，他一生著書立說、領導機構，在數學的多個分支領域作出原創性成就，并為數學界培育了大批人才，為20世紀數學的發展作出了積極的推動作用。在研讀和分析相關文獻的基礎上，主要對其生平、成就及影響作一簡要介紹。

關鍵詞 ? ?歐文·卡普蘭斯基 ?代數學 ?美國數學會 ?美國國家數學科學研究所

中圖分類號 ? ?N09： O1

文獻標識碼 ? ?A

2006年6月25日，美國國家科學院院士、美國藝術與科學院院士、美國數學會前主席、美國國家數學科學研究所所長、著名數學家歐文·卡普蘭斯基（Irving Kaplansky，1917—2006，以下簡稱卡普蘭斯基）在家中去世，終年89歲。他生前不但是一位杰出的數學家、數學教育家、音樂家，而且還是一位優秀的科學組織者，他為20世紀中后期數學和數學教育的發展作出了積極的推動作用?？ㄆ仗m斯基生前還與我國著名數學家陳省身（1911—2004）、華羅庚（1910—1985）、劉紹學（1929—）和周伯壎（1920—2009）等有密切的交往。

通過研讀和分析與卡普蘭斯基有關的文獻資料，有一些問題很值得思考和借鑒。比如，卡普蘭斯基在音樂上取得了不錯的成績，他為什么放棄音樂轉而研究數學？在數學的眾多分支領域中，他為什么對代數學情有獨鐘？他是怎樣走上領導職位，為廣大的數學工作者服務的？他又是如何與中國數學家密切交往的？通過探尋卡普蘭斯基的人生軌跡，解析他在事業和生活上成功的密碼，以期對他有更加深入的了解，并從中受到一些良好的教益。

一 ? 一生求索，獻身數學

卡普蘭斯基于1917年出生在加拿大安大略省的省會多倫多市。在他出生前不久，為了躲避第一次世界大戰的炮火，全家從波蘭移民到加拿大。父親薩繆爾·卡普蘭斯基（Samuel Kaplansky）通曉《猶太法典》，求知欲強，是東歐猶太人所尊敬的學者，在波蘭曾做過猶太拉比。但到加拿大后，他只能在多倫多做裁縫，收入極低，不足以維持整個家庭的生計?？ㄆ仗m斯基的母親安娜具有事業心，為了補貼家用，她開了一家面包烘烤店。后來烘烤店發展成為連鎖店，在多倫多頗具規模?？ㄆ仗m斯基自幼在面包店里幫忙，直到去讀研究生離開家鄉為止。

卡普蘭斯基是一位著名的音樂家，他以高超的琴技著稱。他四歲時，在只聽了一遍的情況下，他就能準確地彈奏出《金雀》（The Golden Bride）這部喜劇中的熱門歌曲。在堅持學了11年鋼琴后，他認為即使繼續學下去也沒有太大意義，自己不會成為異于他人的鋼琴家。他雖然沒有選擇音樂作為自己的職業，但音樂卻伴隨了他一生。在哈佛大學擔任講師期間，他加入了學校中的一個大型爵士樂隊，很多學生因在音樂會看到他們的老師在彈奏鋼琴而感到驚訝。在哈佛大學的廣播電臺，卡普蘭斯基還有個固定的節目，被人們稱為“K2”（Kaplansky Kapers）。后來，他用圓周率π的前14位數字譜寫了一首歌曲“π之歌”。他的女兒露西·卡普蘭斯基（Lucy Kaplansky）是一位音樂家，經常演唱這首歌曲。即使在年近九旬的時候，卡普蘭斯基仍然經常上臺彈奏鋼琴[1]。

卡普蘭斯基有杰出的數學天賦，他認識到“數學是他一生要追求的東西”[2]。在多倫多大學讀大一時，他在參加了愛米·諾特（Emmy Noether，1882—1935）舉辦的一場學術報告會后，深受啟發。后來談到諾特對他的影響時，他將其奉為抽象代數之母。在此期間，他學習了大量經典數學的課程，為以后的數學研究奠定了良好基礎，其中就包括理查德·布饒爾（Richard Brauer，1901—1977）的課程。用卡普蘭斯基自己的話說：“我喜歡用代數的方式看待事物，這很大程度上要歸功于布饒爾?！盵2] 1938年，正在讀大四的卡普蘭斯基代表多倫多大學參加了由美國數學協會主辦的第一屆普特南數學競賽（Putnam Mathematical Competition）并勝出，他獲得了個人獎學金并進入哈佛大學深造。在哈佛，他師從著名數學家、美國數學會前主席桑德斯·麥克萊恩（Saunders Mac Lane，1909—2005），并于1941年獲得博士學位，論文題目是“極大賦值域”（Maximal Fields with Valuations）。博士畢業后，卡普蘭斯基留在哈佛大學擔任本杰明·皮爾斯講師（Benjamin Peirce Instructor），直到1944年。這一年，他跟隨麥克萊恩加入了位于哥倫比亞大學的戰時國防委員會下屬的應用數學小組，主要從事火力控制設備與火箭投彈方面的數學研究。在這期間，卡普蘭斯基把大部分時間都花在研究常微分方程上。正如他后來所言：“在這一年我體驗到了現實生活的滋味，并發現數學實際上可以用來做一些事情?！盵2]

1945年秋，卡普蘭斯基受聘于芝加哥大學，直到1984年退休，他一直在大學任教。20世紀40年代的芝加哥大學數學系匯集了馬歇爾·斯通（Marshall Stone，1903—1989）、陳省身、安東尼·齊格蒙德（Antoni Zygmund，1900—1992）、安德烈·韋依（André Weil，1906—1998）、麥克萊恩等世界級的數學大師，并且吸引了歐文·西格爾（Irving Segal， 1918—1998）、保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，1916—2006）、艾沙道爾·辛格（Isadore Manuel Singer，1924—）等一大批才華橫溢的年輕數學家，他們對卡普蘭斯基的數學研究產生了重要影響?？ㄆ仗m斯基回憶與他們的交往時，曾道：

我和韋依共事了近十年，如果沒有他，我是不會做某些數學研究的。這并不是說他告訴我怎么做之類的，而是他隨意的一句評論，就會讓我開始做某件事……你可以選擇一個他可能以前從未聽說過的數學領域，冷不防地，他就會發表一些關于這方面的看法。同樣，約翰·米爾諾（John Milnor，1931—）、邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah，1929—2019）等能在合適的時間準確地說出正確的事，所以和他們交流是非常值得的。

我要向芝加哥大學的年輕同事西格爾、哈爾莫斯等人致敬，我和他們進行過一次次精彩而又激動的數學交流。比如西格爾，他曾致力于對C*-代數、局部緊群的表示論及相關主題的研究并積極地探討它們與物理學之間的關系。我追隨著他的足跡，最初我像個學生，過了一段時間我有種感覺，覺得自己可以和他平等地交流。[2]

卡普蘭斯基的名字與一些偉大的數學定理緊緊聯系在一起，如卡普蘭斯基稠密性定理[3]、卡普蘭斯基猜想、卡普蘭斯基定理等?？ㄆ仗m斯基將自己的一生都奉獻給了數學，即使在2006年臨終前，他依然在研究丟番圖方程。對于數學的發展，他曾評論說：“數學之所以發展到今天的高度，是因為我們站在了卡爾·高斯（Carl Gauss，1777—1855）等數學大師的肩膀上?！盵2]孰不知他本人也是大師。

除了事業上的成功，卡普蘭斯基還有一個美滿幸福的家庭，他是一位忠誠的丈夫和優秀的父親。1950年，他在一次聚會上認識了正在哈佛大學讀研究生的妻子切雷·布倫納（Chellie Brenner），次年結婚，后育有三個孩子（圖1）。切雷風趣又富有幽默感，在她的影響下，卡普蘭斯基的生活節奏緩慢而有序?？ㄆ仗m斯基的女兒露西是一位民俗音樂家，在她的回憶性文章“我的父親”中，回顧了自己的成長經歷?？ㄆ仗m斯基對子女的教育甚嚴，但又充滿慈愛。在很早的時候他就教孩子們玩跳棋，培養他們分析問題、解決問題的能力。他教育子女做事要有條理、可靠、準時，給孩子們灌輸一個貫穿一生的思想：賺錢并不重要，做自己熱愛的工作就是一切。在孩子們的整個童年里，他們的父親總是在書房思考數學問題。他們也曾問他們的父親為什么如此喜愛數學，卡普蘭斯基的回答是因為數學太美。

二 ? 著書立說，培育人才

卡普蘭斯基作為20世紀中后期有重要影響力的數學家，主要研究領域為代數學，在拓撲代數、環論、交換與同調代數、李理論和二次型等方面都取得了豐碩成果。為了表彰他對數學發展所作的推動作用，1989年美國數學會授予他斯蒂爾終身成就獎?？ㄆ仗m斯基生前曾毫不吝嗇地表達自己對代數的鐘愛，他言道：

我喜歡用代數的方法看待事物，而且當代數方法被應用到無限的對象時，我更加著迷。[4]

卡普蘭斯基鐘情代數學要追溯到1938年，還在讀大學的他參加了芝加哥大學舉辦的暑期代數課程。在這期間，麥克萊恩作了一場有關賦值論的報告，內容清晰，給他留下了深刻的印象。從此，卡普蘭斯基一直對賦值論著迷，并且賦值論成為他最初的研究領域，這也促成了他將代數學作為自己的主要研究方向。

卡普蘭斯基一生筆耕不輟，著書立說。芝加哥大學時期是他研究成果發表的高產時期，特別是在1948—1952年的四年時間里，他發表了32篇論文。其中就包括他最具影響力的論文“滿足多項式恒等式的環”（Rings with a Polynomial Identity）[5]，這篇論文開創了非交換代數的一個重要分支。他證明了一個基本結果：一個具有多項式恒等式的本原代數在其中心上是有限維的。根據谷歌學術的不完全統計，這篇論文的被引用次數已高達240余次?？ㄆ仗m斯基涉獵廣泛，在概率論、組合數學等方面也有重要的研究成果，尤其是他晚年有更多的研究旨趣。閱讀過卡普蘭斯基著作的人都知道，他的著作以簡短精煉而著稱，文中沒有啰嗦的證明或凌亂的公式，而是試圖去構建一種框架，始終能給讀者一種耳目一新的感覺。正如香港大學蕭文強在評論卡普蘭斯基的著作時說：

卡普蘭斯基的著作有個共同的特征，其內容令人耳目一新，論述方式友善、不拘于形式（但數學上又是嚴謹的）而又清晰。作者快速、直接地給出主要觀點，并選取優秀的實例加以說明。[4]

卡普蘭斯基是一位多產的數學家，畢生發表了160余篇論文，出版《無限阿貝爾群》（Infinite Abelian Groups）、《微分代數導論》（An Introduction to Differential Algebra）等20余本著作，這些成果幾乎都是關于代數學的。表1是根據目類的不同將卡普蘭斯基的論文、著作進行了分類，他的部分著作早在20世紀七八十年代已經被引進到國內。

卡普蘭斯基另一篇最引以為豪的論文是“任何正交補完備模格都是連續幾何”（Any Orthocomplemented Complete Modular Lattice is a Continuous Geometry）。他的工作同馮·諾伊曼代數和連續幾何一樣，成為正交模格的重要理論來源。他在1955年發表這篇論文時，從事該領域研究的數學家還寥寥無幾，有關著作和論文更是屈指可數，但目前這一領域已廣泛被應用于其它學科。

卡普蘭斯基最有影響力的專著是《無限阿貝爾群》，它將數學家的注意力從有限阿貝爾群轉向無限阿貝爾群，也是第一部致力于系統地介紹這一領域的專著。對數學家的評判往往會通過對他研究貢獻的深度和創造性來考慮?？ㄆ仗m斯基的專著，吸引了大批年輕學者進入這一領域。加州大學圣塔芭芭拉分校數學教授齊默爾曼（Huisgen-Zimmermann）曾回憶說：“卡普蘭斯基是我的偶像之一。在學生時代，我發現了他那本關于無限阿貝爾群的書，并注意到代數也有很多故事要講……”[4]

在1975年出版的專著《雙代數》（Bialgebras）的附錄部分，卡普蘭斯基提出了有關Hopf代數的部分猜想，這就是著名的“卡普蘭斯基十大猜想”。他本人并未對猜想做太多研究，但其他數學家對某些猜想的解決和物理學家林菲爾德（V. Drinfeld，1954—）所揭示的Hopf代數與量子力學Yang-Baxter方程之間的緊密關系，對Hopf代數的研究產生了巨大推動作用，并促成Hopf代數成為一個新的學科體系，如弱Hopf代數、Hopf群余代數等。東南大學王栓宏教授曾對這十大猜想的研究現狀做過系統梳理[6]。

卡普蘭斯基知識淵博，涉獵廣泛，他屬于有能力從事多項數學領域并從中獲取靈感的數學家。早在1963年，我國的《數學文摘》雜志就系統介紹了卡普蘭斯基在泛函分析領域的工作。他為泛函分析提供了一種公式化表示技巧，即“卡普蘭斯基稠密性定理”。這個定理現已成為泛函分析研究的重要工具。理查德·卡迪森（Richard Kadison，1925—2018）將他譽為泛函分析領域早期最偉大的人物之一[7]。

卡普蘭斯基是一位杰出的數學教育家。他教書育人，成就斐然。在芝加哥大學任教期間（1945—1984），他指導了55名博士生，這些博士生又培養了眾多優秀弟子。根據數學譜系項目（Mathematics Genealogy Project）①的統計，卡普蘭斯基至少有900多名再傳數學弟子，而且隨著時間的推移，這個數字仍在不斷增加，這在1940年以后獲得博士學位的美國數學家的弟子數量中排名高居第二。在教學生涯中，卡普蘭斯基給學生們提出了很多有益的建議，這對我們的學習與科研有積極的啟示。他最知名的建議是：“每天花些時間學習一些與你當前所處理的問題完全不相關的新東西（記?。哼@種不相關可能是暫時性的），并且要讀大師的作品?！盵4]經典著作經過了時間的檢驗，通過閱讀既可以開拓眼界，提高知識儲備，又獲得優秀的思想和深刻的啟示。向大師學習，才更有成為大師的可能。當一位偉大的數學家掌握了一門學科，讀者通過閱讀他的作品就能快速理解該學科的主要思想?？ㄆ仗m斯基對那些正猶豫是否要讀數學系研究生的學子們說：“如果你還在糾結，那就算了吧。只有當你知道數學是你余生唯一想做的事情時才應該踏入這一領域，因為從事數學研究并不能得到很好的經濟回報，而且會有很多挫折?！盵2]

在卡普蘭斯基的弟子中，不乏數學領域的佼佼者，他們現在很多人已經成為美國數學界的中堅力量。如：海曼·巴斯（Hyman Bass， 1932—），1959年他在卡普蘭斯基的指導下獲得芝加哥大學博士學位，主要研究領域是代數學。巴斯在1981年當選為美國藝術與科學院院士，1982年當選為美國國家科學院院士，2000—2006年擔任國際數學教育委員會主席，2001—2002年擔任美國數學會第56屆主席。此外，他還是2006年美國最高國家科學技術獎獲得者[8]。唐納德·奧恩斯坦（Donald Ornstein，1934—）是卡普蘭斯基的博士生，1957年畢業于芝加哥大學，研究領域也是代數學。在1970年，奧恩斯坦發表了論文“具有相同熵的伯努利移位是同構的”（Bernoulli Shifts with the Same Entropy are Homomorphic），在這篇論文中他提出了著名的奧恩斯坦同構定理（Ornstein Isomorphism Theorem），他也因此獲得了1974年的博謝紀念獎（B?cher Memorial Prize）[9]。奧恩斯坦在1981年當選為美國國家科學院院士，1991年當選為美國藝術與科學院院士?？ㄆ仗m斯基指導的博士生還包括著名的數學家哈羅德·維多姆（Harold Widom， 1932—），他是波利亞獎獲得者（2002）、維納應用數學獎獲得者（2006）。再傳弟子則有著名華裔數學家林節玄（Tsit Yuen Lam， 1942—），他是巴斯的學生。林節玄1967年在哥倫比亞大學獲得博士學位后進入加州大學伯克利分校擔任教職。1982年美國數學會授予他斯蒂爾獎，以表彰他在教科書編著方面的貢獻。1995—1997年期間他曾擔任美國國家數學科學研究所副所長?？ㄆ仗m斯基的弟子們畢業后大部分進入高校，為數學界培養了大批人才，并且通過他們各自的研究工作，為數學的發展作出了各自的貢獻。

卡普蘭斯基尤其鐘愛密歇根湖的海岸線，每天都堅持游泳，這在很大程度上鍛煉了他的意志，強健了他的身體，使他在晚年仍有旺盛精力從事復雜的數學研究。在芝加哥大學的歲月里，他將課程盡量安排在早上，這樣自己就能有更多時間與學生在一起。在課堂上與學生互動時，他鼓勵學生提出質疑，支持學生用新的研究方法探討問題。斯蒂芬·尚努埃爾（Stephen Schanuel，1933—2017）關于投射分解的理論，就是由尚努埃爾在1958年秋天的芝加哥大學卡普蘭斯基同調代數課程中所證明，這也是卡普蘭斯基教學方法的最好驗證，同時解釋了為什么會有這么多的研究生選擇他作為自己指導老師的原因。他經常為學生分享一些他還沒有時間去檢驗但很有希望的新想法。正如巴斯所言：

恰當地說卡普的學生也是他全部作品中的重要組成部分。[4]

卡普蘭斯基鼓勵學生進行批判性思考，這對學生科研能力的培養是必不可少的。他充分尊重學生的獨特性，在教學中幫助學生以自己特有的方式發展。當學生因為推測結果錯誤而產生負面情緒時，他鼓勵大家應該樹立正確的科研觀，即在科學研究的過程中，探求真理所產生的消極結果和積極結果同樣重要。例會是他與學生溝通的重要方式，每次例會開始時卡普蘭斯基總會用“有什么新鮮事”作為開場白，隨后便是一連串的問題：你能證明一個簡單的例子嗎？能否找出一個反例 [4]？卡普蘭斯基激發了一代又一代研究人員來到芝加哥，向著數學的主題邁進。

卡普蘭斯基生前與陳省身、華羅庚等多位中國數學家有密切的交往。他與陳省身在20世紀40年代的芝加哥大學便已相識（圖2）。1946年1月，陳省身應阿德里安·阿爾伯特（Adrian Albert，1905—1972）的邀請，在芝加哥大學作了一場有關高斯-博內定理推廣的報告，卡普蘭斯基在這次報告會上結識了陳省身，雖然這次見面的時間非常短，但他對陳省身留下了深刻印象。1949年陳省身進入芝加哥大學任教，他們兩人在芝大數學系共事了10年。1984年，他們的職業生涯在伯克利又交織在一起?？ㄆ仗m斯基曾回憶道：“雖然和陳省身的研究領域不同，但在與他的交往中通過相互滲透，自己也掌握了現代微分幾何的部分精髓?！盵10]20世紀80年代，華羅庚在美國訪學期間，兩人有一段交往的佳話?？ㄆ仗m斯基長期以來都不能解決無限維代數的半自構定理，雖然他得到了一個結果，但證明過程卻極為繁瑣，便請教華羅庚。沒過多久華羅庚不但用另一種方法重新證明了這一定理，而且將證明過程簡化到不足兩頁紙，完全解決了卡普蘭斯基提出的難題，華羅庚使這個問題真正做到了“兩點之間，直線最短”[11]。此外，我國著名數學家劉紹學、周伯壎等在芝加哥大學學習和訪問時，與卡普蘭斯基都有頻繁的交往。

三 ? 領導機構，譽滿學界

卡普蘭斯基生前不但是芝加哥大學數學系教授、美國國家科學院院士、美國藝術與科學院院士，而且還曾擔任美國數學會主席、美國國家數學科學研究所所長，在1962—1967年期間還曾經擔任芝加哥大學數學系主任。作為一名管理人員，他從未忘記導師麥克萊恩給他的建議：“隨時都要表現得就像你必須在第二天向參議院調查委員會解釋你的行為一樣?！盵2]

1984年秋，卡普蘭斯基擔任美國國家數學科學研究所第二任所長。他是最早提議創建高等數學研究機構的數學家，這是由于受普林斯頓高等研究院的啟發。1946年，卡普蘭斯基第一次去普林斯頓高等研究院訪學，后來他將研究院描述為一個“那里人的數學熱情幾乎會自動流動、寧靜的圣地……我為即將到來的關于非交換環、C*-代數、AW*-代數和其它一些東西的工作埋下了種子。換句話說，我得到了一個持續十年的數學推動力”[12]?？ㄆ仗m斯基倡議成立高等數學研究機構的想法最終在1982年得以實現，在美國國家科學基金會的支持下，在西海岸城市伯克利成立了美國國家數學科學研究所 [13]?？ㄆ仗m斯基正式接任所長后，他相繼主持確立了不同年份的研究項目。研究所選擇并確立項目主要堅持兩條準則：⑴所涉及的主題應該是一個活躍的研究領域;⑵能將該領域的重要群體長期聚集在一起，且有助于豐富和提高該領域的活力。當被問及研究所是否已為數學的發展產生重要作用時，卡普蘭斯基認為至少幾十年的時間才能看到它帶來的明顯效果。以下為部分年度項目明細：

1984—1985：

低維拓撲（Low Dimensional Topology）、K-理論、指標理論和算子代數（K-theory，Index Theory and Operator Algebras）、微分幾何（Differential Geometry）;

1985—1986：

計算復雜性（Computational Complexity）、數理經濟學（Mathematical Economics）、幾何函數論（Geometric Function Theory）;

1986—1987：

與代數幾何有關的數論（Number Theory with Connection to Algebraic Geometry）、非線性擴散方程及其平衡態（Nonlinear Diffusion Equations and their Equilibrium States）、交換代數（Commutative Algebra）;

1987—1988：

經典分析（Classical Analysis）、巴拿赫空間的結構（Structures of Banach Spaces）。[14]

卡普蘭斯基在擔任所長的8年期間，為研究所的發展做了大量工作，其中一項成就是成立“美國國家數學科學研究所之友國際委員會”。這個委員會的主要職責是募捐，為研究所的發展獲取源源不斷的資金支持，這對機構的發展尤為重要。研究所除了將資金用于每年固定的重大項目開支外，剩余資金主要用于對年輕數學家的支持。研究所非常重視對剛畢業博士的培訓和鼓勵，預算中至少有60%的資金專門用于支持該類學者，如曼紐爾·巴爾加瓦（Manjul Bhargava，1974—，2014年菲爾茲獎獲得者、2011年費馬獎獲得者、2005年拉馬努金獎獲得者以及1996年摩根獎獲得者）就曾多次受卡普蘭斯基的邀請訪問數學研究所。

在擔任研究所所長期間，卡普蘭斯基除了安排年度計劃，還注重于運作的每一個細節。當時每年訪問研究所的人員大約有180人，有些人少則待兩個月，多則待一年，與這些人員溝通是一項繁重的工作。他將這比喻成招募180名新教員，由于每個訪問者的情況不同，需要處理大量的信件和電話?？ㄆ仗m斯基對研究所的熱情是矢志不渝的，他曾經向繼任所長大衛·艾森巴德（David Eisenbud，1947—）說，在擔任所長的8年時間里，自己親自閱讀并簽署了每一封研究所發出的邀請信[2]。

1985—1986年期間的卡普蘭斯基須同時承擔兩項艱巨的任務：既要領導美國國家數學科學研究所，又要主持世界上最大的數學會——美國數學會。能同時擔任這兩大機構的領導人，這是對他數學成就的有力肯定。

在1985—1986年期間，卡普蘭斯基接替朱莉婭·羅賓遜（Julia Bowman Robinson， 1919—1985）擔任美國數學會第48屆主席。他在擔任主席的兩年時間里，為學會帶來很大變化。1986年，美國數學會負責在伯克利主辦了第20屆國際數學家大會，卡普蘭斯基作為組委會成員為大會的順利召開做了大量工作，要組織并負責近3500名參會者的會議是一項極為艱巨的任務。他使數學會煥然一新，其中就包括擺脫毀滅性的財務狀況。但卡普蘭斯基回憶起當選時的情景時，他卻謙遜地說：

當被推薦為美國數學會主席時，我的第一想法是不配得到這個榮譽，畢竟，該職位的擔任者在長達兩年的時間內會被視為美國數學界名義上的領導人。[2]

他曾任多個雜志的編委，具體為《美國數學會通報》編輯委員會（1945—1947，1979—1985）、《美國數學會匯刊》編輯委員會（1947—1952）和《美國數學會會報》編輯委員會（1957—1959）等?？ㄆ仗m斯基代表美國數學會出席了1948年在安娜堡和1955年在斯坦福的會議并應邀發言。他在擔任數學會主席期間，支持創辦了重要的雜志《美國數學會志》（Journal of the American Mathematical Society）[15]，他通過精心挑選第一屆編輯委員會來推動項目有序展開，最終在1988年順利發行。此外，他還推動了美國數學會終身會員制的建立。約翰·厄文（John Ewing）對卡普蘭斯基在美國數學會的工作做了形象描述：

四十多年來，卡普蘭斯基一直活躍在美國數學會，在那段時間，他一直是一股推動力……卡普蘭斯基為學會服務的最顯著特點就是他的風格，他所從事的每項工作、他所做的每件事都是有力而優雅、雄辯而體貼、精力充沛而又彬彬有禮。[4]

四 ? 小結

通過研究發現，卡普蘭斯基不但是一位著名的數學家、數學教育家、科學組織者，而且還擁有美滿幸福的家庭。他愛好廣泛，精通音樂，樂于運動，又很長壽，其身上很多光輝的思想、語言和行為值得我們借鑒和反思。

從學術傳承和數學創新方面來講，卡普蘭斯基的學生時代抽象代數學正蓬勃發展，諾特、麥克萊恩和布饒爾等數學家對他產生了重要影響。第二次世界大戰的爆發致使大量數學家紛紛逃離歐洲，遷徙到科研環境更為優越的北美。此時美國已經取代德國和法國成為新的數學中心，而芝加哥大學又是美國數學的中心，這為卡普蘭斯基科研能力的提升和學術思想的形成提供了豐厚沃土。通過閱讀他的論著可知，他更傾向于為數學搭建一個框架，而非聚焦于某一特定數學問題。他始終主張數學家應該將注意力聚焦于領先性的數學問題，嘗試一些其他人未來10年甚至20年都不可能研究的課題。他深受高斯的啟發，強調論文重質而非量。他提出要在搞科研的同時學習一些與當前科研題目不相關的知識，這也是他能在諸多數學領域取得非凡成果的重要原因。

從培養學生，深耕數學教育方面來講，卡普蘭斯基極為重視數學人才的培養，他的很多弟子及再傳弟子目前已成為美國數學界的中堅力量。在教學過程中，他鼓勵學生大膽接受新事物，勇于探索新領域。他提出了正確的科研觀，即在求索的過程中消極結果和積極結果同樣重要。他采取討論班的教學形式，根據學生的實際情況因材施教，注重培養學生的創新性思維。鼓勵學生通過閱讀經典論著以提高分析和鑒賞能力，達到開闊眼界、增長學識之目的。在長期教學過程中，卡普蘭斯基形成了一套獨特的教學范式。

從為數學共同體服務方面來講，卡普蘭斯基將科學組織視為推動數學發展的重要方式。他通過擔任機構領導、雜志編委、數學會主席等，以不同角色服務于美國數學會40余年，促進了數學共同體間的交流和數學文化的傳播。他是最早倡議建立美國國家數學科學研究所的數學家，他注重對青年學者的支持力度，推動了研究所建制的逐步完善。隨著數學的發展越來越抽象，在數學界內部更難以進行無障礙交流的今天，數學組織的作用越來越明顯，這充分表明卡普蘭斯基提議新建高等數學研究機構的遠見卓識。

最后，引用印度數學會對卡普蘭斯基的評論來結束本文的內容：“卡普蘭斯基教授是全世界數學家的靈感之源，人們將會永遠懷念他的才智、魅力和人格?！盵16]

參考文獻

[1]蔣迅， 王淑紅. 數學都知道1[M]. 北京：北京師范大學出版社， 2016. 92—93.

[2] Albers D. J.， Kaplanksy I.. Interview with Irving Kaplansky [J]. The College Mathematics Journal， 1991， 22（2）： 99—117.

[3]數學辭海編輯委員會. 數學辭海（第三卷）[M]. 北京： 中國科學技術出版社， 2002. 151.

[4] Bass H.， Lam T. Y.. Irving Kaplansky 1917—2006 [J]. Notices of the American Mathematical Society， 2007， 54（11）： 1477—1493.

[5] Kaplansky I.. Rings with a polynomial identity [J]. Bulletin of the American Mathematical Society， 1948， 54（6）： 575—580.

[6]王栓宏. Hopf代數的Kaplansky十大猜想的一些新進展 [J]. 數學進展， 2012， 41（3）： 257—265.

[7] Kadison. Irving Kaplanskys Role in Mid-twentieth Century Functional Analysis [J]. Notices of the American Mathematical Society， 2008， 55（2）： 216—225.

[8] Silicon. 2006年美國最高國家科學技術獎揭曉[J]. 激光與光電子學進展， 2007， 44（9）： 5.

[9] Ornstein D.. Bernoulli shifts with the same entropy are isomorphic [J]. Advances in Mathematics， 1970， 4（3）： 337—352.

[10]丘成桐，劉克峰，季理真主編. 紀念陳省身先生文集[M].杭州： 浙江大學出版社， 2005. 48—49.

[11]陸曉遐. 華羅庚[M].長春：時代文藝出版社， 2002. 81—83.

[12] Kaplansky I.. MSRI after three years [J]. The Mathematical Intelligencer， 1985， 7（4）： 48—55.

[13]張奠宙， 王善平. 陳省身傳（修訂版）[M]. 天津： 南開大學出版社， 2011. 156—160.

[14] Moore C.. Mathematical sciences research Institute Berkeley， California [J]. The Mathematical Intelligencer， 1984， 6（1）： 59—64.

[15] AMS.. 1989 Steele Prizes awarded at Summer Meeting in Boulder [J]. Notices of the American Mathematical Society， 1989， 36（7）：831—836.

[16] Yadav B. S.. Irving Kaplansky [J]. Ganita Bhāratī， 2006， 28（1—2）： 191.

Abstract： As a famous American mathematician， mathematical educator， musician and scientific organizer，Irving Kaplansky had lots of works and led organizations. He not only made original achievements in many branches of mathematics， but also cultivated a large number of talents for the field of mathematics and thus played a positive role in promoting the development of mathematics in the 20th century.Based on the study and analysis of the relevant literature， his life， achievements and influence were briefly introduced.

Keywords： Irving Kaplansky， algebra， American Mathematical Society， Mathematical Sciences Research Institute